Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10209
2019-02-22 
Однородная массивная балка АО прикреплена к стене при помощи шарнира в точке О. На балке есть крюки в точках А и В, на стене - крюки С и D. Крюки расположены так, что AO = DO, AB = CD = AO/3. Лёша крепит балку в горизонтальном положении при помощи веревки, соединяющий один из крюков балки с одним из крюков на стене. Оказалось, что лишь при одном-единственном способе крепления веревка разорвалась, так как не смогла выдержать необходимого натяжения $T$. При каком способе крепления веревка разорвалась? С какой силой натянута веревка в трех остальных случаях? Массой веревки и крюков, а также трением в шарнире пренебречь.
Решение:
Лёша исследует четыре различных способа горизонтального крепления балки, поочередно привязывая веревки к одному из крюков на балке и к одному из крюков на стене. Обозначим силу натяжения веревки между крюками A и D, необходимую для удержания балки, через $T_{AD}$ между крюками A и C - через $T_{AC}$ между B и D - через $T_{BD}$, между B и C - через $T_{BC}$. Пусть $M$ - масса балки, a $L$ - ее длина.
Для разных способов крепления балки силы натяжения будут разными. Из условия задачи известно, что в одном из вариантов веревка не выдержала необходимого натяжения $T$. Следовательно эта сила $T$ равна максимальной из величин $\{ T_{AD}, T_{AC}, T_{BD}, T_{BC} \}$. Рассмотрим, как соотносятся эти величины. Балка неподвижна, значит полный момент внешних сил на нее относительно любой точки равен нулю. Будем рассматривать моменты сил относительно точки O. Относительно этой точки вращающий момент создают только сила тяжести, действующая на балку, и сила натяжения нити, тянущая ее наверх. На рисунке введены обозначения для всех способов крепления.
Выпишем условия того, что полный момент сил равен нулю во всех четырех случаях.
$mg \frac{L}{2} - T_{AD} L \sin \alpha = 0$
$mg \frac{L}{2} - T_{AC} L \sin \beta = 0$
$mg \frac{L}{2} - T_{BD} \frac{2L}{3} \sin \omega = 0$
$mg \frac{L}{2} - T_{BC} \frac{2L}{3} \sin \alpha = 0$ (1)
Из геометрических соображений $\sin \alpha = 1/ \sqrt{2}, \sin \beta = 2/ \sqrt{13}, \sin \omega = 3/ \sqrt{13}$. Используя этот факт из (1) получаем следующее соотношение между силами натяжениями: $T_{AD} = 2T_{BC}/3, T_{AC} = T_{BD} = \sqrt{13} T_{BC}/ \sqrt{18}$ то есть $T_{AD} < T_{AC} = T_{BD} < ТT_{BC}$. Значит $T = T_{BC}$, веревка порвалась, когда Лёша соединил крюки В и С. Теперь нетрудно получить выражения для сил натяжения нитей в остальных случаях.
$T_{AD} = \frac{2T}{3}$,
$T_{AC} = T_{BD} = \sqrt{ \frac{13}{18} } T$
Ответ: Нить порвалась при соединении крюков B и C. Силы натяжения в остальных $T_{AD} = 2T/3, T_{AC} = \sqrt{13}T/ \sqrt{18}$.
Однородная массивная балка АО прикреплена к стене при помощи шарнира в точке О. На балке есть крюки в точках А и В, на стене - крюки С и D. Крюки расположены так, что AO = DO, AB = CD = AO/3. Лёша крепит балку в горизонтальном положении при помощи веревки, соединяющий один из крюков балки с одним из крюков на стене. Оказалось, что лишь при одном-единственном способе крепления веревка разорвалась, так как не смогла выдержать необходимого натяжения $T$. При каком способе крепления веревка разорвалась? С какой силой натянута веревка в трех остальных случаях? Массой веревки и крюков, а также трением в шарнире пренебречь.
Решение:
Лёша исследует четыре различных способа горизонтального крепления балки, поочередно привязывая веревки к одному из крюков на балке и к одному из крюков на стене. Обозначим силу натяжения веревки между крюками A и D, необходимую для удержания балки, через $T_{AD}$ между крюками A и C - через $T_{AC}$ между B и D - через $T_{BD}$, между B и C - через $T_{BC}$. Пусть $M$ - масса балки, a $L$ - ее длина.
Для разных способов крепления балки силы натяжения будут разными. Из условия задачи известно, что в одном из вариантов веревка не выдержала необходимого натяжения $T$. Следовательно эта сила $T$ равна максимальной из величин $\{ T_{AD}, T_{AC}, T_{BD}, T_{BC} \}$. Рассмотрим, как соотносятся эти величины. Балка неподвижна, значит полный момент внешних сил на нее относительно любой точки равен нулю. Будем рассматривать моменты сил относительно точки O. Относительно этой точки вращающий момент создают только сила тяжести, действующая на балку, и сила натяжения нити, тянущая ее наверх. На рисунке введены обозначения для всех способов крепления.
Выпишем условия того, что полный момент сил равен нулю во всех четырех случаях.
$mg \frac{L}{2} - T_{AD} L \sin \alpha = 0$
$mg \frac{L}{2} - T_{AC} L \sin \beta = 0$
$mg \frac{L}{2} - T_{BD} \frac{2L}{3} \sin \omega = 0$
$mg \frac{L}{2} - T_{BC} \frac{2L}{3} \sin \alpha = 0$ (1)
Из геометрических соображений $\sin \alpha = 1/ \sqrt{2}, \sin \beta = 2/ \sqrt{13}, \sin \omega = 3/ \sqrt{13}$. Используя этот факт из (1) получаем следующее соотношение между силами натяжениями: $T_{AD} = 2T_{BC}/3, T_{AC} = T_{BD} = \sqrt{13} T_{BC}/ \sqrt{18}$ то есть $T_{AD} < T_{AC} = T_{BD} < ТT_{BC}$. Значит $T = T_{BC}$, веревка порвалась, когда Лёша соединил крюки В и С. Теперь нетрудно получить выражения для сил натяжения нитей в остальных случаях.
$T_{AD} = \frac{2T}{3}$,
$T_{AC} = T_{BD} = \sqrt{ \frac{13}{18} } T$
Ответ: Нить порвалась при соединении крюков B и C. Силы натяжения в остальных $T_{AD} = 2T/3, T_{AC} = \sqrt{13}T/ \sqrt{18}$.
