Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10210
2019-02-22 
Джеймс Бонд прыгнул на лыжах с трамплина через пропасть шириной $L$. В момент отрыва он понял, что до другого края пропасти не долетит. К счастью в его ботинки встроена сжатая пружина, в которой запасена энергия $E$. Она может сильно отбросить лыжи назад в горизонтальном направлении. Сколько времени есть у Джеймса Бонда, чтобы воспользоваться пружиной и спастись, если его масса равна $M$, масса лыж $m$, а начальная скорость полёта $V_{0}$ направлена под углом $\alpha$ к горизонту? Трамплин и противоположный край пропасти находятся на одной высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Рассмотрим кинематику движения Джеймса Бонда до того, как он воспользовался спасательной пружиной.
Введем систему координат, как показано на рисунке. Тогда его координаты (x, у) следующим образом зависят от времени:
$x(t) = V_{0} \cos \alpha t$ (2)
$y(t) = V_{0} \cos \alpha t - \frac{gt^{2} }{2}$ (3)
Пружина отбрасывает лыжи строго горизонтально назад, а значит ее действие никак не влияет на вертикальную составляющую скорости. Следовательно, закон изменения координаты у не поменяется после срабатывания пружины. Таким образом, выражение (3) справедливо на протяжении всего времени полета. Используем его для нахождения времени полета $\tau$. При $t = \tau$ координата у должна обращаться в ноль, так как оба края пропасти находятся на одной высоте. Откуда находим, что
$\tau = \frac{2V_{0} \sin \alpha}{g}$
Рассмотрим теперь, что происходит с горизонтальной составляющей скорости Джеймса Бонда. До срабатывания пружины, эта компонента скорости равна $V_{0} \cos \alpha$. В результате срабатывания пружины, она увеличивается на некоторую величину. Найдем это изменение скорости. Для удобства вычислений передем в систему отсчета, в которой до распрямления пружины спецагент в горизонтальном направлении не перемещается. Эта система двигается со скоростью $V_{0} \cos \alpha$ направо относительно исходной. При срабатывании пружины выполняются законы сохранения энергии и импульса для горизонтальной оси.
Обозначим через и горизонтальную скорость, которую приобрел Бонд, а через $v$ - горизонтальную составляющую скорости лыж (см. рис.). Выпишем законы сохранения (так как пружина распрямляется очень быстро, можно считать, что высота полета спецагента не меняется за время ее распрямления, то есть не изменяются потенциальные энергии Бонда и лыж):
$0 = mv + Mu$
$E = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{Mu^{2} }{2}$
Разрешая эту систему находим, что
$u = \sqrt{ \frac{2mE}{M^{2} + mM } }$
Следовательно, возвращаясь в исходную, неподвижную систему, горизонтальная скорость Джеймса Бонда после срабатывания пружины равна $V_{0} \cos \alpha + u$.
Обозначим искомый момент времени через $T$, это момент времени, когда распрямляется пружина. Таким образом, в течение времени $T$ Бонд летит с горизонтальной скорость $V_{0} \cos \alpha$, а оставшееся время $\tau - T$ - со скоростью $V_{0} \cos \alpha + u$. Чтобы не погибнуть, он должен как минимум пролететь пропасть, отсюда получаем следующее условие на $T$:
$L \leq TV_{0} \cos \alpha + ( \tau - T)(V_{0} \cos \alpha + u)$
Откуда получаем ответ:
$T = \frac{(V_{0} \cos \alpha + u) \tau - L}{u} = \tau - \frac{L - V_{0} \cos \alpha \tau}{u} = \frac{ 2V_{0} \sin \alpha}{g} - \left ( L - \frac{V_{0}^{2} \sin 2 \alpha }{g} \right ) \sqrt{ \frac{M^{2} + Mm }{2mE} }$
Если эта величина становится отрицательной, то шансов спастись у агента нет.
Ответ: Бонд может воспользоваться пружиной в течение времени $T = 2V_{0} \sin \alpha/g - (L - L_{0}) \sqrt{(M^{2} + Mm)/2mE}$, где $L_{0} = V_{0}^{2} \sin 2 \alpha/g$ - расстояние, на которое он пролетел бы, если бы не воспользовался пружиной.
Джеймс Бонд прыгнул на лыжах с трамплина через пропасть шириной $L$. В момент отрыва он понял, что до другого края пропасти не долетит. К счастью в его ботинки встроена сжатая пружина, в которой запасена энергия $E$. Она может сильно отбросить лыжи назад в горизонтальном направлении. Сколько времени есть у Джеймса Бонда, чтобы воспользоваться пружиной и спастись, если его масса равна $M$, масса лыж $m$, а начальная скорость полёта $V_{0}$ направлена под углом $\alpha$ к горизонту? Трамплин и противоположный край пропасти находятся на одной высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Рассмотрим кинематику движения Джеймса Бонда до того, как он воспользовался спасательной пружиной.
Введем систему координат, как показано на рисунке. Тогда его координаты (x, у) следующим образом зависят от времени:
$x(t) = V_{0} \cos \alpha t$ (2)
$y(t) = V_{0} \cos \alpha t - \frac{gt^{2} }{2}$ (3)
Пружина отбрасывает лыжи строго горизонтально назад, а значит ее действие никак не влияет на вертикальную составляющую скорости. Следовательно, закон изменения координаты у не поменяется после срабатывания пружины. Таким образом, выражение (3) справедливо на протяжении всего времени полета. Используем его для нахождения времени полета $\tau$. При $t = \tau$ координата у должна обращаться в ноль, так как оба края пропасти находятся на одной высоте. Откуда находим, что
$\tau = \frac{2V_{0} \sin \alpha}{g}$
Рассмотрим теперь, что происходит с горизонтальной составляющей скорости Джеймса Бонда. До срабатывания пружины, эта компонента скорости равна $V_{0} \cos \alpha$. В результате срабатывания пружины, она увеличивается на некоторую величину. Найдем это изменение скорости. Для удобства вычислений передем в систему отсчета, в которой до распрямления пружины спецагент в горизонтальном направлении не перемещается. Эта система двигается со скоростью $V_{0} \cos \alpha$ направо относительно исходной. При срабатывании пружины выполняются законы сохранения энергии и импульса для горизонтальной оси.
Обозначим через и горизонтальную скорость, которую приобрел Бонд, а через $v$ - горизонтальную составляющую скорости лыж (см. рис.). Выпишем законы сохранения (так как пружина распрямляется очень быстро, можно считать, что высота полета спецагента не меняется за время ее распрямления, то есть не изменяются потенциальные энергии Бонда и лыж):
$0 = mv + Mu$
$E = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{Mu^{2} }{2}$
Разрешая эту систему находим, что
$u = \sqrt{ \frac{2mE}{M^{2} + mM } }$
Следовательно, возвращаясь в исходную, неподвижную систему, горизонтальная скорость Джеймса Бонда после срабатывания пружины равна $V_{0} \cos \alpha + u$.
Обозначим искомый момент времени через $T$, это момент времени, когда распрямляется пружина. Таким образом, в течение времени $T$ Бонд летит с горизонтальной скорость $V_{0} \cos \alpha$, а оставшееся время $\tau - T$ - со скоростью $V_{0} \cos \alpha + u$. Чтобы не погибнуть, он должен как минимум пролететь пропасть, отсюда получаем следующее условие на $T$:
$L \leq TV_{0} \cos \alpha + ( \tau - T)(V_{0} \cos \alpha + u)$
Откуда получаем ответ:
$T = \frac{(V_{0} \cos \alpha + u) \tau - L}{u} = \tau - \frac{L - V_{0} \cos \alpha \tau}{u} = \frac{ 2V_{0} \sin \alpha}{g} - \left ( L - \frac{V_{0}^{2} \sin 2 \alpha }{g} \right ) \sqrt{ \frac{M^{2} + Mm }{2mE} }$
Если эта величина становится отрицательной, то шансов спастись у агента нет.
Ответ: Бонд может воспользоваться пружиной в течение времени $T = 2V_{0} \sin \alpha/g - (L - L_{0}) \sqrt{(M^{2} + Mm)/2mE}$, где $L_{0} = V_{0}^{2} \sin 2 \alpha/g$ - расстояние, на которое он пролетел бы, если бы не воспользовался пружиной.
