Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1021
2016-09-17 
Космический корабль стартовал в вертикальном направлении с поверхности невращающегося сферически симметричного небесного тела, лишённого атмосферы. После выключения двигателя зависимость скорости корабля от времени имеет вид, показанный на рисунке. На каком расстоянии от центра небесного тела был выключен двигатель?
Решение:
Найдём при помощи графика ускорение корабля в момент времени сразу после выключения двигателя. Для этого проведём касательную к графику в точке $t = 0$ (см. рис.). По определению величина ускорения равна модулю углового коэффициента этой касательной:
$a_{0} = \left | \frac{ \Delta v}{ \Delta t} \right | = \frac{v_{0}}{3 \tau}$.
Поскольку на корабль после выключения двигателя действует только гравитационная сила со стороны небесного тела, то $ma_{0} = \frac{GmM}{R_{0}^{2}}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $m$ — масса корабля, $M$ — масса небесного тела, $R_{0}$ — искомое расстояние.
После удаления корабля на очень большое расстояние от небесного тела скорость корабля уменьшается до величины $v_{1} = v_{0}/3$ и становится постоянной. Применяя закон сохранения механической энергии для корабля в гравитационном поле планеты, получим:
$ \frac{mv_{1}^{2}}{2} - \frac{mv_{0}^{2}}{2} = - \frac{GmM}{R_{0}} = - ma_{0}R_{0}$.
Отсюда
$R_{0} = \frac{v_{0}^{2} - v_{1}^{2}}{2a_{0}} = \frac{3 \tau}{2v_{0}} (v_{0}^{2} - v_{1}^{2}) = \frac{3 \tau}{2v_{0}} \left ( v_{0}^{2} - \frac{v_{0}^{2}}{9} \right ) = \frac{4}{3} \tau v_{0}$.
Космический корабль стартовал в вертикальном направлении с поверхности невращающегося сферически симметричного небесного тела, лишённого атмосферы. После выключения двигателя зависимость скорости корабля от времени имеет вид, показанный на рисунке. На каком расстоянии от центра небесного тела был выключен двигатель?
Решение:
Найдём при помощи графика ускорение корабля в момент времени сразу после выключения двигателя. Для этого проведём касательную к графику в точке $t = 0$ (см. рис.). По определению величина ускорения равна модулю углового коэффициента этой касательной:
$a_{0} = \left | \frac{ \Delta v}{ \Delta t} \right | = \frac{v_{0}}{3 \tau}$.
Поскольку на корабль после выключения двигателя действует только гравитационная сила со стороны небесного тела, то $ma_{0} = \frac{GmM}{R_{0}^{2}}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $m$ — масса корабля, $M$ — масса небесного тела, $R_{0}$ — искомое расстояние.
После удаления корабля на очень большое расстояние от небесного тела скорость корабля уменьшается до величины $v_{1} = v_{0}/3$ и становится постоянной. Применяя закон сохранения механической энергии для корабля в гравитационном поле планеты, получим:
$ \frac{mv_{1}^{2}}{2} - \frac{mv_{0}^{2}}{2} = - \frac{GmM}{R_{0}} = - ma_{0}R_{0}$.
Отсюда
$R_{0} = \frac{v_{0}^{2} - v_{1}^{2}}{2a_{0}} = \frac{3 \tau}{2v_{0}} (v_{0}^{2} - v_{1}^{2}) = \frac{3 \tau}{2v_{0}} \left ( v_{0}^{2} - \frac{v_{0}^{2}}{9} \right ) = \frac{4}{3} \tau v_{0}$.
