2016-09-17
Палочка длиной $l = 1 м$ с надетой на неё бусинкой находится на расстоянии $r = 100 000 км$ от центра Земли. Палочка направлена на центр Земли, бусинка находится на расстоянии $b = 1 см$ от «нижнего» конца палочки (см. рисунок). Эта конструкция начинает свободно падать без начальной скорости. За какое время бусинка соскользнёт с палочки? Какое расстояние палочка пролетит за это время? Трение отсутствует. Радиус Земли $R_{з} = 6400 км$.
Решение:
Обозначим расстояние от центра Земли до ближнего конца палочки за $y$ (в начале падения $y = r$). Разобьём палочку на малые части длиной $\Delta x_{i}$, находящиеся на расстояниях $x_{i}$ от этого конца, и найдём силу, с которой палочка притягивается к Земле:
$F = \sum_{i} \frac{Gm_{i}M_{з}}{(y+x_{i})^{2}} = \sum_{i} \frac{Gm_{п}M_{з} \Delta x_{i}}{l(y + x_{i})^{2}} = \frac{1}{l} \sum_{i} \frac{Gm_{п}M_{з} \Delta x_{i}}{(y + x_{i})^{2}}$,
где $m_{п}$ и $M_{з}$ — массы палочки и Земли. Сумма в последнем выражении численно равна работе против гравитационных сил по перемещению материальной точки массой $m_{п}$ от расстояния $y$ до $y + l$ от центра Земли. Для этой работы можно записать:
$A = Gm_{п}M_{з} \left ( \frac{1}{y} - \frac{1}{y+l} \right )$.
Отсюда
$F = \frac{1}{l} Gm_{п}M_{з} \frac{l}{y(y+l)} = \frac{Gm_{п}M_{з}}{y(y+l)}$.
Заменим теперь палочку на материальную точку массой $m_{п}$, находящуюся на расстоянии с от ближнего к Земле конца палочки так, чтобы сила гравитационного взаимодействия не изменилась:
$F = \frac{Gm_{п}M_{з}}{y(y+l)} = \frac{Gm_{п}M_{з}}{(y+c)^{2}}$,
или $y^{2} + yl = y^{2} + 2yc + c^{2}$. Поскольку $c \sim l \ll y$, то $yc \gg c^{2}$ и $yl \gg c^{2}$, то есть $c \approx l/2$.
Найдём разницу ускорений бусинки $a_{б}$ и палочки $a_{п}$, учитывая, что $b \ll l \ll y$ и $GM_{з} = gR_{з}^{2}$ где $g$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли:
$a_{б} - a_{п} \approx \frac{gR_{з}^{2}}{(y+b)^{2}} - \frac{gR_{з}^{2}}{ \left ( y + \frac{l}{2} \right )^{2}} = \frac{gR_{з}^{2}(yl + \frac{l^{2}}{4} - 2yb - b^{2})}{(y+b)^{2} \left ( y + \frac{l}{2} \right )^{2}} \approx \frac{gR_{з}^{2}yl}{y^{4}} = \frac{glR_{з}^{2}}{y^{3}}$.
Теперь, зная ускорение бусинки относительно палочки, мы можем оценить время $t$, необходимое бусинке для соскальзывания с палочки, из следующего соотношения: $b = \frac{(a_{б}-a_{п})t^{2}}{2} = \frac{gR_{з}^{2}l}{y^{3}} \cdot \frac{t^{2}}{2} \approx \frac{gR_{з}^{2}lt^{2}}{2r^{3}}$. Отсюда $t \approx \sqrt{ \frac{2br^{3}}{glR_{з}^{2}}} \approx 7 \cdot 10^{3} с$.
Осталось оценить расстояние $L$, которое палочка пролетит за это время, и убедиться, что оно мало по сравнению с $r$:
$L \approx \frac{gR_{з}^{2}}{r^{2}} \cdot \frac{t^{2}}{2} \approx \frac{gR_{з}^{2}}{2r^{2}} \cdot \frac{2br^{3}}{glR_{з}^{2}} = \frac{br}{l} \approx 10^{6} м \ll r = 10^{8} м$.
Поэтому ускорения бусинки и палочки, а также разность этих ускорений мы можем считать постоянными, и наши оценки справедливы.