Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10201
2019-02-22 
Агрегат состоит из сообщающихся сосудов А и Б, и легкого поршня П, который может двигаться вертикально, не нарушая герметичность Агрегата. В сосуды и внутрь поршня Агрегата налита вода (см. рис.), система находится в равновесии. Насколько сдвинется поршень, если в сосуд А и внутрь поршня П аккуратно долить по 3 килограмма масла? Известно, что масло не выльется из сосуда А. Площади дна сосудов А и Б равны $S = 200 см^{2}$, площадь поршня $S_{n} = 300 см^{2}$. Плотность масла $0,8 г/см^{3}$, воды $1 г/см^{3}$.
Решение:
Обозначим за О нижнюю точку поршня в начальный момент и будем считать все давления относительно неё. Тогда условие равновесия будет выглядеть так: давления столбов жидкости от верха и до уровня точки О в каждой из трёх частей Агрегата должны быть равны. Также, оговоримся сразу, что атмосферное давление будет опущено, т.к. даёт лишь постоянную прибавку к каждому из трёх давлений, никак не влияя на систему. Обозначим за $\Delta h$ изменение высоты нижней точки поршня от начального момента к новому равновесию, за $\Delta h_{2}$ - изменение уровня воды в левом сосуде, за $\Delta h_{3}$ - изменение уровня воды в правом сосуде. ($\Delta h_{i} < 0$ - значит, что соотв. уровень опустился).
Запишем, на сколько изменилось давление в левой, средней и правой частях сосуда:
$P = \frac{ \rho_{m}gV}{S_{n}} + \rho_{w}g \Delta h$
$P = \frac{ \rho_{m}gV}{S_{n}} + \rho_{w}g \Delta h_{2}$
$P = \rho_{w}g \Delta h_{3}$
Где $V$ - объём масла, $V = m/ \rho_{m}$
Начальные давления из условия равновесия были равны, конечные тоже. Значит, и изменения давлений также равны между собой. Ещё одно уравнение можно получить, вспомнив, что изменения высот также связаны между собой: объём воды вне поршня не изменился:
$S \Delta h_{2} + S_{n} \Delta h + S \Delta h_{3} = 0$
Мы получили систему из трёх линейных уравнений (Три давления равны - два равенства плюс одно про сохранение объёма), решим её и получим ответ. (Сразу переводим в цифры, при этом работаем в СГС)
$\frac{ \rho_{m}gV }{S_{n} } + \rho_{w}g \Delta h = \frac{ \rho_{m}gV }{S } + \rho_{w}g \Delta h_{2}$
$\frac{3000}{300} + \Delta h = \frac{3000}{200} + \Delta h_{2}$
$\Delta h_{2} = \Delta h - 5$
Выразим $\Delta h_{3}$ через $\Delta h$:
$\frac{ \rho_{m}gV }{S_{n} } + \rho_{w}g \Delta h = \rho_{w} g \Delta h_{3}$
$\Delta h_{3} = \Delta h + 10$
И подставим в оставшееся уравнение:
$200( \Delta h - 5) + 300( \Delta h) + 200( \Delta h + 10) = 0$
$7 \Delta h = - 10$
$\Delta h = - 10/7 см$.
T.e. получаем, что поршень сдвинется на 10/7 сантиметра вниз.
Агрегат состоит из сообщающихся сосудов А и Б, и легкого поршня П, который может двигаться вертикально, не нарушая герметичность Агрегата. В сосуды и внутрь поршня Агрегата налита вода (см. рис.), система находится в равновесии. Насколько сдвинется поршень, если в сосуд А и внутрь поршня П аккуратно долить по 3 килограмма масла? Известно, что масло не выльется из сосуда А. Площади дна сосудов А и Б равны $S = 200 см^{2}$, площадь поршня $S_{n} = 300 см^{2}$. Плотность масла $0,8 г/см^{3}$, воды $1 г/см^{3}$.
Решение:
Обозначим за О нижнюю точку поршня в начальный момент и будем считать все давления относительно неё. Тогда условие равновесия будет выглядеть так: давления столбов жидкости от верха и до уровня точки О в каждой из трёх частей Агрегата должны быть равны. Также, оговоримся сразу, что атмосферное давление будет опущено, т.к. даёт лишь постоянную прибавку к каждому из трёх давлений, никак не влияя на систему. Обозначим за $\Delta h$ изменение высоты нижней точки поршня от начального момента к новому равновесию, за $\Delta h_{2}$ - изменение уровня воды в левом сосуде, за $\Delta h_{3}$ - изменение уровня воды в правом сосуде. ($\Delta h_{i} < 0$ - значит, что соотв. уровень опустился).
Запишем, на сколько изменилось давление в левой, средней и правой частях сосуда:
$P = \frac{ \rho_{m}gV}{S_{n}} + \rho_{w}g \Delta h$
$P = \frac{ \rho_{m}gV}{S_{n}} + \rho_{w}g \Delta h_{2}$
$P = \rho_{w}g \Delta h_{3}$
Где $V$ - объём масла, $V = m/ \rho_{m}$
Начальные давления из условия равновесия были равны, конечные тоже. Значит, и изменения давлений также равны между собой. Ещё одно уравнение можно получить, вспомнив, что изменения высот также связаны между собой: объём воды вне поршня не изменился:
$S \Delta h_{2} + S_{n} \Delta h + S \Delta h_{3} = 0$
Мы получили систему из трёх линейных уравнений (Три давления равны - два равенства плюс одно про сохранение объёма), решим её и получим ответ. (Сразу переводим в цифры, при этом работаем в СГС)
$\frac{ \rho_{m}gV }{S_{n} } + \rho_{w}g \Delta h = \frac{ \rho_{m}gV }{S } + \rho_{w}g \Delta h_{2}$
$\frac{3000}{300} + \Delta h = \frac{3000}{200} + \Delta h_{2}$
$\Delta h_{2} = \Delta h - 5$
Выразим $\Delta h_{3}$ через $\Delta h$:
$\frac{ \rho_{m}gV }{S_{n} } + \rho_{w}g \Delta h = \rho_{w} g \Delta h_{3}$
$\Delta h_{3} = \Delta h + 10$
И подставим в оставшееся уравнение:
$200( \Delta h - 5) + 300( \Delta h) + 200( \Delta h + 10) = 0$
$7 \Delta h = - 10$
$\Delta h = - 10/7 см$.
T.e. получаем, что поршень сдвинется на 10/7 сантиметра вниз.
