Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10239
2019-02-27 
Две тонких пластины массой $m$ каждая соединены невесомой пружиной жёсткости $k$. Пружина может испытывать деформации только вдоль оси $OO^{ \prime}$, которая перпендикулярна пластинам: длина недеформированной пружины равна $2L$. Конструкцию помещают в наклонную щель шириной $L$ (см. рис.). Исследуйте, какую минимальную силу $F$ необходимо приложить к конструкции перпендикулярно $OO^{ \prime}$, чтобы сдвинуть её вниз по щели, и зависимости от угла $\alpha$. При $\alpha = 0$ верхняя пластина не касается стенки щели. Коэффициент трения покоя для всех соприкасающихся поверхностей одинаков и равен $\mu$.
Решение:
Пружина может испытывать деформации только вдоль оси $OO^{ \prime}$, поэтому не важно, к какой именно точке конструкции прилагается искомая нами сила $F$, для определенности будем считать, что она прикладывается к середине пружины.
При увеличении угла наклона $\alpha$ проекция силы тяжести верхней пластины на ось $OO^{ \prime}$ уменьшается, следовательно пружина будет распрямляться.
Определим сперва, в каком случае пружина распрямится настолько, что верхняя пластина коснется верхней стенки (см. рис.). Толщиной пластин по условию можно пренебречь по сравнению с $L$. Следовательно, сила упругости в этом случаем равна $F_{k} = kL$. Выпишем второй закон Ньютона для верхней пластины в проекции на ось $Oy: kL = mg \cos \alpha_{0}$. Отсюда при $\alpha > \alpha_{0}$ (где $\alpha_{0} = arccos(kL/mg)$), пружина распрямится настолько, что верхняя пластина прижата к стенке.
До тех пор пока верхняя пластина не коснется стенки щели, наличие пружины никак не сказывается на величине силы $F$. Действительно, в этом случае сила упругости пружины $F_{k}$ является внутренней и поэтому не входит в уравнение движения конструкции как целого.
На рисунке обозначены все внешние силы, действующие на конструкцию при $\alpha < \alpha_{0}$. Выпишем второй закон Ньютона для этой системы в проекции на оси $O^{ \prime}x$ и $O^{ \prime}y$:
$O^{ \prime}y : N - 3mg \cos \alpha = 0, O^{ \prime}x : F + 3mg \sin \alpha - F_{tr} = 0$.
Так как мы ищем силу $F$, необходимую, чтобы сдвинуть систему, сила трения принимает свое максимальное значение и равна $F_{tr} = \mu N$. Решая данную систему, получаем, что
$F = 3mg (g \cos \alpha - \sin \alpha)$ (1)
Заметим, что при $tg \alpha = \mu$ последнее выражение обращается в ноль. Это соответствует тому, что конструкция начинает сама соскальзывать вниз по склону. Понятно, что отрицательные значения $F$ не имеют физического смысла - дальнейшее увеличение угла ($\alpha > \alpha_{1}$, где $\alpha_{1} = arctg \mu$) приводит к тому, что конструкция соскальзывает сама с ускорением. Однако, не стоит забывать, что этот ответ справедлив только пока верхняя пластина не касается стенки.
Рассмотрим теперь случай, когда верхняя пластина касается верхней стенки ($\alpha > \alpha_{0}$). Силы, действующие на систему, изображены на рисунке). Нас интересует сумма модулей сил реакции $N_{1}$ и $N_{2}$, так как она определяет силу трения $\mu (N_{1} + N_{2})$. Запишем второй закон Ньютона для каждой из двух пластин в проекции на ось Oy:
$F_{k} - N_{1} - mg \cos \alpha = 0 \: N_{2} - F_{k} - mg \cos \alpha = 0$
Решая эту систему, находим, $N = N_{1} + N_{2} = 2F_{k} = 2kL$. Второй закон Ньютона для системы в проекции на ось Ox
$F + 2mg \sin \alpha - F_{tr}^{1} - F_{tr}^{2} = 0$.
Откуда, используя $F_{tr}^{1} + F_{tr}^{2} = \mu (N_{1} + N_{2})$ получаем
$F = 2( \mu kL - mg \sin \alpha)$ (2)
Это выражение также может обратиться в ноль при $\alpha_{2} = arcsin( \mu kL/(mg))$, т.е. конструкция может, упираясь в обе стенки, сама съезжает по склону. Впрочем, при $\mu kL/(mg) > 1$ этого не произойдет.
Проанализируем теперь все возможные варианты
Если $\alpha < \alpha_{1}$ и $\alpha < \alpha_{0}$, то необходимо прикладывать силу $F$, определяемую выражением (1). В этом случае верхняя пластина не касается трубы. Если $\alpha_{1} < \alpha < \alpha_{0}$, то $F = 0$ - конструкция начинает соскальзывать сама, верхняя пластина по-прежнему не касается стенки. Если $\alpha_{0} < \alpha < \alpha_{2}$, то пластина касается трубы а сила $F$ определяется выражением (2). Наконец, если $\alpha > \alpha_{0}$ и $\alpha > \alpha_{2}$, то $F = 0$, конструкция опять сама соскальзывает вниз.
Таким образом в зависимости от соотношения между параметрами задачи возможны три сценария развития при постепенном увеличении угла $\alpha$.
1) Пружина распрямляется, и конструкция в некоторый момент начинает соскальзывать сама, при этом до верхней стенки верхняя пластина в этот момент не достает.
2) Пластина доходит до верхней стенки, а при дальнейшем увеличении угла начинает соскальзывать.
3) Даже при $\alpha = \pi /2$ конструкция не соскальзывает, нужно приложить усилие, чтобы сдвинуть ее с места.
Все это также можно понять, если рассмотрели зависимости скатывающей силы $2mg \sin \alpha$ и суммарной силы трения от угла $\alpha$. Когда трубу наклоняют, скатывающая сила $2mg \sin \alpha$ растет. Величина же силы трения при $\alpha < \alpha_{0}$ равна $2mg \cos \alpha$, так что с ростом $\alpha$ убывает. Как только $\alpha$ достигает $\alpha_{0}$, сила трения становится равной $2 \mu kL$ и перестает меняться. Искомая сила $F$ - это разница между силой трения и скатывающей силой. Если при каком-то значении угла $\alpha$ эти силы сравняются, то прикладывали дополнительных усилий для скатывания конструкции не нужно, то есть $F = 0$. На рисунке (15) изображены графики скатывающей силы и полной силы трения как функции $\alpha$. Три возможных сценария соответствуют трем возможным типам пересечения этих графиков.
Ответ: Поведение системы определяют параметры $\alpha_{0} = arccos(kL/(mg)), \alpha_{1} = arctg \mu$ и $\alpha_{2} = arcsin( \mu kL/(mg))$ (при $\mu kL/(mg) > 1$ следует положили $\alpha_{2} = \infty$).
Если $\alpha < \alpha_{1}$ и $\alpha < \alpha_{0}$, то $F = 3mg( \mu \cos \alpha - \sin \alpha)$.
Если $\alpha_{1} < \alpha < \alpha_{0}$, то $F = 0$.
Если $\alpha_{0} < \alpha < \alpha_{2}$, то $F = 2( \mu kL - mg \sin \alpha)$.
Если $\alpha > \alpha_{0}$ и $\alpha > \alpha_{2}$, то $F = 0$.
Две тонких пластины массой $m$ каждая соединены невесомой пружиной жёсткости $k$. Пружина может испытывать деформации только вдоль оси $OO^{ \prime}$, которая перпендикулярна пластинам: длина недеформированной пружины равна $2L$. Конструкцию помещают в наклонную щель шириной $L$ (см. рис.). Исследуйте, какую минимальную силу $F$ необходимо приложить к конструкции перпендикулярно $OO^{ \prime}$, чтобы сдвинуть её вниз по щели, и зависимости от угла $\alpha$. При $\alpha = 0$ верхняя пластина не касается стенки щели. Коэффициент трения покоя для всех соприкасающихся поверхностей одинаков и равен $\mu$.
Решение:
Пружина может испытывать деформации только вдоль оси $OO^{ \prime}$, поэтому не важно, к какой именно точке конструкции прилагается искомая нами сила $F$, для определенности будем считать, что она прикладывается к середине пружины.
При увеличении угла наклона $\alpha$ проекция силы тяжести верхней пластины на ось $OO^{ \prime}$ уменьшается, следовательно пружина будет распрямляться.
Определим сперва, в каком случае пружина распрямится настолько, что верхняя пластина коснется верхней стенки (см. рис.). Толщиной пластин по условию можно пренебречь по сравнению с $L$. Следовательно, сила упругости в этом случаем равна $F_{k} = kL$. Выпишем второй закон Ньютона для верхней пластины в проекции на ось $Oy: kL = mg \cos \alpha_{0}$. Отсюда при $\alpha > \alpha_{0}$ (где $\alpha_{0} = arccos(kL/mg)$), пружина распрямится настолько, что верхняя пластина прижата к стенке.
До тех пор пока верхняя пластина не коснется стенки щели, наличие пружины никак не сказывается на величине силы $F$. Действительно, в этом случае сила упругости пружины $F_{k}$ является внутренней и поэтому не входит в уравнение движения конструкции как целого.
На рисунке обозначены все внешние силы, действующие на конструкцию при $\alpha < \alpha_{0}$. Выпишем второй закон Ньютона для этой системы в проекции на оси $O^{ \prime}x$ и $O^{ \prime}y$:
$O^{ \prime}y : N - 3mg \cos \alpha = 0, O^{ \prime}x : F + 3mg \sin \alpha - F_{tr} = 0$.
Так как мы ищем силу $F$, необходимую, чтобы сдвинуть систему, сила трения принимает свое максимальное значение и равна $F_{tr} = \mu N$. Решая данную систему, получаем, что
$F = 3mg (g \cos \alpha - \sin \alpha)$ (1)
Заметим, что при $tg \alpha = \mu$ последнее выражение обращается в ноль. Это соответствует тому, что конструкция начинает сама соскальзывать вниз по склону. Понятно, что отрицательные значения $F$ не имеют физического смысла - дальнейшее увеличение угла ($\alpha > \alpha_{1}$, где $\alpha_{1} = arctg \mu$) приводит к тому, что конструкция соскальзывает сама с ускорением. Однако, не стоит забывать, что этот ответ справедлив только пока верхняя пластина не касается стенки.
Рассмотрим теперь случай, когда верхняя пластина касается верхней стенки ($\alpha > \alpha_{0}$). Силы, действующие на систему, изображены на рисунке). Нас интересует сумма модулей сил реакции $N_{1}$ и $N_{2}$, так как она определяет силу трения $\mu (N_{1} + N_{2})$. Запишем второй закон Ньютона для каждой из двух пластин в проекции на ось Oy:
$F_{k} - N_{1} - mg \cos \alpha = 0 \: N_{2} - F_{k} - mg \cos \alpha = 0$
Решая эту систему, находим, $N = N_{1} + N_{2} = 2F_{k} = 2kL$. Второй закон Ньютона для системы в проекции на ось Ox
$F + 2mg \sin \alpha - F_{tr}^{1} - F_{tr}^{2} = 0$.
Откуда, используя $F_{tr}^{1} + F_{tr}^{2} = \mu (N_{1} + N_{2})$ получаем
$F = 2( \mu kL - mg \sin \alpha)$ (2)
Это выражение также может обратиться в ноль при $\alpha_{2} = arcsin( \mu kL/(mg))$, т.е. конструкция может, упираясь в обе стенки, сама съезжает по склону. Впрочем, при $\mu kL/(mg) > 1$ этого не произойдет.
Проанализируем теперь все возможные варианты
Если $\alpha < \alpha_{1}$ и $\alpha < \alpha_{0}$, то необходимо прикладывать силу $F$, определяемую выражением (1). В этом случае верхняя пластина не касается трубы. Если $\alpha_{1} < \alpha < \alpha_{0}$, то $F = 0$ - конструкция начинает соскальзывать сама, верхняя пластина по-прежнему не касается стенки. Если $\alpha_{0} < \alpha < \alpha_{2}$, то пластина касается трубы а сила $F$ определяется выражением (2). Наконец, если $\alpha > \alpha_{0}$ и $\alpha > \alpha_{2}$, то $F = 0$, конструкция опять сама соскальзывает вниз.
Таким образом в зависимости от соотношения между параметрами задачи возможны три сценария развития при постепенном увеличении угла $\alpha$.
1) Пружина распрямляется, и конструкция в некоторый момент начинает соскальзывать сама, при этом до верхней стенки верхняя пластина в этот момент не достает.
2) Пластина доходит до верхней стенки, а при дальнейшем увеличении угла начинает соскальзывать.
3) Даже при $\alpha = \pi /2$ конструкция не соскальзывает, нужно приложить усилие, чтобы сдвинуть ее с места.
Все это также можно понять, если рассмотрели зависимости скатывающей силы $2mg \sin \alpha$ и суммарной силы трения от угла $\alpha$. Когда трубу наклоняют, скатывающая сила $2mg \sin \alpha$ растет. Величина же силы трения при $\alpha < \alpha_{0}$ равна $2mg \cos \alpha$, так что с ростом $\alpha$ убывает. Как только $\alpha$ достигает $\alpha_{0}$, сила трения становится равной $2 \mu kL$ и перестает меняться. Искомая сила $F$ - это разница между силой трения и скатывающей силой. Если при каком-то значении угла $\alpha$ эти силы сравняются, то прикладывали дополнительных усилий для скатывания конструкции не нужно, то есть $F = 0$. На рисунке (15) изображены графики скатывающей силы и полной силы трения как функции $\alpha$. Три возможных сценария соответствуют трем возможным типам пересечения этих графиков.
Ответ: Поведение системы определяют параметры $\alpha_{0} = arccos(kL/(mg)), \alpha_{1} = arctg \mu$ и $\alpha_{2} = arcsin( \mu kL/(mg))$ (при $\mu kL/(mg) > 1$ следует положили $\alpha_{2} = \infty$).
Если $\alpha < \alpha_{1}$ и $\alpha < \alpha_{0}$, то $F = 3mg( \mu \cos \alpha - \sin \alpha)$.
Если $\alpha_{1} < \alpha < \alpha_{0}$, то $F = 0$.
Если $\alpha_{0} < \alpha < \alpha_{2}$, то $F = 2( \mu kL - mg \sin \alpha)$.
Если $\alpha > \alpha_{0}$ и $\alpha > \alpha_{2}$, то $F = 0$.
