Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10206
2019-02-22 
К потолку слоем клея приклеена рейка AB, к которой подвешена спиртовая горелка. Горелку зажигают, и рейка вместе с клеем начинает нагреваться. Из-за теплопотерь лишь $\eta$% выделяющейся теплоты идет на нагрев рейки и клея, при этом по мере нагрева максимальная сила, которую способен выдержать слой клея уменьшается. Зависимость этой силы от температуры клея показана на графике. Найдите минимальное значение $\eta$, при котором система отклеится от потолка и свалится вниз. Первоначальная масса горелки вместе с топливом равна $m_{0} = 300 грамм$. Изначально вся конструкция находится при температуре $20^{ \circ} C$. Удельная теплота сгорания спирта $q = 25 \cdot 10^{6} Дж/кг$, теплоемкость клея $C = 500 Дж/^{ \circ} С$, теплоемкостью рейки пренебречь. $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Пусть выгорело $\Delta m$ грамм спирта. Соответственно, на столько же уменьшилась масса горелки, а тепло, выделившееся при сгорании этого количества спирта равно:
$Q = q \Delta m$.
В то же время клей нагрелся до температуры $T$ от начальной температуры $T_{0} = 20^{ \circ} С$. Тогда тепло, поглощенное клеем равно:
$Q_{k} = C(T - T_{0})$.
По условию задачи не вся выделяющаяся при горении теплота идет на нагрев клея, а лишь $\eta$%. Это можно записать как $Q_{k} = \frac{ \eta}{100}Q$. Введем обозначение $\xi = \frac{ \eta}{100}$. Тогда условие, данное в задаче, запишется как $Q_{k} = \xi Q$. Подставляя сюда $Q$ и $Q_{k}$, получаем:
$C(T - T_{0}) = \xi q \Delta m$,
или
$C(T - T_{0}) = \xi q(m_{0} - m)$, (1)
где $m$ - масса горелки после сгорания $\Delta m$ спирта, $m_{0}$ - начальная масса.
Рассмотрим силу, действующую на клей со стороны горелки, при данной температуре клея $T$. Эта сила ($f(T)$) равна текущей силе тяжести горелки, то есть с учетом того, что часть спирта уже выгорела и нагрела клей до температуры $T$:
$f(T) = mg$, (2)
Из (1) найдем массу горелки при данной температуре клея $T$:
$m(T) = m_{0} - \frac{C(T - T_{0} )}{ \xi q}$.
Подставим это в (2) и получим:
$f(T) = m_{0}g - \frac{Cq}{ \xi q}(T - T_{0})$ (3)
Уравнение (3) показывает, какую силу оказывает горелка на клей при температуре клея $T$. Обозначим максимальную силу, которую может выдержать слой клея, за $F(T)$. Очевидно, что если при данной температуре происходит отрыв, то выполнено равенство:
$f(T) = F(T)$.
Из (3) видно, что зависимость силы $f(T)$ от $T$ - прямая, наклоненная вниз, значит ее можно представить в виде $f(T) = a - bT$ (коэффициенты $a$ и $b$ определяются из (3)). Причем при начальной температуре $T_{0} = 20^{ \circ} C$ еще не выгорело нисколько спирта, то есть сила равна $m_{0}g = 0,3 \cdot 10 = 3 H$, значит $f(20^{ \circ}) = 3H$. Изобразим эту прямую на графике $F(T)$ (см. рис.). Вообще говоря, возможны три варианта:
1) $f(T$) пересечет график $F(T)$ и дальше пойдет выше. Тогда при температуре соответствующей точке пересечения графиков произойдет отрыв.
2) $f(T)$ не пересечет $F(T)$ и пройдет ниже его, тогда горелка не оторвется.
3) Пограничный случай между случаями 1) и 2) - прямая $f(T)$ будет касаться графика $F(T)$ в одной точке. Причем, при температуре, соответствующей этой точке, горелка падает. Обозначим коэффициент наклона ($b$) прямой $f(T)$ для этого случая $b^{*}$. Понятно, что случаю 2) соответствуют коэффициенты $b$ большие $b^{*}$, а случаю 1) - коэффициенты $b$, меньшие $b^{*}$. То есть горелка оторвется, при всех положительных $b$, таких, что $b \leq b^{*}$, то есть $b^{*}$ - максимальный коэффициент для отрыва.
Из уравнения (3) видно, что $b = \frac{Cg}{ \xi q}$, тогда $\xi = \frac{Cg}{bq}$. Отсюда видно, что минимальное значение $\xi$ получается при максимальном значение $b$, то есть при $b = b^{*}$. То есть:
$\eta_{min} = \xi_{min} \cdot 100 = \frac{Cg}{bq} 100$
Коэффициент $b^{*}$ можно найти из графика как коэффициент наклон прямой 3). Получается $b^{*} = \frac{3 - 2,9}{80 - 20} = \frac{0,1}{60} = \frac{1}{600} \frac{H}{^{ \circ}C}$, откуда подставляя данные задачи получаем $\eta_{min} = 12$.
К потолку слоем клея приклеена рейка AB, к которой подвешена спиртовая горелка. Горелку зажигают, и рейка вместе с клеем начинает нагреваться. Из-за теплопотерь лишь $\eta$% выделяющейся теплоты идет на нагрев рейки и клея, при этом по мере нагрева максимальная сила, которую способен выдержать слой клея уменьшается. Зависимость этой силы от температуры клея показана на графике. Найдите минимальное значение $\eta$, при котором система отклеится от потолка и свалится вниз. Первоначальная масса горелки вместе с топливом равна $m_{0} = 300 грамм$. Изначально вся конструкция находится при температуре $20^{ \circ} C$. Удельная теплота сгорания спирта $q = 25 \cdot 10^{6} Дж/кг$, теплоемкость клея $C = 500 Дж/^{ \circ} С$, теплоемкостью рейки пренебречь. $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Пусть выгорело $\Delta m$ грамм спирта. Соответственно, на столько же уменьшилась масса горелки, а тепло, выделившееся при сгорании этого количества спирта равно:
$Q = q \Delta m$.
В то же время клей нагрелся до температуры $T$ от начальной температуры $T_{0} = 20^{ \circ} С$. Тогда тепло, поглощенное клеем равно:
$Q_{k} = C(T - T_{0})$.
По условию задачи не вся выделяющаяся при горении теплота идет на нагрев клея, а лишь $\eta$%. Это можно записать как $Q_{k} = \frac{ \eta}{100}Q$. Введем обозначение $\xi = \frac{ \eta}{100}$. Тогда условие, данное в задаче, запишется как $Q_{k} = \xi Q$. Подставляя сюда $Q$ и $Q_{k}$, получаем:
$C(T - T_{0}) = \xi q \Delta m$,
или
$C(T - T_{0}) = \xi q(m_{0} - m)$, (1)
где $m$ - масса горелки после сгорания $\Delta m$ спирта, $m_{0}$ - начальная масса.
Рассмотрим силу, действующую на клей со стороны горелки, при данной температуре клея $T$. Эта сила ($f(T)$) равна текущей силе тяжести горелки, то есть с учетом того, что часть спирта уже выгорела и нагрела клей до температуры $T$:
$f(T) = mg$, (2)
Из (1) найдем массу горелки при данной температуре клея $T$:
$m(T) = m_{0} - \frac{C(T - T_{0} )}{ \xi q}$.
Подставим это в (2) и получим:
$f(T) = m_{0}g - \frac{Cq}{ \xi q}(T - T_{0})$ (3)
Уравнение (3) показывает, какую силу оказывает горелка на клей при температуре клея $T$. Обозначим максимальную силу, которую может выдержать слой клея, за $F(T)$. Очевидно, что если при данной температуре происходит отрыв, то выполнено равенство:
$f(T) = F(T)$.
Из (3) видно, что зависимость силы $f(T)$ от $T$ - прямая, наклоненная вниз, значит ее можно представить в виде $f(T) = a - bT$ (коэффициенты $a$ и $b$ определяются из (3)). Причем при начальной температуре $T_{0} = 20^{ \circ} C$ еще не выгорело нисколько спирта, то есть сила равна $m_{0}g = 0,3 \cdot 10 = 3 H$, значит $f(20^{ \circ}) = 3H$. Изобразим эту прямую на графике $F(T)$ (см. рис.). Вообще говоря, возможны три варианта:
1) $f(T$) пересечет график $F(T)$ и дальше пойдет выше. Тогда при температуре соответствующей точке пересечения графиков произойдет отрыв.
2) $f(T)$ не пересечет $F(T)$ и пройдет ниже его, тогда горелка не оторвется.
3) Пограничный случай между случаями 1) и 2) - прямая $f(T)$ будет касаться графика $F(T)$ в одной точке. Причем, при температуре, соответствующей этой точке, горелка падает. Обозначим коэффициент наклона ($b$) прямой $f(T)$ для этого случая $b^{*}$. Понятно, что случаю 2) соответствуют коэффициенты $b$ большие $b^{*}$, а случаю 1) - коэффициенты $b$, меньшие $b^{*}$. То есть горелка оторвется, при всех положительных $b$, таких, что $b \leq b^{*}$, то есть $b^{*}$ - максимальный коэффициент для отрыва.
Из уравнения (3) видно, что $b = \frac{Cg}{ \xi q}$, тогда $\xi = \frac{Cg}{bq}$. Отсюда видно, что минимальное значение $\xi$ получается при максимальном значение $b$, то есть при $b = b^{*}$. То есть:
$\eta_{min} = \xi_{min} \cdot 100 = \frac{Cg}{bq} 100$
Коэффициент $b^{*}$ можно найти из графика как коэффициент наклон прямой 3). Получается $b^{*} = \frac{3 - 2,9}{80 - 20} = \frac{0,1}{60} = \frac{1}{600} \frac{H}{^{ \circ}C}$, откуда подставляя данные задачи получаем $\eta_{min} = 12$.
