Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10224
2019-02-27 
Электрический нагреватель состоит из двух параллельных стержней длиной $2L$, расположенных на расстоянии $2a$, и регулятора AB, способного вращаться вокруг точки O. Сопротивление каждого стержня $R = 100 Ом$, регулятор имеет нулевое сопротивление. Стержни подключены к источнику постоянного тока с напряжением $U = 210 В$, как показано на рисунке. При помощи этого нагревателя воду массой $M = 2 кг$ доводят от температуры $T_{0} = 16^{ \circ} C$ до кипения. Найдите зависимость времени кипячения воды $t$ от угла $\phi$, который регулятор образует с горизонталью, и постройте график зависимости $t$ от величины $tg \phi$. Удельная теплоемкость воды $c = 4200 Дж/(кг \cdot ^{ \circ}C)$. Теплопотерями и сопротивлением проводов пренебречь, $L = 20 см,a =10 см$.
Решение:
Для нагревания воды массой $M$ от начальной температуры $T_{0}$ до $T = 100^{ \circ} С$ необходимо затратить энергию $Q = cM(T - T_{0} )$. Время работы нагревателя $t$ определяется из равенства $Q = Pt$, где $P$ - мощность нагревателя. Определим эту мощность. Она легко выражается через полное сопротивление нагревателя $R^{ \prime}$:
$P = \frac{U^{2} }{R^{ \prime} }$.
Таким образом задача сводится к нахождению $R^{ \prime}$.
Рассмотрим сперва положение регулятора AB при таких значениях угла что $-L/a \leq tg \phi \leq L/a$ (см. рис.). Здесь $l = a tg \phi$. Тогда регулятор будет пересекать параллельные стержни ac и df в некоторых точках b и е, симметрично расположенных относительно точки O. AB имеет нулевое сопротивление, а значит эти точки закорочены друг с другом, то есть имеют одинаковый потенциал. Схема нагревателя поэтому эквивалентна электрической схеме, изображенной на рис. Через $x$ обозначено сопротивление отрезков bс и de, а через $R - x$ сопротивление участков аb и ef (так как полное сопротивление каждого стержня равно $R$). Теперь не составит сложностей подсчитать полное сопротивление нагревателя:
$R^{ \prime} = 2 \frac{(R - x)x}{R - x + x} = 2 \frac{(R - x)x}{R}$.
Найдем теперь, чему равно сопротивление $x$. Для этого введем сопротивление единицы длины стрежня $\lambda = R/2L$. Длина участка bс равна $L - l$, отсюда получаем, что
$x = (L - l) \lambda = \frac{R}{2L}(L - a tg \phi)$.
Подставляя в формулу для $R^{ \prime}$, находим:
$R^{ \prime} = \frac{2}{R} \frac{R}{2L}(L - a tg \phi) \left ( R - \frac{R}{2L} (L - a tg \phi ) \right ) = \frac{R}{2} \left ( 1 - \left ( \frac{a}{L} \right )^{2} tg^{2} \phi \right )$.
Заметим, что при $tg \phi = \pm L/a$ величина $R^{ \prime} = 0$. Это соответствует закорачиванию источника регулятором АB (Сопротивление $x$ обращается в ноль).
Обратимся теперь к случаю, когда либо $tg \phi < -L/a$, либо $tg \phi > L/a$. Тогда регулятор уже не будет пересекать стержни ac и df. И схема нагревателя сведется к электрической схеме на рис., откуда сразу находим, что в этом случае $R^{ \prime} = R/2$.
Найдем теперь зависимость времени $t$ от $tg \phi$. Собирая все формулы вместе, получаем:
$cM(T - T_{0}) = \frac{ U^{2} t }{R^{ \prime} }$
Откуда:
$t = \frac{cM(T - T_{0})R^{ \prime}}{U^{2} }$
При $-L/a \leq tg \phi \leq L/a$, подставляя все величины, имеем: $t = 800 \left (1 - \frac{1}{4} tg^{2} \phi \right )$ секунд. В противном случае: $t = 800 секунд$. Таким образом получаем график на рис.
Ответ: Время работы нагревателя $t = 800 \left (1 - \frac{1}{4} tg^{2} \phi \right )$ секунд при $- 2 \leq tg \phi \leq 2$; в противном случае $t = 800$ секунд.
Электрический нагреватель состоит из двух параллельных стержней длиной $2L$, расположенных на расстоянии $2a$, и регулятора AB, способного вращаться вокруг точки O. Сопротивление каждого стержня $R = 100 Ом$, регулятор имеет нулевое сопротивление. Стержни подключены к источнику постоянного тока с напряжением $U = 210 В$, как показано на рисунке. При помощи этого нагревателя воду массой $M = 2 кг$ доводят от температуры $T_{0} = 16^{ \circ} C$ до кипения. Найдите зависимость времени кипячения воды $t$ от угла $\phi$, который регулятор образует с горизонталью, и постройте график зависимости $t$ от величины $tg \phi$. Удельная теплоемкость воды $c = 4200 Дж/(кг \cdot ^{ \circ}C)$. Теплопотерями и сопротивлением проводов пренебречь, $L = 20 см,a =10 см$.
Решение:
Для нагревания воды массой $M$ от начальной температуры $T_{0}$ до $T = 100^{ \circ} С$ необходимо затратить энергию $Q = cM(T - T_{0} )$. Время работы нагревателя $t$ определяется из равенства $Q = Pt$, где $P$ - мощность нагревателя. Определим эту мощность. Она легко выражается через полное сопротивление нагревателя $R^{ \prime}$:
$P = \frac{U^{2} }{R^{ \prime} }$.
Таким образом задача сводится к нахождению $R^{ \prime}$.
Рассмотрим сперва положение регулятора AB при таких значениях угла что $-L/a \leq tg \phi \leq L/a$ (см. рис.). Здесь $l = a tg \phi$. Тогда регулятор будет пересекать параллельные стержни ac и df в некоторых точках b и е, симметрично расположенных относительно точки O. AB имеет нулевое сопротивление, а значит эти точки закорочены друг с другом, то есть имеют одинаковый потенциал. Схема нагревателя поэтому эквивалентна электрической схеме, изображенной на рис. Через $x$ обозначено сопротивление отрезков bс и de, а через $R - x$ сопротивление участков аb и ef (так как полное сопротивление каждого стержня равно $R$). Теперь не составит сложностей подсчитать полное сопротивление нагревателя:
$R^{ \prime} = 2 \frac{(R - x)x}{R - x + x} = 2 \frac{(R - x)x}{R}$.
Найдем теперь, чему равно сопротивление $x$. Для этого введем сопротивление единицы длины стрежня $\lambda = R/2L$. Длина участка bс равна $L - l$, отсюда получаем, что
$x = (L - l) \lambda = \frac{R}{2L}(L - a tg \phi)$.
Подставляя в формулу для $R^{ \prime}$, находим:
$R^{ \prime} = \frac{2}{R} \frac{R}{2L}(L - a tg \phi) \left ( R - \frac{R}{2L} (L - a tg \phi ) \right ) = \frac{R}{2} \left ( 1 - \left ( \frac{a}{L} \right )^{2} tg^{2} \phi \right )$.
Заметим, что при $tg \phi = \pm L/a$ величина $R^{ \prime} = 0$. Это соответствует закорачиванию источника регулятором АB (Сопротивление $x$ обращается в ноль).
Обратимся теперь к случаю, когда либо $tg \phi < -L/a$, либо $tg \phi > L/a$. Тогда регулятор уже не будет пересекать стержни ac и df. И схема нагревателя сведется к электрической схеме на рис., откуда сразу находим, что в этом случае $R^{ \prime} = R/2$.
Найдем теперь зависимость времени $t$ от $tg \phi$. Собирая все формулы вместе, получаем:
$cM(T - T_{0}) = \frac{ U^{2} t }{R^{ \prime} }$
Откуда:
$t = \frac{cM(T - T_{0})R^{ \prime}}{U^{2} }$
При $-L/a \leq tg \phi \leq L/a$, подставляя все величины, имеем: $t = 800 \left (1 - \frac{1}{4} tg^{2} \phi \right )$ секунд. В противном случае: $t = 800 секунд$. Таким образом получаем график на рис.
Ответ: Время работы нагревателя $t = 800 \left (1 - \frac{1}{4} tg^{2} \phi \right )$ секунд при $- 2 \leq tg \phi \leq 2$; в противном случае $t = 800$ секунд.
