Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10221
2019-02-27 
Галилей исследует падение шаров с пизанской башни высотой $H$. У него есть два шара массами $m$ и $2m$. Учёный отпускает их один за другим через некоторый интервал времени. Начальная скорость шаров равна нулю. Соударения шаров с землей и друг с другом абсолютно упругие, шары двигаются по одной прямой. На какую максимальную высоту может подлететь лёгкий шар в результате одного столкновения с тяжелым? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Заметим сперва, что если запускать шары по отдельности, так чтобы они вообще не сталкивались в полёте, то оба шара вернутся после отскока от земли на исходную высоту $H$ в силу закона сохранения энергии, так как они отпускаются с нулевой начальной скоростью, а удар о землю абсолютно упругий.
Выясним, когда может произойти столкновение шаров. Если шар, отпущенный первым еще не ударился о землю, столкновения быть нс может, поскольку шары летят только под действием силы тяжести, сообщающей им одинаковое ускорение $g$, и верхний шар не может догнать нижний. Столкновение может произойти только когда отпущенный первым шар уже начнет подниматься. Более того, при столкновении скорости шаров совпадают по модулю, что легко увидеть из закона сохранения энергии. Действительно, для скорости $v$ более лёгкого шара на высоте $d$, например, имеем:
$mgH = mgd + \frac{mv^{2} }{2}$,
откуда сразу получаем, что
$v = \sqrt{2g(H - d)}$. (1)
Скорость не зависит от массы, а значит это соотношение верно и для второго шара. Заметим также, что разумно бросать первым тяжелый шар, чтобы, ударившись о землю, он имел большой импульс, направленный вверх. Тогда в результате столкновения с ним легкий шар подскочит высоко.
Рассмотрим теперь задачу о столкновении с одинаковыми скоростями $v$ шаров массами $m$ и $2m$. На рисунке обозначены импульсы шаров "до" и "после" столкновения. Нас интересует скорость w лёгкого шара после столкновения. Выпишем для этой системы законы сохранения импульса и энергии:
$2mv - mv = mw -2mu, \frac{mv^{2} }{2} + \frac{2mv^{2} }{2} + \frac{2mu^{2} }{2} + \frac{mw^{2} }{2}$.
Из них несложно получить, что $w = 5v/3$. Скорость лёгкого шара после столкновения оказывается пропорциональна скорости сталкивающихся шаров. А из (1) следует, что v макимально при $d = 0$, то есть максимальную скорость лёгкий шар приобретёт, если столкнётся с тяжёлым сразу после его отскока от земли.
Таким образом получаем, что максимальная скорость лёгкого шара равна
$w = \frac{5}{3} \sqrt{2gH}$.
Теперь можно найти максимальную высоту $h$. Из закона сохранения энергии для лёгкого шара после столкновения
$mgh = \frac{mw^{2} }{2}$
находим, что $h = 25H/9$.
Ответ: Следует отпустить сначала тяжелый шар, и сразу же за ним легкий, так, чтобы, отскочив от земли, тяжелый шар сразу же (у земли) наткнулся на легкий. При этом легкий шар подлетит на высоту $H = 25H/9$.
Галилей исследует падение шаров с пизанской башни высотой $H$. У него есть два шара массами $m$ и $2m$. Учёный отпускает их один за другим через некоторый интервал времени. Начальная скорость шаров равна нулю. Соударения шаров с землей и друг с другом абсолютно упругие, шары двигаются по одной прямой. На какую максимальную высоту может подлететь лёгкий шар в результате одного столкновения с тяжелым? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Заметим сперва, что если запускать шары по отдельности, так чтобы они вообще не сталкивались в полёте, то оба шара вернутся после отскока от земли на исходную высоту $H$ в силу закона сохранения энергии, так как они отпускаются с нулевой начальной скоростью, а удар о землю абсолютно упругий.
Выясним, когда может произойти столкновение шаров. Если шар, отпущенный первым еще не ударился о землю, столкновения быть нс может, поскольку шары летят только под действием силы тяжести, сообщающей им одинаковое ускорение $g$, и верхний шар не может догнать нижний. Столкновение может произойти только когда отпущенный первым шар уже начнет подниматься. Более того, при столкновении скорости шаров совпадают по модулю, что легко увидеть из закона сохранения энергии. Действительно, для скорости $v$ более лёгкого шара на высоте $d$, например, имеем:
$mgH = mgd + \frac{mv^{2} }{2}$,
откуда сразу получаем, что
$v = \sqrt{2g(H - d)}$. (1)
Скорость не зависит от массы, а значит это соотношение верно и для второго шара. Заметим также, что разумно бросать первым тяжелый шар, чтобы, ударившись о землю, он имел большой импульс, направленный вверх. Тогда в результате столкновения с ним легкий шар подскочит высоко.
Рассмотрим теперь задачу о столкновении с одинаковыми скоростями $v$ шаров массами $m$ и $2m$. На рисунке обозначены импульсы шаров "до" и "после" столкновения. Нас интересует скорость w лёгкого шара после столкновения. Выпишем для этой системы законы сохранения импульса и энергии:
$2mv - mv = mw -2mu, \frac{mv^{2} }{2} + \frac{2mv^{2} }{2} + \frac{2mu^{2} }{2} + \frac{mw^{2} }{2}$.
Из них несложно получить, что $w = 5v/3$. Скорость лёгкого шара после столкновения оказывается пропорциональна скорости сталкивающихся шаров. А из (1) следует, что v макимально при $d = 0$, то есть максимальную скорость лёгкий шар приобретёт, если столкнётся с тяжёлым сразу после его отскока от земли.
Таким образом получаем, что максимальная скорость лёгкого шара равна
$w = \frac{5}{3} \sqrt{2gH}$.
Теперь можно найти максимальную высоту $h$. Из закона сохранения энергии для лёгкого шара после столкновения
$mgh = \frac{mw^{2} }{2}$
находим, что $h = 25H/9$.
Ответ: Следует отпустить сначала тяжелый шар, и сразу же за ним легкий, так, чтобы, отскочив от земли, тяжелый шар сразу же (у земли) наткнулся на легкий. При этом легкий шар подлетит на высоту $H = 25H/9$.
