Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10223
2019-02-27 
Два бака A и B соединены при помощи двух труб (см. рисунок). Система заполнена водой. По трубе 1, в которую встроен нагреватель мощности $P = 8400 Вт$, ежесекундно из бака A в бак B поступает $\mu = 0,4 кг$ воды. Такое же количество воды ежесекундно поступает в обратную сторону по трубе 2. Температура в баке A поддерживается постоянной и равной $T_{A} = 35^{ \circ} C$. График зависимости температуры воды в баке B от времени представлен на рисунке. Определите массу воды $M$, находящейся в баке B. Удельная теплоемкость воды равна $c = 4200 Дж/(кг^{ \circ} \cdot C)$. Считайте, что вода в баке B перемешивается очень быстро, теплопотерями пренебречь.
Решение:
В трубу 1 встроен нагреватель, он нагревает воду, текущую по ней из бака A в бак B. Температура в баке A поддерживается постоянной, следовательно и температура воды, поступающей по трубе 1 во второй бак будет постоянной. Найдем эту температуру $T_{A}^{ \prime}$, для этого выпишем уравнение теплового баланса для воды в трубе 1. Ежесекундно в трубу поступает $\mu$ кг воды при температуре $T_{A}$, а вытекает столько же воды при искомой температуре $T_{A}^{ \prime}$. Значит вода в трубе ежесекундно получает энергию $c \mu (T_{A}^{ \prime} - T_{A})$, так как все находится в равновесии, то эта энергия приходит в систему за счёт работы нагревателя. Таким образом получаем, что $P = c \mu (T_{A}^{ \prime} - T_{A})$. Откуда
$T_{A}^{ \prime} = T_{A} + \frac{P}{c \mu}$.
Температура в баке Б зависит от времени, поэтому введем функцию $T_{B} (t)$ для её описания. Рассмотрим промежуток времени от $t$ до $t + \Delta t$, считая, что интервал времени $\Delta t$ мал. Тогда можно считать, что температура воды в баке B на протяжении выбранного промежутка времени практически не меняется и равна $T_{B}(t)$. Рассуждаем так же, как и в случае с трубой 1. За время $\Delta t$ в бак втекает $\mu \Delta t$ воды при температуре $T_{A}^{ \prime}$, а вытекает столько же, но при температуре $T_{B}(t)$. Таким образом, за рассматриваемое время в бак B поступает энергия $c \mu( T_{A}^{ \prime} - T_{B}(t))$ (она меньше нуля, т.е. энергия из бака теряется). Так как теплопотерями можно пренебречь, вода в баке B при этом охлаждается. Таким образом получаем:
$c \mu (T_{A}^{ \prime} - T_{B}(t)) \Delta t = cM \Delta T_{B} (t)$,
где $\Delta T_{B} (t)$ - изменение температуры в баке B за время $\Delta t ( \Delta T_{B} (t) < 0$ так как вода охлаждается). Выразим отсюда искомую массу воды $M$ в баке B:
$M = \frac{ \mu (T_{A} + P/((c \mu) - T_{B}(t))}{ \Delta T_{B}(t)/ \Delta t }$
Обратимся теперь к графику. Выберем любую точку на графике, проведем к ней касательную (см. рис.). Учтём, что отношение $\Delta T_{B} (t)/ \Delta t$, фигурирующее в полученном соотношение, есть угловой коэффициент касательной в точке $t = 40 с$. Теперь не составляет сложностей найти $M$. Она оказывается равной приблизительно 20 кг.
Ответ: Масса воды в баке B приблизительно 20 кг.
Два бака A и B соединены при помощи двух труб (см. рисунок). Система заполнена водой. По трубе 1, в которую встроен нагреватель мощности $P = 8400 Вт$, ежесекундно из бака A в бак B поступает $\mu = 0,4 кг$ воды. Такое же количество воды ежесекундно поступает в обратную сторону по трубе 2. Температура в баке A поддерживается постоянной и равной $T_{A} = 35^{ \circ} C$. График зависимости температуры воды в баке B от времени представлен на рисунке. Определите массу воды $M$, находящейся в баке B. Удельная теплоемкость воды равна $c = 4200 Дж/(кг^{ \circ} \cdot C)$. Считайте, что вода в баке B перемешивается очень быстро, теплопотерями пренебречь.
Решение:
В трубу 1 встроен нагреватель, он нагревает воду, текущую по ней из бака A в бак B. Температура в баке A поддерживается постоянной, следовательно и температура воды, поступающей по трубе 1 во второй бак будет постоянной. Найдем эту температуру $T_{A}^{ \prime}$, для этого выпишем уравнение теплового баланса для воды в трубе 1. Ежесекундно в трубу поступает $\mu$ кг воды при температуре $T_{A}$, а вытекает столько же воды при искомой температуре $T_{A}^{ \prime}$. Значит вода в трубе ежесекундно получает энергию $c \mu (T_{A}^{ \prime} - T_{A})$, так как все находится в равновесии, то эта энергия приходит в систему за счёт работы нагревателя. Таким образом получаем, что $P = c \mu (T_{A}^{ \prime} - T_{A})$. Откуда
$T_{A}^{ \prime} = T_{A} + \frac{P}{c \mu}$.
Температура в баке Б зависит от времени, поэтому введем функцию $T_{B} (t)$ для её описания. Рассмотрим промежуток времени от $t$ до $t + \Delta t$, считая, что интервал времени $\Delta t$ мал. Тогда можно считать, что температура воды в баке B на протяжении выбранного промежутка времени практически не меняется и равна $T_{B}(t)$. Рассуждаем так же, как и в случае с трубой 1. За время $\Delta t$ в бак втекает $\mu \Delta t$ воды при температуре $T_{A}^{ \prime}$, а вытекает столько же, но при температуре $T_{B}(t)$. Таким образом, за рассматриваемое время в бак B поступает энергия $c \mu( T_{A}^{ \prime} - T_{B}(t))$ (она меньше нуля, т.е. энергия из бака теряется). Так как теплопотерями можно пренебречь, вода в баке B при этом охлаждается. Таким образом получаем:
$c \mu (T_{A}^{ \prime} - T_{B}(t)) \Delta t = cM \Delta T_{B} (t)$,
где $\Delta T_{B} (t)$ - изменение температуры в баке B за время $\Delta t ( \Delta T_{B} (t) < 0$ так как вода охлаждается). Выразим отсюда искомую массу воды $M$ в баке B:
$M = \frac{ \mu (T_{A} + P/((c \mu) - T_{B}(t))}{ \Delta T_{B}(t)/ \Delta t }$
Обратимся теперь к графику. Выберем любую точку на графике, проведем к ней касательную (см. рис.). Учтём, что отношение $\Delta T_{B} (t)/ \Delta t$, фигурирующее в полученном соотношение, есть угловой коэффициент касательной в точке $t = 40 с$. Теперь не составляет сложностей найти $M$. Она оказывается равной приблизительно 20 кг.
Ответ: Масса воды в баке B приблизительно 20 кг.
