Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10220
2019-02-27 
На скользком льду стоит башенный кран. Он состоит из опоры массой $M$, симметричной относительно оси $OO^{ \prime}$, и легкой стрелы AB длиной $L$. По всей длине стрелы, от A до B, может ездить каретка с крюком, изначально она находится в точке B, ее масса $m$. Груз массой $m^{ \prime}$ подцепляют крюком с земли, затем каретка медленно доезжает до точки A, груз опускают на землю, и каретка возвращается в конец стрелы. Оказалось, что кран при этом сдвигается. Насколько сдвинется кран, если повторить описанные операции $N$ раз? Трением крана о лёд, размерами каретки и груза пренебречь.
Решение:
Кран стоит на скользком льду, трением можно пренебречь, а значит никакие внешние силы па него в горизонтальном направлении по действуют. Поэтому он движется таким образом, что центр масс остается на место (последовательные положения крана показаны па рисунке).
Рассмотрим кран с прикрепленным к каретке грузом массой $m^{ \prime}$, когда она находится в точке B (положение а). Стрела легкая, поэтому ее массой можно пренебречь. Следовательно, полная масса системы $m + m^{ \prime} + M$. Определим, на каком расстоянии $x$ от оси $OO^{ \prime}$ находится центр масс системы:
$(m + m^{ \prime} )L = (m + m^{ \prime} + M)x$.
Откуда получаем, что
$x = \frac{m + m^{ \prime}}{m + m^{ \prime} + M} L$.
Каретка приезжает в точку A (положение b), при этом ось $OO^{ \prime}$ сдвигается на величину $x$ вправо.
После этого груз отцепляется и каретка возвращается. Центр масс системы по-прежнему должен оставаться на месте, по распределение масс изменилось. Поэтому крап не вернется в исходное положение. Рассмотрим конечное положение, когда каретка снова вернулась в точку B (положение с). Вычислим расстояние $y$ от оси $OO^{ \prime}$ до нового центра в этом случае. Аналогично получаем:
$mL = (m + M)y$,
откуда имеем:
$y = \frac{m}{m + M} L$.
В итоге, за каждый цикл кран сдвигается на величину $x - y$ вправо. Значит за $N$ повторений он переместится на расстояние $S = N(x - y)$.
Ответ: $S = NL \frac{m + m^{ \prime}}{(m + m^{ \prime} + M) - \frac{m}{m + M}}$.
На скользком льду стоит башенный кран. Он состоит из опоры массой $M$, симметричной относительно оси $OO^{ \prime}$, и легкой стрелы AB длиной $L$. По всей длине стрелы, от A до B, может ездить каретка с крюком, изначально она находится в точке B, ее масса $m$. Груз массой $m^{ \prime}$ подцепляют крюком с земли, затем каретка медленно доезжает до точки A, груз опускают на землю, и каретка возвращается в конец стрелы. Оказалось, что кран при этом сдвигается. Насколько сдвинется кран, если повторить описанные операции $N$ раз? Трением крана о лёд, размерами каретки и груза пренебречь.
Решение:
Кран стоит на скользком льду, трением можно пренебречь, а значит никакие внешние силы па него в горизонтальном направлении по действуют. Поэтому он движется таким образом, что центр масс остается на место (последовательные положения крана показаны па рисунке).
Рассмотрим кран с прикрепленным к каретке грузом массой $m^{ \prime}$, когда она находится в точке B (положение а). Стрела легкая, поэтому ее массой можно пренебречь. Следовательно, полная масса системы $m + m^{ \prime} + M$. Определим, на каком расстоянии $x$ от оси $OO^{ \prime}$ находится центр масс системы:
$(m + m^{ \prime} )L = (m + m^{ \prime} + M)x$.
Откуда получаем, что
$x = \frac{m + m^{ \prime}}{m + m^{ \prime} + M} L$.
Каретка приезжает в точку A (положение b), при этом ось $OO^{ \prime}$ сдвигается на величину $x$ вправо.
После этого груз отцепляется и каретка возвращается. Центр масс системы по-прежнему должен оставаться на месте, по распределение масс изменилось. Поэтому крап не вернется в исходное положение. Рассмотрим конечное положение, когда каретка снова вернулась в точку B (положение с). Вычислим расстояние $y$ от оси $OO^{ \prime}$ до нового центра в этом случае. Аналогично получаем:
$mL = (m + M)y$,
откуда имеем:
$y = \frac{m}{m + M} L$.
В итоге, за каждый цикл кран сдвигается на величину $x - y$ вправо. Значит за $N$ повторений он переместится на расстояние $S = N(x - y)$.
Ответ: $S = NL \frac{m + m^{ \prime}}{(m + m^{ \prime} + M) - \frac{m}{m + M}}$.
