Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10217
2019-02-27 
Раствор вещества $X$, взятый при температуре $T$ (если $0^{ \circ} C \leq T \leq 100^{ \circ} C$) взрывается, если масса вещества $X$, приходящаяся на один килограмм воды, превосходит критическое значение $m_{kp} = \beta - kT$, где $\beta$ и $k$ - некоторые положительные коэффициенты. Пин залил 200 грамм вещества двумя литрами воды и получил раствор теплоемкостью $C = 9 кДж/^{ \circ} C$ при температуре $T_{0} = 20^{ \circ} C$. Разлив раствор пополам в два сосуда, он одну половину нагрел, затратив теплоту $Q = 41895 Дж$, а в другую медленно добавил литр кипятка. В результате оба сосуда взорвались. Сколько грамм вещества должен добавить Пин в литр воды, чтобы смесь взрывалась при $0^{ \circ} C$? Удельная теплоемкость воды $4,2 кДж/(кг^{ \circ}C)$, потерями тепла и теплотой растворения пренебречь.
Решение:
Первоначально Пин имеет раствор, содержащий $m_{a} = 100 г$ вещества $X$ на литр воды
Несложно посчитать, при какой температуре $T_{a}$ взрывается первый сосуд. По условию весь раствор имеет теплоемкости $C$, тогда теплоемкости половшие раствора равна $C/2$. Из уравнения теплового баланса mbi находим, что в результате нагревания его температура увеличилась на $\Delta T = Q/(C/2) = 9,31^{ \circ} С$, значит $T_{a} = 29,31^{ \circ} С$.
Когда в раствор заливают кипяток, во втором сосуде мы получаем раствор большей температуры, но меньшей концентрации, всего лишь $m_{b} = 50 грамм$ вещества $X$ на килограмм воды.
Пусти конечная температура раствора во втором сосуде равна $T_{b}$. Запишем уравнение теплового баланса: теплота, переданная раствору, равна теплоте, переданной залитой водой массой $M = 1 кг$:
$(C/2)(T_{b} - 20^{ \circ} ) = cM(100^{ \circ} - T_{b}) \Rightarrow T_{b} = \frac{100cM + 20(C/2)}{C/2 + cM} \approx 58,62^{ \circ} С$
По условию в конце раствор в обоих сосудах взорвался, значит выполнялись условия
$m_{a} = \beta - kT_{a}, m_{b} = \beta - kT_{b}$,
подставляя сюда численные значения $m_{a}, m_{b}, T_{a}, T_{b}$, получим
$100 = \beta - 29,31k, 50 = \beta - 58,62k$. (1)
Отсюда легко выразить коэффициенты $\beta$ и $k$.
Можно заметить, что интересующая нас величина критическая масса, соответствующая нулевой температуре численно равна коэффициенту $\beta$. Проще всего выразить его из системы (1), домножив первое уравнение на два, и вычтя одно уравнение из другого.
Ответ: Пину нужно 150 грамм вещества $X$.
Раствор вещества $X$, взятый при температуре $T$ (если $0^{ \circ} C \leq T \leq 100^{ \circ} C$) взрывается, если масса вещества $X$, приходящаяся на один килограмм воды, превосходит критическое значение $m_{kp} = \beta - kT$, где $\beta$ и $k$ - некоторые положительные коэффициенты. Пин залил 200 грамм вещества двумя литрами воды и получил раствор теплоемкостью $C = 9 кДж/^{ \circ} C$ при температуре $T_{0} = 20^{ \circ} C$. Разлив раствор пополам в два сосуда, он одну половину нагрел, затратив теплоту $Q = 41895 Дж$, а в другую медленно добавил литр кипятка. В результате оба сосуда взорвались. Сколько грамм вещества должен добавить Пин в литр воды, чтобы смесь взрывалась при $0^{ \circ} C$? Удельная теплоемкость воды $4,2 кДж/(кг^{ \circ}C)$, потерями тепла и теплотой растворения пренебречь.
Решение:
Первоначально Пин имеет раствор, содержащий $m_{a} = 100 г$ вещества $X$ на литр воды
Несложно посчитать, при какой температуре $T_{a}$ взрывается первый сосуд. По условию весь раствор имеет теплоемкости $C$, тогда теплоемкости половшие раствора равна $C/2$. Из уравнения теплового баланса mbi находим, что в результате нагревания его температура увеличилась на $\Delta T = Q/(C/2) = 9,31^{ \circ} С$, значит $T_{a} = 29,31^{ \circ} С$.
Когда в раствор заливают кипяток, во втором сосуде мы получаем раствор большей температуры, но меньшей концентрации, всего лишь $m_{b} = 50 грамм$ вещества $X$ на килограмм воды.
Пусти конечная температура раствора во втором сосуде равна $T_{b}$. Запишем уравнение теплового баланса: теплота, переданная раствору, равна теплоте, переданной залитой водой массой $M = 1 кг$:
$(C/2)(T_{b} - 20^{ \circ} ) = cM(100^{ \circ} - T_{b}) \Rightarrow T_{b} = \frac{100cM + 20(C/2)}{C/2 + cM} \approx 58,62^{ \circ} С$
По условию в конце раствор в обоих сосудах взорвался, значит выполнялись условия
$m_{a} = \beta - kT_{a}, m_{b} = \beta - kT_{b}$,
подставляя сюда численные значения $m_{a}, m_{b}, T_{a}, T_{b}$, получим
$100 = \beta - 29,31k, 50 = \beta - 58,62k$. (1)
Отсюда легко выразить коэффициенты $\beta$ и $k$.
Можно заметить, что интересующая нас величина критическая масса, соответствующая нулевой температуре численно равна коэффициенту $\beta$. Проще всего выразить его из системы (1), домножив первое уравнение на два, и вычтя одно уравнение из другого.
Ответ: Пину нужно 150 грамм вещества $X$.
