Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10227
2019-02-27 
Машина удаляется с постоянной скоростью от большой зеркальной витрины, двигаясь по прямой. На машине установлена лампа Л, которая светит равномерно во все стороны с мощностью $P = 225 Вт$. Отраженный от зеркала свет регистрируется детектором, который также расположен на машине и закреплен параллельно зеркалу (см. рис.). Детектор представляет собой пластину площадью $S = 462,3 см^{2}$ и определяет в каждый момент времени $t$ мощность попавшего на него излучения $P^{ \prime}$. При $t = 0$ машина находилась вплотную к витрине. На рис. изображен график $ln(P^{ \prime}/P_{0})$ от $ln(t/t_{0})$ (так называемый график в дважды-логарифмическом масштабе, параметры $P_{0} = 1 Вт, t_{0} = 1 c$). Определить скорость машины. Примечание: площадь поверхности сферы радиуса $R$ равна $4 \pi R^{2}$, основание натурального логарифма $e \approx 2,7183$.
Решение:
В момент времени $t$ машина находится на расстоянии $Vt$ от зеркала. Зеркало создает изображение источника света на расстоянии $2Vt$ от машины. Источник (и, следовательно, изображение) светит во все стороны одинаково. На расстоянии $2Vt$ от изображения мощность света равномерно распределится по площади сферы радиуса $2Vt$, поэтому на детектор попадает мощность света
$P^{ \prime} = \frac{PS}{16 \pi (Vt)^{2} } \Leftrightarrow \frac{P^{ \prime} }{P_{0} } = \frac{PS}{16 \pi (Vt)^{2} P_{0} } = \frac{PS}{16 \pi (Vt_{0} )^{2} P_{0} } \left ( \frac{t_{0} }{t} \right )^{2}$.
Прологарифмируем последнее выражение. График в дважды-логарифмическом масштабе изображает функцию
$ln \left ( \frac{P^{ \prime} }{P_{0} } \right ) = ln \frac{PS}{16 \pi P_{0} V^{2} t_{0}^{2} } - 2ln \left ( \frac{t}{t_{0} } \right )$.
Отметим, что корректно логарифмировать именно безразмерные величины $t/t_{0}$ и $P^{ \prime}/P_{0}$.
Значит, зависимость $y = ln(P^{ \prime}/P_{0})$ от $x = ln(t/t_{0})$ является линейной,
$y = k - 2x, k \equiv ln \frac{PS}{16 \pi P_{0} V^{2} t_{0}^{2} }$
коэффициент $k$ определяет точку пересечения этой прямой с осью ординат.
Теперь по графику легко восстановить скорость. Он пересекает ось ординат в точке - 1, значит
$ln \frac{PS}{16 \pi P_{0} V^{2}t_{0}^{2} } = - 1$.
Отсюда искомая скорость
$V = \sqrt{ \frac{PSe}{16 \pi P_{0} t_{0}^{2} } } \approx 0,75 м/с \approx 2,7 км/ч$,
где $e \approx 2,71828$ - основание натурального логарифма.
Заметьте, ответ имеет правильную размерность.
Ответ: Искомая скорость $v =0,75 м/с = 27 км/ч$.
Машина удаляется с постоянной скоростью от большой зеркальной витрины, двигаясь по прямой. На машине установлена лампа Л, которая светит равномерно во все стороны с мощностью $P = 225 Вт$. Отраженный от зеркала свет регистрируется детектором, который также расположен на машине и закреплен параллельно зеркалу (см. рис.). Детектор представляет собой пластину площадью $S = 462,3 см^{2}$ и определяет в каждый момент времени $t$ мощность попавшего на него излучения $P^{ \prime}$. При $t = 0$ машина находилась вплотную к витрине. На рис. изображен график $ln(P^{ \prime}/P_{0})$ от $ln(t/t_{0})$ (так называемый график в дважды-логарифмическом масштабе, параметры $P_{0} = 1 Вт, t_{0} = 1 c$). Определить скорость машины. Примечание: площадь поверхности сферы радиуса $R$ равна $4 \pi R^{2}$, основание натурального логарифма $e \approx 2,7183$.
Решение:
В момент времени $t$ машина находится на расстоянии $Vt$ от зеркала. Зеркало создает изображение источника света на расстоянии $2Vt$ от машины. Источник (и, следовательно, изображение) светит во все стороны одинаково. На расстоянии $2Vt$ от изображения мощность света равномерно распределится по площади сферы радиуса $2Vt$, поэтому на детектор попадает мощность света
$P^{ \prime} = \frac{PS}{16 \pi (Vt)^{2} } \Leftrightarrow \frac{P^{ \prime} }{P_{0} } = \frac{PS}{16 \pi (Vt)^{2} P_{0} } = \frac{PS}{16 \pi (Vt_{0} )^{2} P_{0} } \left ( \frac{t_{0} }{t} \right )^{2}$.
Прологарифмируем последнее выражение. График в дважды-логарифмическом масштабе изображает функцию
$ln \left ( \frac{P^{ \prime} }{P_{0} } \right ) = ln \frac{PS}{16 \pi P_{0} V^{2} t_{0}^{2} } - 2ln \left ( \frac{t}{t_{0} } \right )$.
Отметим, что корректно логарифмировать именно безразмерные величины $t/t_{0}$ и $P^{ \prime}/P_{0}$.
Значит, зависимость $y = ln(P^{ \prime}/P_{0})$ от $x = ln(t/t_{0})$ является линейной,
$y = k - 2x, k \equiv ln \frac{PS}{16 \pi P_{0} V^{2} t_{0}^{2} }$
коэффициент $k$ определяет точку пересечения этой прямой с осью ординат.
Теперь по графику легко восстановить скорость. Он пересекает ось ординат в точке - 1, значит
$ln \frac{PS}{16 \pi P_{0} V^{2}t_{0}^{2} } = - 1$.
Отсюда искомая скорость
$V = \sqrt{ \frac{PSe}{16 \pi P_{0} t_{0}^{2} } } \approx 0,75 м/с \approx 2,7 км/ч$,
где $e \approx 2,71828$ - основание натурального логарифма.
Заметьте, ответ имеет правильную размерность.
Ответ: Искомая скорость $v =0,75 м/с = 27 км/ч$.
