Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1022
2016-09-17 
Оценить минимальную массу звезды, при которой свет, исходящий с её поверхности, не достигнет внешнего наблюдателя. Радиус звезды $R$.
Решение:
Для получения оценки будем считать, что свет состоит из частиц — фотонов, которые движутся со скоростью $c = 3 \cdot 10^{8} м/с$, и будем использовать формулы классической механики (хотя на самом деле этого делать нельзя). Внешний наблюдатель не увидит испущенный с поверхности звезды свет в том случае, если фотон не сможет преодолеть гравитационное притяжение звезды, то есть если скорость фотона с будет меньше второй космической скорости. Вторая космическая скорость $v{2к}$ может быть найдена из закона сохранения механической энергии:
$\frac{mv_{2к}^{2}}{2} = G \frac{mM_{min}}{R}$. (1)
Здесь $m$ — масса фотона, $M$ — масса звезды, $R$ — её радиус, $G$ — гравитационная постоянная. Полагая $v_{2к} = c$, получаем:
$M_{min} = \frac{Rc^{2}}{2G}$.
Чтобы получить представление о найденном ответе, сделаем численные оценки. Предположим, что звезда, о которой идёт речь в условии задачи, подобна нашему Солнцу. Радиус Солнца равен $R_{c} \approx 7 \cdot 10^{8} м$. Значит, для того, чтобы свет, испускаемый такой звездой, перестал быть виден внешнему наблюдателю, необходимо, чтобы она имела массу $M = \frac{R_{c}c^{2}}{2G} \approx 4,7 \cdot 10^{35} кг$. При этом звезда будет иметь плотность $\rho = \frac{3c^{2}}{8 \pi G R_{c}^{2}} \approx 3,3 \cdot 10^{8} кг/м^{3}$.
Для сравнения приведём массу Солнца — $M_{c} \approx 2 \cdot 10^{30} кг$ и среднюю плотность вещества Земли — она составляет $\rho_{з} \sim 5,5 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$.
Для получения оценки можно также считать, что вылетевший фотон выходит на «околозвёздную» орбиту и поэтому не достигает внешнего наблюдателя. В этом случае получается, что скорость фотона с равна первой космической скорости, которая в $\sqrt{2}$ раз меньше второй космической скорости. Тогда для $M_{min}$ получится вдвое большая величина. Заметим, что в исходную формулу (1) входит масса фотона, хотя фотон не имеет массы покоя. Однако на ответ это не влияет, так как оценки делаются формальным способом, и масса фотона всюду сокращается. Далее, возникает вопрос: насколько полученная оценка близка к верному ответу, который может быть получен средствами общей теории относительности? Ответ неожиданный: полученная формальным способом оценка чудесным образом совпадает с точным ответом!
Оценить минимальную массу звезды, при которой свет, исходящий с её поверхности, не достигнет внешнего наблюдателя. Радиус звезды $R$.
Решение:
Для получения оценки будем считать, что свет состоит из частиц — фотонов, которые движутся со скоростью $c = 3 \cdot 10^{8} м/с$, и будем использовать формулы классической механики (хотя на самом деле этого делать нельзя). Внешний наблюдатель не увидит испущенный с поверхности звезды свет в том случае, если фотон не сможет преодолеть гравитационное притяжение звезды, то есть если скорость фотона с будет меньше второй космической скорости. Вторая космическая скорость $v{2к}$ может быть найдена из закона сохранения механической энергии:
$\frac{mv_{2к}^{2}}{2} = G \frac{mM_{min}}{R}$. (1)
Здесь $m$ — масса фотона, $M$ — масса звезды, $R$ — её радиус, $G$ — гравитационная постоянная. Полагая $v_{2к} = c$, получаем:
$M_{min} = \frac{Rc^{2}}{2G}$.
Чтобы получить представление о найденном ответе, сделаем численные оценки. Предположим, что звезда, о которой идёт речь в условии задачи, подобна нашему Солнцу. Радиус Солнца равен $R_{c} \approx 7 \cdot 10^{8} м$. Значит, для того, чтобы свет, испускаемый такой звездой, перестал быть виден внешнему наблюдателю, необходимо, чтобы она имела массу $M = \frac{R_{c}c^{2}}{2G} \approx 4,7 \cdot 10^{35} кг$. При этом звезда будет иметь плотность $\rho = \frac{3c^{2}}{8 \pi G R_{c}^{2}} \approx 3,3 \cdot 10^{8} кг/м^{3}$.
Для сравнения приведём массу Солнца — $M_{c} \approx 2 \cdot 10^{30} кг$ и среднюю плотность вещества Земли — она составляет $\rho_{з} \sim 5,5 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$.
Для получения оценки можно также считать, что вылетевший фотон выходит на «околозвёздную» орбиту и поэтому не достигает внешнего наблюдателя. В этом случае получается, что скорость фотона с равна первой космической скорости, которая в $\sqrt{2}$ раз меньше второй космической скорости. Тогда для $M_{min}$ получится вдвое большая величина. Заметим, что в исходную формулу (1) входит масса фотона, хотя фотон не имеет массы покоя. Однако на ответ это не влияет, так как оценки делаются формальным способом, и масса фотона всюду сокращается. Далее, возникает вопрос: насколько полученная оценка близка к верному ответу, который может быть получен средствами общей теории относительности? Ответ неожиданный: полученная формальным способом оценка чудесным образом совпадает с точным ответом!
