Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10204
2019-02-22 
Для создания зловещего механизма Мегамозг вскрыл тайное хранилище, содержащее три резистора с сопротивлениями 1 Ом, 4 Ом и 5 Ом. Однако из-за происков врагов надписи на резисторах оказались стерты. Тогда Мегамозг собрал из них верхнюю схему, изображенную на рис., и подключил к ней батарейку напряжением 1,2 B. Амперметр показал ток 0,5 А. Затем он собрал нижнюю схему, и, когда он подключил эту схему к батарейке, амперметр сгорел. Однако мастер злодейства не расстроился, ведь теперь он знал, где какое сопротивление. Чему равны сопротивления $R_{1}, R_{2}, R_{3}$? Амперметр сгорает, если через него течет ток больше 1 А.
Решение:
Мегамозг справился с этой задачей следующим образом. В верхней схеме резистор $R_{1}$ подключен последовательно к $R_{2}$, поэтому их общее сопротивление равно $R_{1} + R_{2}$. Резистop $R_{3}$ подключен параллельно к ним, так что общее сопротивление верхней схемы (обозначим $R_{01}$) можно посчитать, как сопротивление включенных параллельно резисторов, сопротивлением $(R_{1} + R_{2})$ и $R_{3}$:
$R_{01} = \frac{(R_{1} + R_{2})R_{3}}{R_{1} + R_{2} + R_{3}}$.
В нижней схеме, резистор $R_{2}$ подключен последовательно к резистору $R_{3}$, их общее сопротивление тогда равно $R_{2} + R_{3}$. Резистop $R_{1}$ подключен к ним параллельно, так что сопротивление этой схемы (обозначим $R_{02}$) можно посчитать, как сопротивление включенных параллельно резисторов сопротивлением $R_{2} + R_{3}$ и $R_{1}$:
$R_{02} = \frac{(R_{2} + R_{3})R_{1}}{R_{1} + R_{2} + R_{3}}$.
Обозначим напряжение батарейки $U$. По закону Ома ток через первую схему равен $I_{1} = \frac{U}{R_{01}}$, а через вторую $I_{2} = \frac{U}{R_{02}}$. Для начала рассмотрим первую схему. Подставим в закон Ома выражение для $R_{01}$:
$R_{01} = \frac{U}{I_{1} }; \frac{(R_{1} + R_{2})R_{3}}{R_{1} + R_{2} + R_{3}} = \frac{U}{I_{1}}$;
$(R_{1} + R_{2})R_{3} = \frac{U}{I_{1} }(R_{1} + R_{2} + R_{3})$. (1)
Теперь вспомним, что всего у нас есть всего сопротивления в 1 Ом, 4 и 5 Ом. Тогда сумма $(R_{1} + R_{2} + R_{3})$ в правой части последнего равенства равна (1 + 4 + 5) = 10 Ом. Учитывая это, подставим числа в уравнение (1):
$(R_{1} + R_{2})R_{3} = \frac{1,2}{0,5} \cdot 10 = 24 = 6 \cdot 4$. (2)
Отсюда сразу видно, что $R_{3} = 4 Ом$. Действительно, если $R_{3} \neq 4 Ом$, то либо $(R_{1} + R_{2})R_{3} = (1 + 4)5 = 25 Ом$, либо $(R_{1} + R_{2})R_{3} = (4 + 5)1 = 9 Ом$, что нам не подходит. То есть осталось узнать какой из резисторов $R_{1}$ и $R_{2}$ имеет сопротивление 1 Ом, а какой 5 Ом.
При подключении второй схемы амперметр сгорел, значит ток $I_{2} > 1 А$, по условию. Предположим, что $R_{1} = 5 Ом$, a $R_{2} = 1 Ом$, тогда не сложно не посчитать, что $R_{02} = 2, 5 Ом$. Тогда по закону Ома ток через вторую схему получается: $I_{2} = \frac{1,2}{2,5} = 0,48 А$, что меньше 1 А, а значит нам не подходит. Из этого делаем вывод, что $R_{2} = 5 Ом$, а $R_{2} = 5 Ом$. Можно проверить, в этом случае $R_{02} = 0,9 Ом$, а ток $I_{2} = \frac{1,2}{0,9} \approx 1,3 > 1 А$. Амперметр у Мегамозга сгорел.
Ответ: $R_{1} = 1 Ом, R_{2} = 5 Ом, R_{3} =4 Ом$.
Для создания зловещего механизма Мегамозг вскрыл тайное хранилище, содержащее три резистора с сопротивлениями 1 Ом, 4 Ом и 5 Ом. Однако из-за происков врагов надписи на резисторах оказались стерты. Тогда Мегамозг собрал из них верхнюю схему, изображенную на рис., и подключил к ней батарейку напряжением 1,2 B. Амперметр показал ток 0,5 А. Затем он собрал нижнюю схему, и, когда он подключил эту схему к батарейке, амперметр сгорел. Однако мастер злодейства не расстроился, ведь теперь он знал, где какое сопротивление. Чему равны сопротивления $R_{1}, R_{2}, R_{3}$? Амперметр сгорает, если через него течет ток больше 1 А.
Решение:
Мегамозг справился с этой задачей следующим образом. В верхней схеме резистор $R_{1}$ подключен последовательно к $R_{2}$, поэтому их общее сопротивление равно $R_{1} + R_{2}$. Резистop $R_{3}$ подключен параллельно к ним, так что общее сопротивление верхней схемы (обозначим $R_{01}$) можно посчитать, как сопротивление включенных параллельно резисторов, сопротивлением $(R_{1} + R_{2})$ и $R_{3}$:
$R_{01} = \frac{(R_{1} + R_{2})R_{3}}{R_{1} + R_{2} + R_{3}}$.
В нижней схеме, резистор $R_{2}$ подключен последовательно к резистору $R_{3}$, их общее сопротивление тогда равно $R_{2} + R_{3}$. Резистop $R_{1}$ подключен к ним параллельно, так что сопротивление этой схемы (обозначим $R_{02}$) можно посчитать, как сопротивление включенных параллельно резисторов сопротивлением $R_{2} + R_{3}$ и $R_{1}$:
$R_{02} = \frac{(R_{2} + R_{3})R_{1}}{R_{1} + R_{2} + R_{3}}$.
Обозначим напряжение батарейки $U$. По закону Ома ток через первую схему равен $I_{1} = \frac{U}{R_{01}}$, а через вторую $I_{2} = \frac{U}{R_{02}}$. Для начала рассмотрим первую схему. Подставим в закон Ома выражение для $R_{01}$:
$R_{01} = \frac{U}{I_{1} }; \frac{(R_{1} + R_{2})R_{3}}{R_{1} + R_{2} + R_{3}} = \frac{U}{I_{1}}$;
$(R_{1} + R_{2})R_{3} = \frac{U}{I_{1} }(R_{1} + R_{2} + R_{3})$. (1)
Теперь вспомним, что всего у нас есть всего сопротивления в 1 Ом, 4 и 5 Ом. Тогда сумма $(R_{1} + R_{2} + R_{3})$ в правой части последнего равенства равна (1 + 4 + 5) = 10 Ом. Учитывая это, подставим числа в уравнение (1):
$(R_{1} + R_{2})R_{3} = \frac{1,2}{0,5} \cdot 10 = 24 = 6 \cdot 4$. (2)
Отсюда сразу видно, что $R_{3} = 4 Ом$. Действительно, если $R_{3} \neq 4 Ом$, то либо $(R_{1} + R_{2})R_{3} = (1 + 4)5 = 25 Ом$, либо $(R_{1} + R_{2})R_{3} = (4 + 5)1 = 9 Ом$, что нам не подходит. То есть осталось узнать какой из резисторов $R_{1}$ и $R_{2}$ имеет сопротивление 1 Ом, а какой 5 Ом.
При подключении второй схемы амперметр сгорел, значит ток $I_{2} > 1 А$, по условию. Предположим, что $R_{1} = 5 Ом$, a $R_{2} = 1 Ом$, тогда не сложно не посчитать, что $R_{02} = 2, 5 Ом$. Тогда по закону Ома ток через вторую схему получается: $I_{2} = \frac{1,2}{2,5} = 0,48 А$, что меньше 1 А, а значит нам не подходит. Из этого делаем вывод, что $R_{2} = 5 Ом$, а $R_{2} = 5 Ом$. Можно проверить, в этом случае $R_{02} = 0,9 Ом$, а ток $I_{2} = \frac{1,2}{0,9} \approx 1,3 > 1 А$. Амперметр у Мегамозга сгорел.
Ответ: $R_{1} = 1 Ом, R_{2} = 5 Ом, R_{3} =4 Ом$.
