Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10219
2019-02-27 
Из куска покрытого изоляцией провода сопротивлением $R$ спаяли кольцо; кольцо свернули в симметричную восьмерку (с одинаковыми петельками). В середине, где провода восьмерки скрещиваются, контакта нет. Точно таким же образом изготовили вторую восьмерку. Источник тока подключают к точкам скрещивания обеих восьмерок (на рис. 1 крупно показано подключение одной восьмерки): один из скрещивающихся проводов подключен к "плюсу", а другой - к "минусу". Затем подключенные восьмерки спаяли друг с другом в симметричных точках A и B (см. рис.2), сопротивление участка провода между A и B равно $R/4$. Каково полное сопротивление этой схемы?
Решение:
Поскольку восьмерки скручены из изолированных проводов, и в середине нет контакта, их можно мысленно раскрутить, превратив в круги (разумеется, не нарушая спайки в точках A и Б).
Если восьмерки были перекручены в одну сторону, эквивалентная схема изображена на рис. Черными линиями здесь и далее нарисованы соединительные провода, сопротивлением которых можно пренебречь.
Эту схему можно перерисовать, как на рис. (AA и BB - провода, обеспечивающие спайку двух колец).
По проводам AA и BB в этой схеме ток не потечет из симметрии схемы. Действительно, предположим, что по проводу АA течет вверх ток $I$. Если мы отразим схему относительно горизонтальной оси симметрии, ток по поводу AA станет течь в низ ($-I$). Однако при отражении схема не изменилась, то есть по AA должен течь ток $I$ вверх, отсюда получается $I = - I$, т.е. $I = 0$. Итак, ток по проводу AA не течет, аналогично обстоит дело с проводами BB. Значит, эти провода не влияют на сопротивление схемы, и их можно выбросить.
Полное сопротивление оставшихся двух несоединенных колец не зависит от сопротивления между точками A и B. Каждое кольцо, подключенное таким образом эквивалентно схеме состоящей из двух одинаковых параллельно соединенных проводников сопротивлением $R/2$. Ее сопротивление равно $R/4$. Вся схема представляет собой два таких кольца, соединенных параллельно, ее сопротивление равно $R/8$.
Однако, если восьмерки были перекручены в разные стороны, эквивалентная схема примет вид как на рис. (провода AA и BB скрещиваются, обеспечивая спайку двух колец, но в точке их скрещивания контакта нет). Схема также симметрична, поэтому во всех точках A и B одинаковый потенциал. Значит, на кольцах между точками HiB падение напряжения равно нулю, следовательно, ток по этим участкам колец не течет, и их можно выкинуть. Эквивалентная схема представлена на рис., это два одинаковых куска кольца, соединенных параллельно. Каждый из таких кусков, как видно из рисунка, представляет собой половину кольца соединенную параллельно с половиной кольца, из которой выкинули участок AB (сопротивление каждого такой конструкции $R/6$). Тогда сопротивление всей схемы в этом случае равно $R/12$.
Ответ: $R/8$ или $R/12$ в зависимости от того, были ли восьмерки перекручены в одну, или в разные стороны.
Из куска покрытого изоляцией провода сопротивлением $R$ спаяли кольцо; кольцо свернули в симметричную восьмерку (с одинаковыми петельками). В середине, где провода восьмерки скрещиваются, контакта нет. Точно таким же образом изготовили вторую восьмерку. Источник тока подключают к точкам скрещивания обеих восьмерок (на рис. 1 крупно показано подключение одной восьмерки): один из скрещивающихся проводов подключен к "плюсу", а другой - к "минусу". Затем подключенные восьмерки спаяли друг с другом в симметричных точках A и B (см. рис.2), сопротивление участка провода между A и B равно $R/4$. Каково полное сопротивление этой схемы?
Решение:
Поскольку восьмерки скручены из изолированных проводов, и в середине нет контакта, их можно мысленно раскрутить, превратив в круги (разумеется, не нарушая спайки в точках A и Б).
Если восьмерки были перекручены в одну сторону, эквивалентная схема изображена на рис. Черными линиями здесь и далее нарисованы соединительные провода, сопротивлением которых можно пренебречь.
Эту схему можно перерисовать, как на рис. (AA и BB - провода, обеспечивающие спайку двух колец).
По проводам AA и BB в этой схеме ток не потечет из симметрии схемы. Действительно, предположим, что по проводу АA течет вверх ток $I$. Если мы отразим схему относительно горизонтальной оси симметрии, ток по поводу AA станет течь в низ ($-I$). Однако при отражении схема не изменилась, то есть по AA должен течь ток $I$ вверх, отсюда получается $I = - I$, т.е. $I = 0$. Итак, ток по проводу AA не течет, аналогично обстоит дело с проводами BB. Значит, эти провода не влияют на сопротивление схемы, и их можно выбросить.
Полное сопротивление оставшихся двух несоединенных колец не зависит от сопротивления между точками A и B. Каждое кольцо, подключенное таким образом эквивалентно схеме состоящей из двух одинаковых параллельно соединенных проводников сопротивлением $R/2$. Ее сопротивление равно $R/4$. Вся схема представляет собой два таких кольца, соединенных параллельно, ее сопротивление равно $R/8$.
Однако, если восьмерки были перекручены в разные стороны, эквивалентная схема примет вид как на рис. (провода AA и BB скрещиваются, обеспечивая спайку двух колец, но в точке их скрещивания контакта нет). Схема также симметрична, поэтому во всех точках A и B одинаковый потенциал. Значит, на кольцах между точками HiB падение напряжения равно нулю, следовательно, ток по этим участкам колец не течет, и их можно выкинуть. Эквивалентная схема представлена на рис., это два одинаковых куска кольца, соединенных параллельно. Каждый из таких кусков, как видно из рисунка, представляет собой половину кольца соединенную параллельно с половиной кольца, из которой выкинули участок AB (сопротивление каждого такой конструкции $R/6$). Тогда сопротивление всей схемы в этом случае равно $R/12$.
Ответ: $R/8$ или $R/12$ в зависимости от того, были ли восьмерки перекручены в одну, или в разные стороны.
