Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10238
2019-02-27 
На гладкую длинную горизонтальную спицу нанизаны три $m$ и один шарик массой $2m$ (см. рисунок). В начальный момент все шарики скользят по спице влево с некоторыми неизвестными скоростями, известно, что $v_{1} < v_{2} < v_{3}$. В результате столкновений тяжёлый шарик приобретает скорость $v$, а все лёгкие - останавливаются. Определите скорости всех легких шариков до соударения. Трением шариков о спицу пренебречь. Все соударения абсолютно упругие.
Решение:
Для того, чтобы в результате столкновений тяжёлый шар увеличил свою скорость до $v$, а лёгкие шарики остановились, необходимы не только определённые начальные скорости всех шаров, по и определённый порядок их столкновений. Если записать все столкновения на видеоплёнку, а затем запустить сё в обратном направлении, то законы механики останутся справедливыми: это называется обратимостью законов механики во времени.
Воспользуемся этим фактом для решения данной задачи.
После обращения времени мы имеем следующую систему: в начале все лёгкие шарики покоятся, а тяжёлый шар налетает на них со скоростью $v$. В результате столкновений тяжелый шар передаст легким часть своей энергии, и они начнут скользить по спице с некоторыми скоростями. Эти скорости совпадают с искомыми, начальными скоростями "прямой" задачи (см. рис.).
Пронумеруем лёгкие шары, как это показано на рисунке. Рассмотрим сначала столкновение шара массой $2m$, движущегося со скоростью $v$, с неподвижным шаром массой $m$ (см. рис.). Определим скорости $u$ и $w$ шаров после столкновения. Выпишем для этого законы сохранения импульса и энергии:
$2mv = 2mu + mw, \frac{2mv^{2} }{2} = \frac{2mu^{2} }{2} + \frac{mw^{2} }{2}$
Решая эту систему, получаем: $u = v/3, w = 4v/3$.
Таким образом, после первого столкновения тяжелого шарика с шариком 1, последний полетит со скоростью $4v/3$. Так как все лёгкие шарики имеют одинаковые массы, а соударения центральные, то их столкновения приводят к обмену скоростями. Следовательно, после столкновения первого шарика со вторым, первый шарик останавливается, а второй начнет ехать по спице со скоростью $4v/3$. Аналогично, после соударения второго и третьего шариков, второй останавливается, а третий приобретает скорость $4v/3$.
После этой серии столкновений мы имеем следующее: тяжёлый шарик скользит со скоростью $v/3$, лёгкие шарики 1 и 2 покоятся, а шарик 3 имеет скорость $v_{3} = 4v/3$, его скорость уже не изменится, так как остальные шарики уже не смогут его догнать.
Фактически, следующие соударение тяжелого шара с легким, аналогично самому первому соударению ведь мы вернулись к исходной ситуации, только скорость тяжёлого шарика уменьшилась в три раза, поэтому во всех формулах нужно заменить $v$ на $v/3$.
Рассуждая так, получим, что шарики 2 и 1 приобретут скорости $v_{2} = 4v/9$ и $v_{1} = 4v/27$ соответственно. Конечная скорость тяжёлого шарика окажется равной $v/27$.
Найденные конечные скорости $v_{1}, v_{2}$ и $v_{3}$ в точности равны начальным скоростям шариков исходной задачи. Мы даже выяснили, что начальная скорость тяжелого шара была равна $v/27$.
Ответ: $v_{1} = 4v/27, v_{2} = 4v/9, v_{3} = 4v/3$.
На гладкую длинную горизонтальную спицу нанизаны три $m$ и один шарик массой $2m$ (см. рисунок). В начальный момент все шарики скользят по спице влево с некоторыми неизвестными скоростями, известно, что $v_{1} < v_{2} < v_{3}$. В результате столкновений тяжёлый шарик приобретает скорость $v$, а все лёгкие - останавливаются. Определите скорости всех легких шариков до соударения. Трением шариков о спицу пренебречь. Все соударения абсолютно упругие.
Решение:
Для того, чтобы в результате столкновений тяжёлый шар увеличил свою скорость до $v$, а лёгкие шарики остановились, необходимы не только определённые начальные скорости всех шаров, по и определённый порядок их столкновений. Если записать все столкновения на видеоплёнку, а затем запустить сё в обратном направлении, то законы механики останутся справедливыми: это называется обратимостью законов механики во времени.
Воспользуемся этим фактом для решения данной задачи.
После обращения времени мы имеем следующую систему: в начале все лёгкие шарики покоятся, а тяжёлый шар налетает на них со скоростью $v$. В результате столкновений тяжелый шар передаст легким часть своей энергии, и они начнут скользить по спице с некоторыми скоростями. Эти скорости совпадают с искомыми, начальными скоростями "прямой" задачи (см. рис.).
Пронумеруем лёгкие шары, как это показано на рисунке. Рассмотрим сначала столкновение шара массой $2m$, движущегося со скоростью $v$, с неподвижным шаром массой $m$ (см. рис.). Определим скорости $u$ и $w$ шаров после столкновения. Выпишем для этого законы сохранения импульса и энергии:
$2mv = 2mu + mw, \frac{2mv^{2} }{2} = \frac{2mu^{2} }{2} + \frac{mw^{2} }{2}$
Решая эту систему, получаем: $u = v/3, w = 4v/3$.
Таким образом, после первого столкновения тяжелого шарика с шариком 1, последний полетит со скоростью $4v/3$. Так как все лёгкие шарики имеют одинаковые массы, а соударения центральные, то их столкновения приводят к обмену скоростями. Следовательно, после столкновения первого шарика со вторым, первый шарик останавливается, а второй начнет ехать по спице со скоростью $4v/3$. Аналогично, после соударения второго и третьего шариков, второй останавливается, а третий приобретает скорость $4v/3$.
После этой серии столкновений мы имеем следующее: тяжёлый шарик скользит со скоростью $v/3$, лёгкие шарики 1 и 2 покоятся, а шарик 3 имеет скорость $v_{3} = 4v/3$, его скорость уже не изменится, так как остальные шарики уже не смогут его догнать.
Фактически, следующие соударение тяжелого шара с легким, аналогично самому первому соударению ведь мы вернулись к исходной ситуации, только скорость тяжёлого шарика уменьшилась в три раза, поэтому во всех формулах нужно заменить $v$ на $v/3$.
Рассуждая так, получим, что шарики 2 и 1 приобретут скорости $v_{2} = 4v/9$ и $v_{1} = 4v/27$ соответственно. Конечная скорость тяжёлого шарика окажется равной $v/27$.
Найденные конечные скорости $v_{1}, v_{2}$ и $v_{3}$ в точности равны начальным скоростям шариков исходной задачи. Мы даже выяснили, что начальная скорость тяжелого шара была равна $v/27$.
Ответ: $v_{1} = 4v/27, v_{2} = 4v/9, v_{3} = 4v/3$.
