Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10218
2019-02-27 
Гомер и Барт при помощи легкой веревки и блока подняли и удерживали на высоте $H = 6,3 м$ бочку с водой массы $M = 103,5 кг$. Гомер решил запустить секундомер и случайно отпустил при этом веревку, а Барт, продолжая удерживать веревку, поехал вверх. По пути он столкнулся с бочкой, от чего выпустил веревку и полетел вниз, в то время как из бочки выпало дно и вылилась вода, а сама она полетела вверх с начальной скоростью $V = 1 м/с$. Барт упал, и вскоре на него сверху упала бочка. Что показывал секундомер, когда упала бочка? Масса не сильно пострадавшего Барта $m = 40,5 кг$, продолжительность его столкновения с бочкой мала, $g =10 м/с^{2}$.
Решение:
Как только Гомер отпустил веревку, бочка перевесила Барта, так что и Барт и бочка стали двигаться с некоторым ускорением а, бочка - вниз, а Барт - вверх. Найдем это ускорение.
Второй закон Ньютона для Барта и бочки в проекции на ось, направленную вверх, имеет вид
$-Ma = -Mg + T, ma = -mg + T$,
здесь $T$ - сила натяжения веревки, перекинутой через блок. Вычитая первое уравнение из второго, получим $ma + Ma = - mg + Mg$, откуда легко выражается
$a = \frac{M-m}{M + m} g$. (2)
Этот же результат для ускорения можно получить иначе. Рассмотрим систему "Барт и бочка" массой $m + M$, в проекции на направление ее движения. Она пришла в движение под действием $F = Mg - mg$ (разности сил тяжести, действующих на Барта и бочку). Значит, до столкновения Барт и бочка двигаются с ускорением $a = F/(M + m)$, что совпадает с (2)
С этим ускорением и Барт и бочка пролетели до столкновения путь $H/2$ каждый. Это заняло время $t_{1}$, такое, что
$\frac{H}{2} = \frac{at_{1}^{2}}{2} \Rightarrow t_{1} = \sqrt{ \frac{H}{a} } = \sqrt{ \frac{H(M + m)}{(M-m)g}} = 1,2с$.
Далее бочка движется в поле силы тяжести с начальной скоростью $V$, уравнение ее движения в проекции на ось, направленную вверх: $y(t) = H/2 + Vt - gt^{2}/2$. В момент $t_{2}$, когда $y$ обратилось в ноль, бочка упала. Решая квадратное уравнение на $t_{2}$
$y(t_{2}) = H/2 + Vt_{2} - gt_{2}^{2}/2 = 0$,
получим
$t_{2} = \frac{V \pm \sqrt{V^{2} + gH } }{g}$
и единственное положительное значение $t_{2} = 0,9 с$. Ответ дается суммой $t_{1}$ и $t_{2}$.
Ответ: Секундомер покажет 2,1 с.
Гомер и Барт при помощи легкой веревки и блока подняли и удерживали на высоте $H = 6,3 м$ бочку с водой массы $M = 103,5 кг$. Гомер решил запустить секундомер и случайно отпустил при этом веревку, а Барт, продолжая удерживать веревку, поехал вверх. По пути он столкнулся с бочкой, от чего выпустил веревку и полетел вниз, в то время как из бочки выпало дно и вылилась вода, а сама она полетела вверх с начальной скоростью $V = 1 м/с$. Барт упал, и вскоре на него сверху упала бочка. Что показывал секундомер, когда упала бочка? Масса не сильно пострадавшего Барта $m = 40,5 кг$, продолжительность его столкновения с бочкой мала, $g =10 м/с^{2}$.
Решение:
Как только Гомер отпустил веревку, бочка перевесила Барта, так что и Барт и бочка стали двигаться с некоторым ускорением а, бочка - вниз, а Барт - вверх. Найдем это ускорение.
Второй закон Ньютона для Барта и бочки в проекции на ось, направленную вверх, имеет вид
$-Ma = -Mg + T, ma = -mg + T$,
здесь $T$ - сила натяжения веревки, перекинутой через блок. Вычитая первое уравнение из второго, получим $ma + Ma = - mg + Mg$, откуда легко выражается
$a = \frac{M-m}{M + m} g$. (2)
Этот же результат для ускорения можно получить иначе. Рассмотрим систему "Барт и бочка" массой $m + M$, в проекции на направление ее движения. Она пришла в движение под действием $F = Mg - mg$ (разности сил тяжести, действующих на Барта и бочку). Значит, до столкновения Барт и бочка двигаются с ускорением $a = F/(M + m)$, что совпадает с (2)
С этим ускорением и Барт и бочка пролетели до столкновения путь $H/2$ каждый. Это заняло время $t_{1}$, такое, что
$\frac{H}{2} = \frac{at_{1}^{2}}{2} \Rightarrow t_{1} = \sqrt{ \frac{H}{a} } = \sqrt{ \frac{H(M + m)}{(M-m)g}} = 1,2с$.
Далее бочка движется в поле силы тяжести с начальной скоростью $V$, уравнение ее движения в проекции на ось, направленную вверх: $y(t) = H/2 + Vt - gt^{2}/2$. В момент $t_{2}$, когда $y$ обратилось в ноль, бочка упала. Решая квадратное уравнение на $t_{2}$
$y(t_{2}) = H/2 + Vt_{2} - gt_{2}^{2}/2 = 0$,
получим
$t_{2} = \frac{V \pm \sqrt{V^{2} + gH } }{g}$
и единственное положительное значение $t_{2} = 0,9 с$. Ответ дается суммой $t_{1}$ и $t_{2}$.
Ответ: Секундомер покажет 2,1 с.
