Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10226
2019-02-27 
Карно обнаружил, что если кастрюля с киселем имеет температуру $T_{0} = 20^{ \circ} C$ и находится в помещении с температурой $T$, то она обменивается с комнатой теплотой так, что в секунду переданное тепло равно $P = \alpha |T - T_{0}|$, где коэффициент $\alpha = 20 Дж/(^{\circ} C \cdot сек)$. При заданном $T$ найдите минимальную работу, которую должен затрачивать Карно ежесекундно, чтобы поддерживать температуру киселя неизменной. Постройте график зависимости $A(T)$.
Решение:
Если $T_{0} < T$, кастрюлю надо охлаждать. Сделать это можно, например, с помощью холодильной машины
Как известно, наибольшую эффективности имеет машина, работающая по циклу Карно. При этом роли нагревателя (отдающего ежесекундно теплоту $Q_{H}$) играет кастрюля, а роли холодильника (принимает ежесекундно теплоту $Q_{X}$) - комната.
По первому началу термодинамики затраченная в секунду работа определяется соотношением $A = Q_{X} - Q_{H}$, эффективности холодильника определяется как
$\xi = \frac{Q_{H} }{A} = \frac{T_{0} }{ T - T_{0} }$,
вторая часть равенства справедлива для цикла Карно (температуры записываются в градусах Кельвина).
Мощности отдаваемого кастрюлей тепла $Q_{H} = \xi A$ должна компенсировать нагрев кастрюли со стороны комнаты, имеющий мощности $P$. Тогда
$A(T) = \frac{ P}{ \xi} = \frac{ \alpha (T - T_{0})^{2}}{T_{0} }, T > T_{0}$.
Полученной формуле соответствует график в виде ветви параболы.
Если же температура кастрюли $T_{0} > T$, то кастрюлю надо нагревать. Организуем для этого тепловой насос на основе цикла Карно. При этом роли нагревателя (отдающего ежесекундно теплоту $Q_{H}$) играет комната, а роли холодильника (принимает ежесекундно теплоту $Q_{X}$) кастрюля. По первому началу термодинамики затраченная в секунду" работа определяется соотношением $A = Q_{X} - Q_{H}$, эффективность теплового насоса определяется как
$\xi^{ \prime} = \frac{Q_{X} }{A} = \frac{T_{0} }{T_{0} - T}$,
вторая часть равенства справедлива для цикла Карно.
Мощность получаемого кастрюлей тепла $Q_{X} = \xi^{ \prime}A$ должна компенсировать ее остывание, имеющее мощность $P$. Тогда
$A(T) = \frac{P}{ \xi^{ \prime}} = \frac{ \alpha (T - T_{0})^{2} }{T_{0} }, T < T_{0}$.
Полученной формуле соответствует график в виде второй ветви параболы.
Казалось бы, ответ получен. Однако можно нагревать кисель иным способом, например, активно его перемешивая. Очевидно, это необратимый процесс. Затрачиваемая при этом за секунду работа будет покрывать мощность теплопотерь, т.е.
$A(T) = P = \alpha |T_{0} - T |$,
и соответствующий график прямая ($OO^{ \prime}$).
Так какой из предложенных способов нагревания кастрюли обеспечивается наименьшей работой? Очевидно, ветвь параболы, полученная при нагревании тепловым насосов и прямая, соответствующая перемешиванию, должны пересечься. Вычислив температуру, при которой это происходит, убеждаемся, что точке пересечения соответствует $0^{ \circ} К$. Значит, при любой физической ($T > 0^{ \circ} К$) температуре более выгодным окажется метод нагревания тепловым насосом. Этот факт является отражением фундаментальной теоремы о минимальной работе, которая утверждает, что минимальная работа достигается именно в обратимых процессах.
Ответ: Требуемый график изображен на рис.
Карно обнаружил, что если кастрюля с киселем имеет температуру $T_{0} = 20^{ \circ} C$ и находится в помещении с температурой $T$, то она обменивается с комнатой теплотой так, что в секунду переданное тепло равно $P = \alpha |T - T_{0}|$, где коэффициент $\alpha = 20 Дж/(^{\circ} C \cdot сек)$. При заданном $T$ найдите минимальную работу, которую должен затрачивать Карно ежесекундно, чтобы поддерживать температуру киселя неизменной. Постройте график зависимости $A(T)$.
Решение:
Если $T_{0} < T$, кастрюлю надо охлаждать. Сделать это можно, например, с помощью холодильной машины
Как известно, наибольшую эффективности имеет машина, работающая по циклу Карно. При этом роли нагревателя (отдающего ежесекундно теплоту $Q_{H}$) играет кастрюля, а роли холодильника (принимает ежесекундно теплоту $Q_{X}$) - комната.
По первому началу термодинамики затраченная в секунду работа определяется соотношением $A = Q_{X} - Q_{H}$, эффективности холодильника определяется как
$\xi = \frac{Q_{H} }{A} = \frac{T_{0} }{ T - T_{0} }$,
вторая часть равенства справедлива для цикла Карно (температуры записываются в градусах Кельвина).
Мощности отдаваемого кастрюлей тепла $Q_{H} = \xi A$ должна компенсировать нагрев кастрюли со стороны комнаты, имеющий мощности $P$. Тогда
$A(T) = \frac{ P}{ \xi} = \frac{ \alpha (T - T_{0})^{2}}{T_{0} }, T > T_{0}$.
Полученной формуле соответствует график в виде ветви параболы.
Если же температура кастрюли $T_{0} > T$, то кастрюлю надо нагревать. Организуем для этого тепловой насос на основе цикла Карно. При этом роли нагревателя (отдающего ежесекундно теплоту $Q_{H}$) играет комната, а роли холодильника (принимает ежесекундно теплоту $Q_{X}$) кастрюля. По первому началу термодинамики затраченная в секунду" работа определяется соотношением $A = Q_{X} - Q_{H}$, эффективность теплового насоса определяется как
$\xi^{ \prime} = \frac{Q_{X} }{A} = \frac{T_{0} }{T_{0} - T}$,
вторая часть равенства справедлива для цикла Карно.
Мощность получаемого кастрюлей тепла $Q_{X} = \xi^{ \prime}A$ должна компенсировать ее остывание, имеющее мощность $P$. Тогда
$A(T) = \frac{P}{ \xi^{ \prime}} = \frac{ \alpha (T - T_{0})^{2} }{T_{0} }, T < T_{0}$.
Полученной формуле соответствует график в виде второй ветви параболы.
Казалось бы, ответ получен. Однако можно нагревать кисель иным способом, например, активно его перемешивая. Очевидно, это необратимый процесс. Затрачиваемая при этом за секунду работа будет покрывать мощность теплопотерь, т.е.
$A(T) = P = \alpha |T_{0} - T |$,
и соответствующий график прямая ($OO^{ \prime}$).
Так какой из предложенных способов нагревания кастрюли обеспечивается наименьшей работой? Очевидно, ветвь параболы, полученная при нагревании тепловым насосов и прямая, соответствующая перемешиванию, должны пересечься. Вычислив температуру, при которой это происходит, убеждаемся, что точке пересечения соответствует $0^{ \circ} К$. Значит, при любой физической ($T > 0^{ \circ} К$) температуре более выгодным окажется метод нагревания тепловым насосом. Этот факт является отражением фундаментальной теоремы о минимальной работе, которая утверждает, что минимальная работа достигается именно в обратимых процессах.
Ответ: Требуемый график изображен на рис.
