Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10215
2019-02-22 
В высокие стеклянные сообщающиеся сосуды с металлическим дном на расстоянии 2 и 4 см от дна встроены горизонтальные проволочные сетки. Сетки, находящиеся на одном уровне, соединены проводами А и В. В систему залили ртуть до уровня 5 см. Затем в левый сосуд залили 5 см жидкого изолятора (его плотность меньше чем у ртути на $\Delta \rho$), а сверху - 1 см еще более легкой жидкости с удельным сопротивлением в $k$ раз больше, чем у ртути. Поверх жидкости поместили легкие проводящие поршни. Система пришла в равновесие, при этом ртуть в правом сосуде достигла уровня 7 см. К дну сосудов и поршням подключили батарейку (см. рис.: серым изображены обе проводящие жидкости, белым - изолятор). На левый поршень собираются ставить груз. Найдите электрическое сопротивление системы в зависимости от массы груза; постройте график этой зависимости. Плотность ртути $\rho$, ее удельное сопротивление $r$, площадь дна обоих сосудов $S$. Сопротивлением проводов и поршней, трением и тепловым расширением ртути пренебречь. Объем соединяющей сосуды трубки мал.
Решение:
Введем $\Delta x$ - расстояние, на которое из-за груза сдвинулся уровень ртуть-диэлектрик (Р-Д) в левом сосуде. Также введем параметр $l_{0} = 1 см$, чтобы аккуратно обращаться с размерностью физических величин в формулах.
Очевидно $\Delta x \leq 3l_{0}$, затем вся ртуть оказывается в правом сосуде и начинается пробулькивание диэлектрика. Пока это не произошло, сдвиг на $\Delta x$ приводит к тому, что давление на дно левого сосуда уменьшается на $\rho g \Delta x$ и увеличивается за счет установленного груза на $mg/S$. В правом же сосуде, за счет перетекшего туда столбика ртути $\Delta x$, давление увеличивается на $\rho g \Delta x$. Однако, давление у дна сосудов должны быть равны, т.е. за счет груза давления изменились на одну величину:
$\frac{mg}{S} - \rho g \Delta x = \rho g \Delta x \Rightarrow \Delta x = \frac{m}{2 \rho S } = \frac{m}{m_{0} } l_{0}$, (1)
где для краткости мы ввели $m_{0} = 2 \rho l_{0}S$.
Режим 1. Пусть $\Delta x \leq l_{0}$, т.е. граница Р-Д в левом сосуде не достигла уровня сетки В. Эквивалентная схема в этом случае изображена на рис. На ней имеется сопротивление ртути в правом сосуде выше сетки В и параллельно соединенные участки ниже этой сетки. В левом сосуде выше сетки В ток не течет. На рисунке мы обозначили сопротивления, использовав обозначение $\lambda = rl_{0}/S$ - сопротивление столбца ртути сечением $S$ высотой $l_{0} = 1 см$. Также мы учли, что ниже сетки столбики ртути имеют длину $2l_{0}$, а всего в правый сосуд к 7 см уже имевшейся там вначале ртути, добавился за счет груза столбик ртуты высотой $\Delta x$.
Сопротивление схемы, изображенной на рис. равно
$R_{режим 1} = \frac{ \lambda }{l_{0} } (6l_{0} + \Delta x ) = \lambda \left ( 6 + \frac{m}{m_{0} } \right )$.
Здесь мы учли (1). Заметим, что данный режим действует, пока $\Delta x \leq l_{0}$, т.е. пока $m \leq m_{0}$.
Режим 2. Пусть $l_{0} \leq \Delta x \leq 3 l_{0}$, т.е. граница Р-Д в левом сосуде достигла уровня сетки В, но не достигла дна левого сосуда. В этом случае через левый сосуд ток не течет, уровень ртути в правом сосуде равен $7l_{0} + \Delta x$, а ее сопротивление равно
$R_{режим 2} = \frac{ \lambda }{l_{0} } (7l_{0} + \Delta x) = \lambda \left (7 + \frac{m}{m_{0}} \right )$.
Данный режим действует, пока $l_{0} \leq \Delta x \leq 3l_{0}$, т.е. пока $m_{0} \leq m \leq 3m_{0}$.
Режим 3. Дальнейшее увеличение массы груза приводит к тому, что по соединяющей сосуды трубке начинает переливаться диэлектрик. Так как он легче ртути, то в правом сосуде от поднимется к самому поршню, и ток через систему не пойдет, ее сопротивление станет бесконечным, $R_{режим 3} = \infty$. Этот режим продолжается, пока граница раздела диэлектрик - легкая жидкость (Д-ЛЖ) не достигнет уровня сетки А.
Введем $\Delta y$ - высоту столбика диэлектрика, который перетек в правый сосуд.
Очевидно в этом режиме $\Delta y \leq l_{0}$, затем верхняя проводящая жидкость достигает сетки А. Сдвиг на $\Delta y$ приводит к тому, что давление на дно каждого сосуда меняется. Давление на дно левого сосуда уменьшается по сравнению с первоначальным состоянием системы за счет утекшего оттуда столбика ртути $3l_{0}$, и утекшего столбика диэл ектрика $\Delta y$. Итак, за счет перетекания давление у дна левого сосуда уменьшится на $\rho g 3l_{0} + ( \rho - \Delta \rho )g \Delta y$, но увеличится за счет груза на величину $mg/S$. В правом же сосуде, давление увеличивается на $3 \rho gl_{0} + ( \rho - \Delta p) g \Delta y$. Однако, давление у дна сосудов должны быть равны, т.е.
$\frac{mg}{S} - 3 \rho gl_{0} - ( \rho - \Delta \rho) g \Delta y = 2 \rho gl_{0} + ( \rho - \Delta \rho ) g \Delta y \Rightarrow \Delta y = \frac{m - 2 \rho 3l_{0}S }{2( \rho - \Delta \rho )S} = \frac{m - 3m_{0}}{m_{0} - \Delta m } l_{0}$, (2)
где для краткости мы ввели $\Delta m = 2 \Delta \rho l_{0}S$.
С помощью последнего равенства легко установить, что, так как этот режим действует при $0 \leq \Delta y \leq l_{0}$, это соответствует $3m_{0} \leq m \leq 4m_{0} - \Delta m$.
Режим 4. При дальнейшем увеличение массы груза граница раздела Д-ЛЖ не достигнет уровня сетки А.
Эквивалентная схема в этом случае изображена на рис. На ней имеется сопротивление ЛЖ в левом сосуде выше сетки А и сопротивление ртути в правом сосуде ниже сетки А В левом сосуде ниже сетки А и в правом выше ее ток не течет. На рисунке мы снова обозначили сопротивления. Мы учли, что ниже сетки А столбик ртути имеют длину $4l_{0}$, а столбик ЛЖ выше сетки А имеет высоту $2l_{0} - \Delta y$ ( эта величина обращается в ноль при $\Delta y = 2l_{0}$, что соответствует тому, что груз достиг сетки А).
Сопротивление схемы, изображенной на рис. равно
$R_{режим 4} = \frac{k \lambda}{l_{0} } (2l_{0} - \Delta y) + 4 \lambda = \lambda (2k + 4) - k \lambda \frac{m - 3m_{0} }{m - \Delta m}$.
Здесь мы учли (2).
Заметим, что данный режим действует, пока $l_{0} \leq \Delta y \leq 2l_{0}$, т.е. пока $4m_{0} - \Delta m \leq m \leq 5m_{0} - 2 \Delta m$.
Дальнейшее увеличение массы груза не приведет к изменению сопротивления системы, так как, наткнувшись на сетку, груз перестал опускаться.
Ответ: Результат для описанных режимов сведен к графику, изображенному на рис.
В высокие стеклянные сообщающиеся сосуды с металлическим дном на расстоянии 2 и 4 см от дна встроены горизонтальные проволочные сетки. Сетки, находящиеся на одном уровне, соединены проводами А и В. В систему залили ртуть до уровня 5 см. Затем в левый сосуд залили 5 см жидкого изолятора (его плотность меньше чем у ртути на $\Delta \rho$), а сверху - 1 см еще более легкой жидкости с удельным сопротивлением в $k$ раз больше, чем у ртути. Поверх жидкости поместили легкие проводящие поршни. Система пришла в равновесие, при этом ртуть в правом сосуде достигла уровня 7 см. К дну сосудов и поршням подключили батарейку (см. рис.: серым изображены обе проводящие жидкости, белым - изолятор). На левый поршень собираются ставить груз. Найдите электрическое сопротивление системы в зависимости от массы груза; постройте график этой зависимости. Плотность ртути $\rho$, ее удельное сопротивление $r$, площадь дна обоих сосудов $S$. Сопротивлением проводов и поршней, трением и тепловым расширением ртути пренебречь. Объем соединяющей сосуды трубки мал.
Решение:
Введем $\Delta x$ - расстояние, на которое из-за груза сдвинулся уровень ртуть-диэлектрик (Р-Д) в левом сосуде. Также введем параметр $l_{0} = 1 см$, чтобы аккуратно обращаться с размерностью физических величин в формулах.
Очевидно $\Delta x \leq 3l_{0}$, затем вся ртуть оказывается в правом сосуде и начинается пробулькивание диэлектрика. Пока это не произошло, сдвиг на $\Delta x$ приводит к тому, что давление на дно левого сосуда уменьшается на $\rho g \Delta x$ и увеличивается за счет установленного груза на $mg/S$. В правом же сосуде, за счет перетекшего туда столбика ртути $\Delta x$, давление увеличивается на $\rho g \Delta x$. Однако, давление у дна сосудов должны быть равны, т.е. за счет груза давления изменились на одну величину:
$\frac{mg}{S} - \rho g \Delta x = \rho g \Delta x \Rightarrow \Delta x = \frac{m}{2 \rho S } = \frac{m}{m_{0} } l_{0}$, (1)
где для краткости мы ввели $m_{0} = 2 \rho l_{0}S$.
Режим 1. Пусть $\Delta x \leq l_{0}$, т.е. граница Р-Д в левом сосуде не достигла уровня сетки В. Эквивалентная схема в этом случае изображена на рис. На ней имеется сопротивление ртути в правом сосуде выше сетки В и параллельно соединенные участки ниже этой сетки. В левом сосуде выше сетки В ток не течет. На рисунке мы обозначили сопротивления, использовав обозначение $\lambda = rl_{0}/S$ - сопротивление столбца ртути сечением $S$ высотой $l_{0} = 1 см$. Также мы учли, что ниже сетки столбики ртути имеют длину $2l_{0}$, а всего в правый сосуд к 7 см уже имевшейся там вначале ртути, добавился за счет груза столбик ртуты высотой $\Delta x$.
Сопротивление схемы, изображенной на рис. равно
$R_{режим 1} = \frac{ \lambda }{l_{0} } (6l_{0} + \Delta x ) = \lambda \left ( 6 + \frac{m}{m_{0} } \right )$.
Здесь мы учли (1). Заметим, что данный режим действует, пока $\Delta x \leq l_{0}$, т.е. пока $m \leq m_{0}$.
Режим 2. Пусть $l_{0} \leq \Delta x \leq 3 l_{0}$, т.е. граница Р-Д в левом сосуде достигла уровня сетки В, но не достигла дна левого сосуда. В этом случае через левый сосуд ток не течет, уровень ртути в правом сосуде равен $7l_{0} + \Delta x$, а ее сопротивление равно
$R_{режим 2} = \frac{ \lambda }{l_{0} } (7l_{0} + \Delta x) = \lambda \left (7 + \frac{m}{m_{0}} \right )$.
Данный режим действует, пока $l_{0} \leq \Delta x \leq 3l_{0}$, т.е. пока $m_{0} \leq m \leq 3m_{0}$.
Режим 3. Дальнейшее увеличение массы груза приводит к тому, что по соединяющей сосуды трубке начинает переливаться диэлектрик. Так как он легче ртути, то в правом сосуде от поднимется к самому поршню, и ток через систему не пойдет, ее сопротивление станет бесконечным, $R_{режим 3} = \infty$. Этот режим продолжается, пока граница раздела диэлектрик - легкая жидкость (Д-ЛЖ) не достигнет уровня сетки А.
Введем $\Delta y$ - высоту столбика диэлектрика, который перетек в правый сосуд.
Очевидно в этом режиме $\Delta y \leq l_{0}$, затем верхняя проводящая жидкость достигает сетки А. Сдвиг на $\Delta y$ приводит к тому, что давление на дно каждого сосуда меняется. Давление на дно левого сосуда уменьшается по сравнению с первоначальным состоянием системы за счет утекшего оттуда столбика ртути $3l_{0}$, и утекшего столбика диэл ектрика $\Delta y$. Итак, за счет перетекания давление у дна левого сосуда уменьшится на $\rho g 3l_{0} + ( \rho - \Delta \rho )g \Delta y$, но увеличится за счет груза на величину $mg/S$. В правом же сосуде, давление увеличивается на $3 \rho gl_{0} + ( \rho - \Delta p) g \Delta y$. Однако, давление у дна сосудов должны быть равны, т.е.
$\frac{mg}{S} - 3 \rho gl_{0} - ( \rho - \Delta \rho) g \Delta y = 2 \rho gl_{0} + ( \rho - \Delta \rho ) g \Delta y \Rightarrow \Delta y = \frac{m - 2 \rho 3l_{0}S }{2( \rho - \Delta \rho )S} = \frac{m - 3m_{0}}{m_{0} - \Delta m } l_{0}$, (2)
где для краткости мы ввели $\Delta m = 2 \Delta \rho l_{0}S$.
С помощью последнего равенства легко установить, что, так как этот режим действует при $0 \leq \Delta y \leq l_{0}$, это соответствует $3m_{0} \leq m \leq 4m_{0} - \Delta m$.
Режим 4. При дальнейшем увеличение массы груза граница раздела Д-ЛЖ не достигнет уровня сетки А.
Эквивалентная схема в этом случае изображена на рис. На ней имеется сопротивление ЛЖ в левом сосуде выше сетки А и сопротивление ртути в правом сосуде ниже сетки А В левом сосуде ниже сетки А и в правом выше ее ток не течет. На рисунке мы снова обозначили сопротивления. Мы учли, что ниже сетки А столбик ртути имеют длину $4l_{0}$, а столбик ЛЖ выше сетки А имеет высоту $2l_{0} - \Delta y$ ( эта величина обращается в ноль при $\Delta y = 2l_{0}$, что соответствует тому, что груз достиг сетки А).
Сопротивление схемы, изображенной на рис. равно
$R_{режим 4} = \frac{k \lambda}{l_{0} } (2l_{0} - \Delta y) + 4 \lambda = \lambda (2k + 4) - k \lambda \frac{m - 3m_{0} }{m - \Delta m}$.
Здесь мы учли (2).
Заметим, что данный режим действует, пока $l_{0} \leq \Delta y \leq 2l_{0}$, т.е. пока $4m_{0} - \Delta m \leq m \leq 5m_{0} - 2 \Delta m$.
Дальнейшее увеличение массы груза не приведет к изменению сопротивления системы, так как, наткнувшись на сетку, груз перестал опускаться.
Ответ: Результат для описанных режимов сведен к графику, изображенному на рис.
