Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10207
2019-02-22 
В сосуде объёмом $V_{0}$ при температуре плавления находятся куски твердого металла и его расплав. Сосуд заполнен полностью. Масса расплава составляет 2/3 от массы содержимого сосуда. Сосуд начинают греть с постоянной мощностью $P$, пока все содержимое сосуда не станет жидким. Найдите зависимость массы содержимого сосуда от времени. Плотность твердого металла $\rho_{1}$ плотность расплава $\rho_{2} ( \rho_{2} < \rho_{1})$, удельная теплота плавления $\lambda$. Теплопотерями пренебречь.
Решение:
Обозначим начальную массу кусков твердого металла через $m_{0}$. В начальный момент масса расплава составляет две трети от массы содержимого сосуда. Следовательно, начальная масса расплава равна $2m_{0}$, а начальная масса всего содержимого сосуда - $3m_{0}$. Найдем величину $m_{0}$. Так как сосуд заполнен полностью, то сумма объемов, занимаемых расплавом и твердым металлом, должна равняться полному объему:
$V_{0} = \frac{m_{0} }{ \rho_{1} } + \frac{2m_{0} }{ \rho_{2} }$
Откуда получаем, что $m_{0} = V_{0} \rho_{1} \rho_{2}/(2 \rho_{1} + \rho_{2})$.
Пусть теперь включили нагреватель; так как сосуд находится при температуре плавления, а теплопотерями можно пренебречь - вся энергия идет на плавление металл. Расплав имеет меньшую плотность, чем твердый металл, следовательно, при плавлении часть расплава будет вытекать за пределы сосуда. К моменту времени $t$ расплавится металл массой $\Delta m(t) = Pt/ \lambda$. Расплавившийся металл до плавления занимал объем $V_{1} = \Delta m(t) / \rho_{1}$. Получившийся расплав имеет объем $V_{2} = \Delta m(t)/ \rho_{2}$. Значит к моменту времени $t$ из сосуда вытек расплав объемом $V_{2} - V_{1}$ плотности $\rho_{2}$. Вспоминая, что начальная масса содержим ого составляла $3m_{0}$, получаем массу содержимого к моменту времени $t$:
$M(t) = 3m_{0} - \rho_{2} (V_{2} - V_{1} ) = \frac{3V_{0} \rho_{1} \rho_{2} }{2 \rho_{1} + \rho_{2} } - \frac{Pt}{ \lambda} \left ( 1 - \frac{ \rho_{2} }{ \rho_{1} } \right )$.
Замечаем, что в момент $T$, когда весь металл расплавится ($PT = \lambda m_{0}$), формула $M(t)$ дает $M(T) = \rho_{2}V_{0}$, как и должно быть.
Ответ: Зависимость массы содержимого сосуда от времени дается следующим выражением $3V_{0} \rho_{1} \rho_{2}/(2 \rho_{1} + \rho_{2}) - Pt(1 - \rho_{2}/ \rho_{1} )/ \lambda$.
В сосуде объёмом $V_{0}$ при температуре плавления находятся куски твердого металла и его расплав. Сосуд заполнен полностью. Масса расплава составляет 2/3 от массы содержимого сосуда. Сосуд начинают греть с постоянной мощностью $P$, пока все содержимое сосуда не станет жидким. Найдите зависимость массы содержимого сосуда от времени. Плотность твердого металла $\rho_{1}$ плотность расплава $\rho_{2} ( \rho_{2} < \rho_{1})$, удельная теплота плавления $\lambda$. Теплопотерями пренебречь.
Решение:
Обозначим начальную массу кусков твердого металла через $m_{0}$. В начальный момент масса расплава составляет две трети от массы содержимого сосуда. Следовательно, начальная масса расплава равна $2m_{0}$, а начальная масса всего содержимого сосуда - $3m_{0}$. Найдем величину $m_{0}$. Так как сосуд заполнен полностью, то сумма объемов, занимаемых расплавом и твердым металлом, должна равняться полному объему:
$V_{0} = \frac{m_{0} }{ \rho_{1} } + \frac{2m_{0} }{ \rho_{2} }$
Откуда получаем, что $m_{0} = V_{0} \rho_{1} \rho_{2}/(2 \rho_{1} + \rho_{2})$.
Пусть теперь включили нагреватель; так как сосуд находится при температуре плавления, а теплопотерями можно пренебречь - вся энергия идет на плавление металл. Расплав имеет меньшую плотность, чем твердый металл, следовательно, при плавлении часть расплава будет вытекать за пределы сосуда. К моменту времени $t$ расплавится металл массой $\Delta m(t) = Pt/ \lambda$. Расплавившийся металл до плавления занимал объем $V_{1} = \Delta m(t) / \rho_{1}$. Получившийся расплав имеет объем $V_{2} = \Delta m(t)/ \rho_{2}$. Значит к моменту времени $t$ из сосуда вытек расплав объемом $V_{2} - V_{1}$ плотности $\rho_{2}$. Вспоминая, что начальная масса содержим ого составляла $3m_{0}$, получаем массу содержимого к моменту времени $t$:
$M(t) = 3m_{0} - \rho_{2} (V_{2} - V_{1} ) = \frac{3V_{0} \rho_{1} \rho_{2} }{2 \rho_{1} + \rho_{2} } - \frac{Pt}{ \lambda} \left ( 1 - \frac{ \rho_{2} }{ \rho_{1} } \right )$.
Замечаем, что в момент $T$, когда весь металл расплавится ($PT = \lambda m_{0}$), формула $M(t)$ дает $M(T) = \rho_{2}V_{0}$, как и должно быть.
Ответ: Зависимость массы содержимого сосуда от времени дается следующим выражением $3V_{0} \rho_{1} \rho_{2}/(2 \rho_{1} + \rho_{2}) - Pt(1 - \rho_{2}/ \rho_{1} )/ \lambda$.
