Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10229
2019-02-27 
Поверхность полубесконечной трубы радиуса $r$ заряжена равномерно, плотность заряда $\sigma$. На оси трубы, на расстоянии $D$ от ее среза расположен диполь из зарядов $+q, -q$, расстояние между зарядами диполя $d$ (см. рис.). Найдите зависимость силы, действующей на диполь со стороны трубы, от расстояния $D$. Считайте, что $d \ll r, d \ll D$. Каким будет ответ, если величина $d$ сравнима с $D$, хотя и много меньше $r$?
Решение:
Пусть сначала $d \ll r, d \ll D$. Рассмотрим силу, действующую на точечный единичный заряд, расположенный на оси трубы на расстоянии $x$ от ее края. Ее величину - напряженность - обозначим через $E(x)$.
Тогда сила, действующая на диполь
$F = q[E(D) - E(D + d)]$. (1)
Но точно такая же сила действовала бы на заряд $q$ со стороны двух труб: заряженной до плотности заряда $\sigma$, расположенной на расстоянии $D$, и заряженной до $- \sigma$ на расстоянии $D + d$. Заметьте: вместо того, чтобы рассматривать силу, действующую на диполь (два разноименных заряда) со стороны одной трубы, мы стали рассматривать один заряд $q$, но две противоположно заряженные трубы!
Две противоположно заряженные трубы, сдвинутые друг относительно друга по оси, создают такое же поле, как кольцо шириной $d$ (см. рис., кольцо заштриховано). Заряд кольца $Q = 2 \pi rd \sigma$.
Так как $d$ мало, элемент кольца $\Delta q$ воздействует на заряд $q$ с силой
$\Delta F = \frac{kq \Delta q}{r^{2} + D^{2} }$,
проекция этой силы на ось трубы дает $\frac{ \Delta FD}{ \sqrt{r^{2} + D^{2}}}$.
Кольцо тонкое, все его элементы находятся на одинаковом расстоянии от заряда $q$. Векторное суммирование сил от всех элементов дает ответ
$F = \frac{kqQD}{(D^{2} + r^{2} )^{3/2} } = \frac{2 \pi rdk \sigma qD}{(D^{2} + r^{2} )^{3/2} }$. (2)
Диполь может быть расположен и внутри трубы. Если он по-прежнему далеко от торца, из симметрии задачи очевидно, что сила от участка А трубы уравновешивается силой со стороны участка трубы В (см. рис.). Поэтому некомпенсированный вклад в силу $F$ дает лишь заштрихованная часть трубы. Задача свелась к ранее решенной, ответ по-прежнему дается формулой (2).
Решение задачи, очевидно, усложняется, если диполь оказывается вблизи края трубы ($d$ сравнимо с $D$). Проблемы наблюдаются при нашей замене диполя на заряд, а трубы на кольцо: окажется что ширина кольца сравнима с расстоянием от центра кольца до заряда, и разбивание кольца на элементы станет некорректным, ведь теперь элементы располагаются от заряда на разных расстояниях.
В этом случае имеет смысл решить задачу более точно.
Рассмотрим одиночный заряд $q$ на оси трубы на расстоянии $D$ от среза. Сдвинем его на бесконечно малое расстояние $d^{ \prime}$ вдоль оси и будем интересоваться разностью потенциалов в этих точках
$\Delta \Phi = \Phi (D + d^{ \prime}) - \Phi(D)$. (3)
Рассуждая как вначале задачи, заметим, что потенциал, численно равный разности (3) создает система двух сдвинутых на $d^{ \prime}$ разноименно заряженных труб, которые снова можно заменить на кольцо.
Итак, разность потенциалов между этими точками равна потенциалу, созданному очень тонким кольцом (ширины $d^{ \prime}$) радиуса $r$ с плотностью заряда а на расстоянии $D$ от центра:
$\Delta \Phi = \frac{2 \pi rd^{ \prime}k \sigma }{ \sqrt{D^{2} + r^{2} } }$.
С другой стороны, эта разность потенциалов равна $Ed^{ \prime}$ (очевидно, вектор $E$ направлен по оси трубы). Поэтому напряженность поля полубесконечной трубы на расстоянии $D$ от края (на оси) есть
$E(D) = \frac{2 \pi r k \sigma}{ \sqrt{D^{2} + r^{2} } }$.
Сила, действующая на диполь, тем самым равна по ф-ле (1)
$F = \frac{2 \pi r k \sigma}{ \sqrt{D^{2} + r^{2} } } - \frac{2 \pi rk \sigma}{ \sqrt{(D+d)^{2} + r^{2} } }$. (4)
При $d \ll D$ ф-лы (4) и (2) совпадают:
$F = \frac{2 \pi rk \sigma}{ \sqrt{(D^{2} + r^{2})((D + d)^{2} + r^{2} ) } } ( \sqrt{(D + d)^{2} + r^{2} } + \sqrt{D^{2} + r^{2} } ) \approx \frac{2 \pi rdk \sigma qD}{(D^{2} + r^{2} )^{3/2} }$
Ответ: Диполь отталкивается, точный ответ дается ф-лой (4). При $d \ll D$ она имеет вид (2).
Поверхность полубесконечной трубы радиуса $r$ заряжена равномерно, плотность заряда $\sigma$. На оси трубы, на расстоянии $D$ от ее среза расположен диполь из зарядов $+q, -q$, расстояние между зарядами диполя $d$ (см. рис.). Найдите зависимость силы, действующей на диполь со стороны трубы, от расстояния $D$. Считайте, что $d \ll r, d \ll D$. Каким будет ответ, если величина $d$ сравнима с $D$, хотя и много меньше $r$?
Решение:
Пусть сначала $d \ll r, d \ll D$. Рассмотрим силу, действующую на точечный единичный заряд, расположенный на оси трубы на расстоянии $x$ от ее края. Ее величину - напряженность - обозначим через $E(x)$.
Тогда сила, действующая на диполь
$F = q[E(D) - E(D + d)]$. (1)
Но точно такая же сила действовала бы на заряд $q$ со стороны двух труб: заряженной до плотности заряда $\sigma$, расположенной на расстоянии $D$, и заряженной до $- \sigma$ на расстоянии $D + d$. Заметьте: вместо того, чтобы рассматривать силу, действующую на диполь (два разноименных заряда) со стороны одной трубы, мы стали рассматривать один заряд $q$, но две противоположно заряженные трубы!
Две противоположно заряженные трубы, сдвинутые друг относительно друга по оси, создают такое же поле, как кольцо шириной $d$ (см. рис., кольцо заштриховано). Заряд кольца $Q = 2 \pi rd \sigma$.
Так как $d$ мало, элемент кольца $\Delta q$ воздействует на заряд $q$ с силой
$\Delta F = \frac{kq \Delta q}{r^{2} + D^{2} }$,
проекция этой силы на ось трубы дает $\frac{ \Delta FD}{ \sqrt{r^{2} + D^{2}}}$.
Кольцо тонкое, все его элементы находятся на одинаковом расстоянии от заряда $q$. Векторное суммирование сил от всех элементов дает ответ
$F = \frac{kqQD}{(D^{2} + r^{2} )^{3/2} } = \frac{2 \pi rdk \sigma qD}{(D^{2} + r^{2} )^{3/2} }$. (2)
Диполь может быть расположен и внутри трубы. Если он по-прежнему далеко от торца, из симметрии задачи очевидно, что сила от участка А трубы уравновешивается силой со стороны участка трубы В (см. рис.). Поэтому некомпенсированный вклад в силу $F$ дает лишь заштрихованная часть трубы. Задача свелась к ранее решенной, ответ по-прежнему дается формулой (2).
Решение задачи, очевидно, усложняется, если диполь оказывается вблизи края трубы ($d$ сравнимо с $D$). Проблемы наблюдаются при нашей замене диполя на заряд, а трубы на кольцо: окажется что ширина кольца сравнима с расстоянием от центра кольца до заряда, и разбивание кольца на элементы станет некорректным, ведь теперь элементы располагаются от заряда на разных расстояниях.
В этом случае имеет смысл решить задачу более точно.
Рассмотрим одиночный заряд $q$ на оси трубы на расстоянии $D$ от среза. Сдвинем его на бесконечно малое расстояние $d^{ \prime}$ вдоль оси и будем интересоваться разностью потенциалов в этих точках
$\Delta \Phi = \Phi (D + d^{ \prime}) - \Phi(D)$. (3)
Рассуждая как вначале задачи, заметим, что потенциал, численно равный разности (3) создает система двух сдвинутых на $d^{ \prime}$ разноименно заряженных труб, которые снова можно заменить на кольцо.
Итак, разность потенциалов между этими точками равна потенциалу, созданному очень тонким кольцом (ширины $d^{ \prime}$) радиуса $r$ с плотностью заряда а на расстоянии $D$ от центра:
$\Delta \Phi = \frac{2 \pi rd^{ \prime}k \sigma }{ \sqrt{D^{2} + r^{2} } }$.
С другой стороны, эта разность потенциалов равна $Ed^{ \prime}$ (очевидно, вектор $E$ направлен по оси трубы). Поэтому напряженность поля полубесконечной трубы на расстоянии $D$ от края (на оси) есть
$E(D) = \frac{2 \pi r k \sigma}{ \sqrt{D^{2} + r^{2} } }$.
Сила, действующая на диполь, тем самым равна по ф-ле (1)
$F = \frac{2 \pi r k \sigma}{ \sqrt{D^{2} + r^{2} } } - \frac{2 \pi rk \sigma}{ \sqrt{(D+d)^{2} + r^{2} } }$. (4)
При $d \ll D$ ф-лы (4) и (2) совпадают:
$F = \frac{2 \pi rk \sigma}{ \sqrt{(D^{2} + r^{2})((D + d)^{2} + r^{2} ) } } ( \sqrt{(D + d)^{2} + r^{2} } + \sqrt{D^{2} + r^{2} } ) \approx \frac{2 \pi rdk \sigma qD}{(D^{2} + r^{2} )^{3/2} }$
Ответ: Диполь отталкивается, точный ответ дается ф-лой (4). При $d \ll D$ она имеет вид (2).
