Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10211
2019-02-22 
Система состоит из легких блоков A, B и C, и двух тел массами $m_{1}$ и $m_{2}$, соединенных невесомой, нерастяжимой нитью (см. рис.). Блоки A и B прикреплены к тележкам массой $M_{A}$ и $M_{B}$, которые могут ездить без трения по горизонтальному рельсу. Блок C - неподвижный. Систему удерживали неподвижно, а затем отпустили. Найдите ускорения тел и тележек в начальный момент движения. Трением в осях блоков пренебречь.
Решение:
Способ 1. Обозначим через $a_{A}$ и $a_{B}$ ускорения блоков A и B, а через $a_{1}$ и $a_{2}$ - ускорения первого и второго груза, $T$ - натяжение нити (в силу отсутствия трения в блоках и невесомости нити, сила натяжения нити будет одинакова по модулю в каждой точке нити). Все силы, действующие на грузы и блоки, указаны на рисунке (для блоков указаны только силы, имеющие горизонтальное направление).
Установим сначала направление ускорений $a_{1}$ и $a_{2}$. Сперва отметим, что в начальный момент времени участок нити между блоком A и первым грузом, а также участок нити между блоком B и вторым грузом вертикальны (по условию грузи первоначально просто висели). Следовательно, в начальный момент времени силы, действующие на грузы со стороны нити можно принять вертикальными. Силы тяжести также направлены вертикально. Значит, и ускорения грузов $a_{1}$ и $a_{2}$ в начальный момент, будучи сонаправлены результирующим силам, окажутся вертикальными. Второй закон Ньютона для грузов сразу дает
$a_{1} = g - T/m_{1} \: a_{2} = g - T/m_{2}$. (4)
Обратимся теперь к движению блоков. Поскольку тележки, к которым приклеплены блоки, могут двигаться только в горизонтальном направлении, то и их ускорения будут параллельны рельсу. Более того, очевидно, что обе тележки поедут под действием силы натяжения нити, направленной вправо. Второй закон Ньютона для тележек в проекции на горизонтальную ось, направленную вправо, сразу дает
$a_{A} = T/M_{A} \: a_{B} = T/M_{B}$. (5)
Если бы все блоки были закреплены, для ускорений грузов было бы справедливо $a_{1} + a_{2} = 0$, так как нить нерастяжима, и насколько изменится вертикальная часть нити ($a_{1} \Delta t^{2}/2$), на которой висит один груз, настолько же, но с отрицательным знаком за это время изменится вертикальная часть нити, на которой висит другой ($a_{2} \Delta t^{2}/2$).
Однако в данной задаче равенство $a_{1} + a_{2} = 0$ нарушится. Это связано с тем, что блоки A и B при своем движении начнут высвобождать натянутую между ними нить с ускорениями $a_{A} + a_{B}$. Значит, суммарная длина вертикальных отрезков нити увеличится через малый промежуток времени на $(a_{A} + a_{B}) \Delta t^{2}/2$. С другой стороны, это равно суммарному опусканию грузов вниз ($a_{1} \Delta t^{2}/2 + a_{2} \Delta t^{2}/2$). Отсюда
$a_{1} + a_{2} = a_{A} + a_{B}$.
Подставляя сюда ускорения из (4) и (5), получим
$2g - T \left ( \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2}} \right ) = T \left ( \frac{1}{M_{A} } + \frac{1}{M_{B}} \right )$. (6)
Удобно ввести параметр
$M_{*} = \left ( \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2} } + \frac{1}{M_{A} } + \frac{1}{M_{B} } \right )^{-1}$.
Тогда (6) эквивалентно $T = 2M_{*}g$. Подставляя силу натяжения в (4) и (5), сразу получим ответ.
Ответ: Ускорение блоков равно
$a_{A} = 2 M_{*} g/M_{A}, a_{B} = 2M_{*}g/M_{B}$,
Ускорение грузов равно
$a_{1} = g(1 - 2M_{*}/m_{1}), a_{2} = g(1 - 2M_{*}/m_{2})$,
параметр $M_{*}$ задается равенством
$M_{*} = \left ( \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2} } + \frac{1}{M_{A} } + \frac{1}{M_{B} } \right )^{-1}$
Способ 2. Приведем еще один подход к решению данной задачи. Введем вспомогательную величину $a$ - ускорение нити относительно неподвижного блока C, то есть ускорение, с которым нить, а вместе с ней и грузы, двигается мимо этого блока. Ускорения грузов $a_{1}$ и $a_{2}$ совпадали бы с $a$ по величине, если бы все блоки были неподвижны. Для определенности будем считать, что ускорение a направлено вверх для первого груза и соответсвенно вниз -д ля второго. Из кинематических соображений легко найти связь ускорения $a$ с введенными ранее ускорениями. Рассмотрим для начала первый груз. Когда блок A едет направо с ускорением $a_{A}$, он высвобождает нить с этим ускорением. Если бы нить была жестко привязана с неподвижному блоку C, ускорение первого груза совпадало бы с этим ускорением и было бы направлено вниз. Однако наша нить сама двигается с некоторым ускорении а относительно неподвижного блока. А значит ускорение первого груза дается следующим выражением $a_{1} = a_{A} - a$. Аналогично для второго груза можно получить, что при нашем выборе направления оси: $a_{2} = a_{B} + a$. Выпишем уравнения движения (второй закон Ньютона) для всех четырех тел.
$M_{A}a_{A} = T$
$M_{B}a_{B} = T$
$m_{1}g - T = m_{1}a_{1} = m_{1} (a_{A} - a)$
$m_{2}g - T = m_{2}a_{2} = m_{2} (a_{B} + a)$
Решая эту систему, получаем следующий ответ
$a_{A} = \frac{m_{1}(g + a) }{m_{A} + m_{1} }$
$a_{B} = \frac{m_{2}(g - a) }{m_{B} + m_{2} }$
$a_{1} = \frac{m_{1}g + M_{A}a }{M_{A} + m_{1} }$
$a_{2} = \frac{m_{2}g + M_{B}a }{M_{B} + m_{2} }$
где
$a = \frac{M_{A}M_{B}(m_{2} - m_{1} ) + m_{2}m_{1}(M_{B} - M_{A} ) }{M_{A}M_{B} (m_{2} + m_{1} ) + m_{1}m_{2} (M_{B} + M_{A} ) }$
В качестве проверки, можно посмотреть, во что переходят эти результаты, когда массы тележек $M_{A}$ и $M_{B}$ стремятся к бесконечности, то есть в пределе неподвижных блоков. Очевидно, что $a_{A} \rightarrow 0, a_{B} \rightarrow 0$. Легко видеть также, что $a_{1} \rightarrow a, a_{2} \rightarrow a$, а ускорение $a$ в свою очередь стремится к $g(m_{2} - m_{1})/(m_{2} + m_{1})$, к хорошо известному результату. Таким образом, наши ответы в этом пределе дают правильные результаты.
Система состоит из легких блоков A, B и C, и двух тел массами $m_{1}$ и $m_{2}$, соединенных невесомой, нерастяжимой нитью (см. рис.). Блоки A и B прикреплены к тележкам массой $M_{A}$ и $M_{B}$, которые могут ездить без трения по горизонтальному рельсу. Блок C - неподвижный. Систему удерживали неподвижно, а затем отпустили. Найдите ускорения тел и тележек в начальный момент движения. Трением в осях блоков пренебречь.
Решение:
Способ 1. Обозначим через $a_{A}$ и $a_{B}$ ускорения блоков A и B, а через $a_{1}$ и $a_{2}$ - ускорения первого и второго груза, $T$ - натяжение нити (в силу отсутствия трения в блоках и невесомости нити, сила натяжения нити будет одинакова по модулю в каждой точке нити). Все силы, действующие на грузы и блоки, указаны на рисунке (для блоков указаны только силы, имеющие горизонтальное направление).
Установим сначала направление ускорений $a_{1}$ и $a_{2}$. Сперва отметим, что в начальный момент времени участок нити между блоком A и первым грузом, а также участок нити между блоком B и вторым грузом вертикальны (по условию грузи первоначально просто висели). Следовательно, в начальный момент времени силы, действующие на грузы со стороны нити можно принять вертикальными. Силы тяжести также направлены вертикально. Значит, и ускорения грузов $a_{1}$ и $a_{2}$ в начальный момент, будучи сонаправлены результирующим силам, окажутся вертикальными. Второй закон Ньютона для грузов сразу дает
$a_{1} = g - T/m_{1} \: a_{2} = g - T/m_{2}$. (4)
Обратимся теперь к движению блоков. Поскольку тележки, к которым приклеплены блоки, могут двигаться только в горизонтальном направлении, то и их ускорения будут параллельны рельсу. Более того, очевидно, что обе тележки поедут под действием силы натяжения нити, направленной вправо. Второй закон Ньютона для тележек в проекции на горизонтальную ось, направленную вправо, сразу дает
$a_{A} = T/M_{A} \: a_{B} = T/M_{B}$. (5)
Если бы все блоки были закреплены, для ускорений грузов было бы справедливо $a_{1} + a_{2} = 0$, так как нить нерастяжима, и насколько изменится вертикальная часть нити ($a_{1} \Delta t^{2}/2$), на которой висит один груз, настолько же, но с отрицательным знаком за это время изменится вертикальная часть нити, на которой висит другой ($a_{2} \Delta t^{2}/2$).
Однако в данной задаче равенство $a_{1} + a_{2} = 0$ нарушится. Это связано с тем, что блоки A и B при своем движении начнут высвобождать натянутую между ними нить с ускорениями $a_{A} + a_{B}$. Значит, суммарная длина вертикальных отрезков нити увеличится через малый промежуток времени на $(a_{A} + a_{B}) \Delta t^{2}/2$. С другой стороны, это равно суммарному опусканию грузов вниз ($a_{1} \Delta t^{2}/2 + a_{2} \Delta t^{2}/2$). Отсюда
$a_{1} + a_{2} = a_{A} + a_{B}$.
Подставляя сюда ускорения из (4) и (5), получим
$2g - T \left ( \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2}} \right ) = T \left ( \frac{1}{M_{A} } + \frac{1}{M_{B}} \right )$. (6)
Удобно ввести параметр
$M_{*} = \left ( \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2} } + \frac{1}{M_{A} } + \frac{1}{M_{B} } \right )^{-1}$.
Тогда (6) эквивалентно $T = 2M_{*}g$. Подставляя силу натяжения в (4) и (5), сразу получим ответ.
Ответ: Ускорение блоков равно
$a_{A} = 2 M_{*} g/M_{A}, a_{B} = 2M_{*}g/M_{B}$,
Ускорение грузов равно
$a_{1} = g(1 - 2M_{*}/m_{1}), a_{2} = g(1 - 2M_{*}/m_{2})$,
параметр $M_{*}$ задается равенством
$M_{*} = \left ( \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2} } + \frac{1}{M_{A} } + \frac{1}{M_{B} } \right )^{-1}$
Способ 2. Приведем еще один подход к решению данной задачи. Введем вспомогательную величину $a$ - ускорение нити относительно неподвижного блока C, то есть ускорение, с которым нить, а вместе с ней и грузы, двигается мимо этого блока. Ускорения грузов $a_{1}$ и $a_{2}$ совпадали бы с $a$ по величине, если бы все блоки были неподвижны. Для определенности будем считать, что ускорение a направлено вверх для первого груза и соответсвенно вниз -д ля второго. Из кинематических соображений легко найти связь ускорения $a$ с введенными ранее ускорениями. Рассмотрим для начала первый груз. Когда блок A едет направо с ускорением $a_{A}$, он высвобождает нить с этим ускорением. Если бы нить была жестко привязана с неподвижному блоку C, ускорение первого груза совпадало бы с этим ускорением и было бы направлено вниз. Однако наша нить сама двигается с некоторым ускорении а относительно неподвижного блока. А значит ускорение первого груза дается следующим выражением $a_{1} = a_{A} - a$. Аналогично для второго груза можно получить, что при нашем выборе направления оси: $a_{2} = a_{B} + a$. Выпишем уравнения движения (второй закон Ньютона) для всех четырех тел.
$M_{A}a_{A} = T$
$M_{B}a_{B} = T$
$m_{1}g - T = m_{1}a_{1} = m_{1} (a_{A} - a)$
$m_{2}g - T = m_{2}a_{2} = m_{2} (a_{B} + a)$
Решая эту систему, получаем следующий ответ
$a_{A} = \frac{m_{1}(g + a) }{m_{A} + m_{1} }$
$a_{B} = \frac{m_{2}(g - a) }{m_{B} + m_{2} }$
$a_{1} = \frac{m_{1}g + M_{A}a }{M_{A} + m_{1} }$
$a_{2} = \frac{m_{2}g + M_{B}a }{M_{B} + m_{2} }$
где
$a = \frac{M_{A}M_{B}(m_{2} - m_{1} ) + m_{2}m_{1}(M_{B} - M_{A} ) }{M_{A}M_{B} (m_{2} + m_{1} ) + m_{1}m_{2} (M_{B} + M_{A} ) }$
В качестве проверки, можно посмотреть, во что переходят эти результаты, когда массы тележек $M_{A}$ и $M_{B}$ стремятся к бесконечности, то есть в пределе неподвижных блоков. Очевидно, что $a_{A} \rightarrow 0, a_{B} \rightarrow 0$. Легко видеть также, что $a_{1} \rightarrow a, a_{2} \rightarrow a$, а ускорение $a$ в свою очередь стремится к $g(m_{2} - m_{1})/(m_{2} + m_{1})$, к хорошо известному результату. Таким образом, наши ответы в этом пределе дают правильные результаты.
