Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10232
2019-02-27 
Рядом стоят две пушки, из которых можно стрелять теннисными мячиками под любым углом к горизонту с начальной скоростью $V = 20 м/с$. Из пушек одновременно стреляют в бубен, находящийся на расстоянии $L = 20 метров$ по горизонтали, однако, удары мячиков о бубен происходят не одновременно. Найдите время между ударами. Расстоянием между пушками, размером бубна, а также сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Если пушки стреляют одновременно с одинаковой по модулю начальной скоростью, а попадают в одну и ту же точку не одновременно, значит они стреляли под разными углами.
Запишем уравнения движения мячика в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси. Пусть пушка стреляет под углом $\alpha$ к горизонту; тогда начальная вертикальная скорость мячика равна $V \sin \alpha$, а горизонтальная $V \cos \alpha$. Так как пушки и бубен находятся на одном уровне, а их линейными размерами можно пренебречь, в момент попадания мячика уравнения имеют вид
$\begin{cases} 0 = Vt \sin \alpha - gt^{2}/2 \\ L = Vt \cos \alpha \end{cases}$ (2)
Выражая время из второго уравнения системы (2), $t = \frac{L}{V \cos \alpha}$, и подставляя его в первое уравнение, получаем:
$V \sin \alpha = \frac{gt}{2} = \frac{gL}{2V \cos \alpha} \Rightarrow \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{gL}{V^{2} }$ (3)
Подставляя числа, получаем $\sin 2 \alpha = 1/2$. Этому соответствуют два значения $\alpha$, при которых пушка может попасть в бубен,
$\alpha_{1} = 15^{ \circ}$ и $\alpha_{2} = 75^{ \circ}$.
Теперь понятно, что одна из пушек стреляла под углом $\alpha_{1} = 15^{ \circ}$, по "нижней" траектории, а вторая под углом $\alpha_{2} = 75^{ \circ}$, по "верхней" траектории.
Легко вычислим время полета для каждого из случаев, из второго уравнения системы (2),
$t_{1,2} = \frac{L}{V \cos \alpha_{1,2} }$.
Подставляя сюда числа, и находя разность $t_{2}$ и $t_{1}$, получим ответ.
Ответ: Время между ударами равно
$\frac{L}{V} \left ( \frac{1}{ \cos 75^{ \circ} } - \frac{1}{ \cos 15^{ \circ} } \right ) \approx 2,83 с$.
Рядом стоят две пушки, из которых можно стрелять теннисными мячиками под любым углом к горизонту с начальной скоростью $V = 20 м/с$. Из пушек одновременно стреляют в бубен, находящийся на расстоянии $L = 20 метров$ по горизонтали, однако, удары мячиков о бубен происходят не одновременно. Найдите время между ударами. Расстоянием между пушками, размером бубна, а также сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Если пушки стреляют одновременно с одинаковой по модулю начальной скоростью, а попадают в одну и ту же точку не одновременно, значит они стреляли под разными углами.
Запишем уравнения движения мячика в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси. Пусть пушка стреляет под углом $\alpha$ к горизонту; тогда начальная вертикальная скорость мячика равна $V \sin \alpha$, а горизонтальная $V \cos \alpha$. Так как пушки и бубен находятся на одном уровне, а их линейными размерами можно пренебречь, в момент попадания мячика уравнения имеют вид
$\begin{cases} 0 = Vt \sin \alpha - gt^{2}/2 \\ L = Vt \cos \alpha \end{cases}$ (2)
Выражая время из второго уравнения системы (2), $t = \frac{L}{V \cos \alpha}$, и подставляя его в первое уравнение, получаем:
$V \sin \alpha = \frac{gt}{2} = \frac{gL}{2V \cos \alpha} \Rightarrow \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{gL}{V^{2} }$ (3)
Подставляя числа, получаем $\sin 2 \alpha = 1/2$. Этому соответствуют два значения $\alpha$, при которых пушка может попасть в бубен,
$\alpha_{1} = 15^{ \circ}$ и $\alpha_{2} = 75^{ \circ}$.
Теперь понятно, что одна из пушек стреляла под углом $\alpha_{1} = 15^{ \circ}$, по "нижней" траектории, а вторая под углом $\alpha_{2} = 75^{ \circ}$, по "верхней" траектории.
Легко вычислим время полета для каждого из случаев, из второго уравнения системы (2),
$t_{1,2} = \frac{L}{V \cos \alpha_{1,2} }$.
Подставляя сюда числа, и находя разность $t_{2}$ и $t_{1}$, получим ответ.
Ответ: Время между ударами равно
$\frac{L}{V} \left ( \frac{1}{ \cos 75^{ \circ} } - \frac{1}{ \cos 15^{ \circ} } \right ) \approx 2,83 с$.
