Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10202
2019-02-22 
По круговой дорожке радиуса $R = 40 м$ одновременно стартовали два бегуна. Первый пробегает круг за 20 секунд, а второй - за 30. Спортсмены бегут по кругу в одну сторону. Через какое время после старта относительная скорость бегунов станет максимальной? Постройте приблизительный график зависимости расстояния между бегунами по прямой от времени.
Решение:
Скорость движения бегуна по круговой дорожке всегда направлена по касательной к ней, а ее величина равна отношению длины окружности $l = 2 \pi R$ ко времени, за которое каждый бегун пробегает полный круг. Запишем значения скоростей $v_{1} = \frac{2 \pi R}{t_{1} }, v_{2} = \frac{2 \pi R}{t_{2} }$. Относительная скорость бегунов считается, как разность векторов их скоростей: $\Delta \vec{v} = \vec{v}_{1} - \vec{v}_{2}$. Модули векторов $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ постоянны, следовательно, модуль их разности максимален, когда вектора "смотрят" в противоположные стороны. Это бывает, в моменты, когда бегуны находятся в диаметрально противоположных точках. Очевидно, что такой момент наступит тогда, когда расстояние между ними по окружности будет равно половине длины круговой дорожки $l$. То есть, когда разность между путями, пройденными быстрым ($S_{1}$) и медленным бегуном ($S_{2}$) будет равна $\frac{l}{2} = \pi R$. Если $t$ - искомое время, то $S_{1} = v_{1}t, S_{2} = v_{2}t$. И тогда:
$S_{1} - S_{2} = \pi R , v_{1}t - v_{2}t = \pi R, t = \frac{ \pi R}{v_{1} - v_{2} }$.
Подставляем в эту формулу выражения для скоростей:
$t = \frac{ \pi R}{ \frac{2 \pi R}{t_{1} } - \frac{2 \pi R}{t_{2} } } = \frac{t_{1}t_{2} }{2(t_{2} - t_{1} ) }$.
Осталось только подставить числа и подсчитать: $t = 30 с$.
После старта расстояние между бегунами будет увеличиваться, до того момента, пока бегуны не окажутся в диаметрально противоположных точках через посчитанное нами время $t = 30 с$. В этот момент расстояние между ними по прямой равно диаметру круга $d = 2R = 80 м$. После этого расстояние между ними начнет уменьшаться, и уменьшится до нуля через такое же время 30 с, т.к. за это время расстояние между ними уменьшится на те же $\pi R$, а скорость по окружности, с которой быстрый догоняет медленного неизменна. Произойдет это через время $T = 2t = 60 с$ со старта. Затем график будет периодичным, см. рис. Ось X на графике - расстояние между бегунами по прямой).
Ответ: Относительная скорость будет максимальной через время $t = 30 с$. Вид зависимости расстояния по прямой приведен на рисунке.
По круговой дорожке радиуса $R = 40 м$ одновременно стартовали два бегуна. Первый пробегает круг за 20 секунд, а второй - за 30. Спортсмены бегут по кругу в одну сторону. Через какое время после старта относительная скорость бегунов станет максимальной? Постройте приблизительный график зависимости расстояния между бегунами по прямой от времени.
Решение:
Скорость движения бегуна по круговой дорожке всегда направлена по касательной к ней, а ее величина равна отношению длины окружности $l = 2 \pi R$ ко времени, за которое каждый бегун пробегает полный круг. Запишем значения скоростей $v_{1} = \frac{2 \pi R}{t_{1} }, v_{2} = \frac{2 \pi R}{t_{2} }$. Относительная скорость бегунов считается, как разность векторов их скоростей: $\Delta \vec{v} = \vec{v}_{1} - \vec{v}_{2}$. Модули векторов $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ постоянны, следовательно, модуль их разности максимален, когда вектора "смотрят" в противоположные стороны. Это бывает, в моменты, когда бегуны находятся в диаметрально противоположных точках. Очевидно, что такой момент наступит тогда, когда расстояние между ними по окружности будет равно половине длины круговой дорожки $l$. То есть, когда разность между путями, пройденными быстрым ($S_{1}$) и медленным бегуном ($S_{2}$) будет равна $\frac{l}{2} = \pi R$. Если $t$ - искомое время, то $S_{1} = v_{1}t, S_{2} = v_{2}t$. И тогда:
$S_{1} - S_{2} = \pi R , v_{1}t - v_{2}t = \pi R, t = \frac{ \pi R}{v_{1} - v_{2} }$.
Подставляем в эту формулу выражения для скоростей:
$t = \frac{ \pi R}{ \frac{2 \pi R}{t_{1} } - \frac{2 \pi R}{t_{2} } } = \frac{t_{1}t_{2} }{2(t_{2} - t_{1} ) }$.
Осталось только подставить числа и подсчитать: $t = 30 с$.
После старта расстояние между бегунами будет увеличиваться, до того момента, пока бегуны не окажутся в диаметрально противоположных точках через посчитанное нами время $t = 30 с$. В этот момент расстояние между ними по прямой равно диаметру круга $d = 2R = 80 м$. После этого расстояние между ними начнет уменьшаться, и уменьшится до нуля через такое же время 30 с, т.к. за это время расстояние между ними уменьшится на те же $\pi R$, а скорость по окружности, с которой быстрый догоняет медленного неизменна. Произойдет это через время $T = 2t = 60 с$ со старта. Затем график будет периодичным, см. рис. Ось X на графике - расстояние между бегунами по прямой).
Ответ: Относительная скорость будет максимальной через время $t = 30 с$. Вид зависимости расстояния по прямой приведен на рисунке.
