Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10214
2019-02-22 
Две тонкие жесткие диэлектрические спицы скреплены и образуют угол $2 \alpha$. В вершине угла закреплен заряд $-q$. По каждой спице может свободно скользить маленькая бусинка заряда $+q$. Однородное электрическое поле напряженности $E$ параллельно биссектрисе угла (см. рис.).
Найдите положения равновесия бусинок. Исследуйте устойчивость. Силой тяжести пренебречь.
Решение:
Предположим, реализуется симметричное положение равновесия, в котором положительно заряженные бусинки будут находиться на одинаковом расстоянии $r$ от вершины угла. При этом расстояние между положительно заряжеными бусинками будет равно $R = 2r \sin \alpha$.
На бусинку будут действовать следующие силы: сила притяжения к вершине угла $kq^{2}/r^{2}$; сила отталкивания от второй бусинки $kq^{2}/R^{2}$, направленная перпендикулярно биссектрисе угла; сила взаимодействия с однородным полем $qE$, направленная параллельно биссектрисе угла (вниз).
Так как трения по условию нет, учтем, что результирующая этих трех сил на направление бусинки равна нулю:
$\frac{kq^{2}}{r^{2} } + qE \cos \alpha = \frac{kq^{2}}{R^{2} } \sin \alpha$.
Учитывая связь $R$ и $r$, это можно переписать так:
$qE \cos \alpha = \frac{kq^{2}}{r^{2} } \left ( \frac{1}{4 \sin \alpha} - 1 \right )$.
Отсюда легко выразить
$r^{2} = \frac{kq}{E \cos \alpha} \left ( \frac{1}{4 \sin \alpha } - 1 \right ) = \frac{kq (1 - 4 \sin \alpha)}{2E \sin 2 \alpha}$. (1)
Заметим, что ответ имеет смысл, только если $\sin \alpha < 1/4$.
А что же происходит при углах $\alpha$, синусы которых больше, чем четверть? Где-то бусинки должны расположиться. Придется отбросить предположение о симметричном равновесии и рассматривать общий случай.
К счастью, это несложно сделать. Если одна из бусинок ближе к углу, чем другая, она неизбежно упадет в вершину угла, Действительно, предположим обратное и рассмотрим такое положение равновесие (см. рис.).
Спроектируем силы, действующие на каждую бусинку в направлении спицы, на которую она нанизана, Докажем, эти величины не могут равняться нулю для обеих бусинок одновременно. Пусть для более удаленной от вершины угла бусинки имеется равновесие:
$qE \cos \alpha + F_{2} = (F_{1} )_{п}$,
здесь $(F_{1})_{п}$ - проекция силы $F_{1}$ на направление правой спицы. Тогда для второй бусинки условие равновесия
$qE \cos \alpha + F_{3} = (F_{1})_{л}$,
выполняться не может, т.к. $F_{3} > F_{2}$ (эта бусинка ближе к вершине), а проекция силы $F_{1}$ на направление левой спицы $(F_{1})_{л}$ меньше, чем $(F_{1})_{п}$. Значит "косого" положения равновесия быть не может.
Остается единственная возможность: при перекосе одна из бусин падает в вершину угла. При этом эффективно заряд вершины угла становится равным нулю (заряды в вершине компенсируют действие друг друга), и вторая бусина также падает в вершину под действием однородного поля. Очевидно, такое положение бусин устойчиво.
Интересно, что найденное нами положение равновесия (1) неустойчиво. Действительно, предположим, систему слегка "перекосило": одна из бусинок сдвинулась чуть дальше от вершины угла, в этом случае вторая, покоящаяся бусинка, начнет сдвигаться к вершине. Действительно, давайте снова рассмотрим рис. Так как левая бусинка не смещалась, из действующих на нее сил изменилась по сравнению с положением равновесия только сила $F_{1}$. Она уменьшилась по величине (бусинки удалились друг от друга), да и угол между этой силой и левой спицей увеличился. Поэтому при таком сдвиге проекция $(F_{1})_{л}$ уменьшается, и левая бусинка удаляется от положения равновесия к вершине угла, т.е. равновесия было неустойчивым.
Ответ: При $\sin \alpha < 1/4$ существует неустойчивое положение равновесия, задаваемое формулой (1). При всех углах $\alpha$ устойчивым оказывается положение, в котором обе бусинки упали в вершину угла.
Две тонкие жесткие диэлектрические спицы скреплены и образуют угол $2 \alpha$. В вершине угла закреплен заряд $-q$. По каждой спице может свободно скользить маленькая бусинка заряда $+q$. Однородное электрическое поле напряженности $E$ параллельно биссектрисе угла (см. рис.).
Найдите положения равновесия бусинок. Исследуйте устойчивость. Силой тяжести пренебречь.
Решение:
Предположим, реализуется симметричное положение равновесия, в котором положительно заряженные бусинки будут находиться на одинаковом расстоянии $r$ от вершины угла. При этом расстояние между положительно заряжеными бусинками будет равно $R = 2r \sin \alpha$.
На бусинку будут действовать следующие силы: сила притяжения к вершине угла $kq^{2}/r^{2}$; сила отталкивания от второй бусинки $kq^{2}/R^{2}$, направленная перпендикулярно биссектрисе угла; сила взаимодействия с однородным полем $qE$, направленная параллельно биссектрисе угла (вниз).
Так как трения по условию нет, учтем, что результирующая этих трех сил на направление бусинки равна нулю:
$\frac{kq^{2}}{r^{2} } + qE \cos \alpha = \frac{kq^{2}}{R^{2} } \sin \alpha$.
Учитывая связь $R$ и $r$, это можно переписать так:
$qE \cos \alpha = \frac{kq^{2}}{r^{2} } \left ( \frac{1}{4 \sin \alpha} - 1 \right )$.
Отсюда легко выразить
$r^{2} = \frac{kq}{E \cos \alpha} \left ( \frac{1}{4 \sin \alpha } - 1 \right ) = \frac{kq (1 - 4 \sin \alpha)}{2E \sin 2 \alpha}$. (1)
Заметим, что ответ имеет смысл, только если $\sin \alpha < 1/4$.
А что же происходит при углах $\alpha$, синусы которых больше, чем четверть? Где-то бусинки должны расположиться. Придется отбросить предположение о симметричном равновесии и рассматривать общий случай.
К счастью, это несложно сделать. Если одна из бусинок ближе к углу, чем другая, она неизбежно упадет в вершину угла, Действительно, предположим обратное и рассмотрим такое положение равновесие (см. рис.).
Спроектируем силы, действующие на каждую бусинку в направлении спицы, на которую она нанизана, Докажем, эти величины не могут равняться нулю для обеих бусинок одновременно. Пусть для более удаленной от вершины угла бусинки имеется равновесие:
$qE \cos \alpha + F_{2} = (F_{1} )_{п}$,
здесь $(F_{1})_{п}$ - проекция силы $F_{1}$ на направление правой спицы. Тогда для второй бусинки условие равновесия
$qE \cos \alpha + F_{3} = (F_{1})_{л}$,
выполняться не может, т.к. $F_{3} > F_{2}$ (эта бусинка ближе к вершине), а проекция силы $F_{1}$ на направление левой спицы $(F_{1})_{л}$ меньше, чем $(F_{1})_{п}$. Значит "косого" положения равновесия быть не может.
Остается единственная возможность: при перекосе одна из бусин падает в вершину угла. При этом эффективно заряд вершины угла становится равным нулю (заряды в вершине компенсируют действие друг друга), и вторая бусина также падает в вершину под действием однородного поля. Очевидно, такое положение бусин устойчиво.
Интересно, что найденное нами положение равновесия (1) неустойчиво. Действительно, предположим, систему слегка "перекосило": одна из бусинок сдвинулась чуть дальше от вершины угла, в этом случае вторая, покоящаяся бусинка, начнет сдвигаться к вершине. Действительно, давайте снова рассмотрим рис. Так как левая бусинка не смещалась, из действующих на нее сил изменилась по сравнению с положением равновесия только сила $F_{1}$. Она уменьшилась по величине (бусинки удалились друг от друга), да и угол между этой силой и левой спицей увеличился. Поэтому при таком сдвиге проекция $(F_{1})_{л}$ уменьшается, и левая бусинка удаляется от положения равновесия к вершине угла, т.е. равновесия было неустойчивым.
Ответ: При $\sin \alpha < 1/4$ существует неустойчивое положение равновесия, задаваемое формулой (1). При всех углах $\alpha$ устойчивым оказывается положение, в котором обе бусинки упали в вершину угла.
