Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1020
2016-09-17 
Искусственный спутник Земли находится на круговой орбите высотой $h = 200 км$. Включается двигатель, и скорость спутника за несколько минут возрастает на $\Delta v = 5 км/с$. В результате он улетает в межпланетное пространство. Найдите скорость спутника г;оо вдали от Земли. Радиус Земли $R_{з} = 6370 км$, ускорение свободного падения на её поверхности $g = 9,8 м/с^{2}$.
Решение:
Из закона всемирного тяготения следует, что ускорение свободного падения на поверхности Земли равно $g = GM_{з}/R_{з}^{2}$, где $M_{з}$ — масса Земли. Уравнение движения спутника массой $m$ по круговой орбите высотой $h$ со скоростью $v$ имеет вид: $\frac{mv^{2}}{R_{з}+h} = G \frac{mM_{з}}{(R_{з}+h)^{2}}$, откуда $v = \sqrt{ \frac{gR_{з}^{2}}{R_{з}+h} } \approx 7,8 км/с$. Применяя закон сохранения механической энергии к процессу разгона спутника, получаем:
$\frac{mv_{ \infty}^{2}}{2} = \frac{m(v + \Delta v)^{2}}{2} - \frac{GmM_{з}}{R_{з}+h} = \frac{m(v + \Delta v)^{2}}{2} - m \frac{gR_{з}^{2}}{R_{з}+h} = \frac{m(v + \Delta v)^{2}}{2} - mv^{2}$,
откуда $v_{ \infty} = \sqrt{ 2v \Delta v + \Delta v^{2} - v^{2}} \approx 6,5 км/с$. Заметим, что найденная скорость спутника $v_{ \infty}$ вдали от Земли превышает величину $\Delta v$!
Искусственный спутник Земли находится на круговой орбите высотой $h = 200 км$. Включается двигатель, и скорость спутника за несколько минут возрастает на $\Delta v = 5 км/с$. В результате он улетает в межпланетное пространство. Найдите скорость спутника г;оо вдали от Земли. Радиус Земли $R_{з} = 6370 км$, ускорение свободного падения на её поверхности $g = 9,8 м/с^{2}$.
Решение:
Из закона всемирного тяготения следует, что ускорение свободного падения на поверхности Земли равно $g = GM_{з}/R_{з}^{2}$, где $M_{з}$ — масса Земли. Уравнение движения спутника массой $m$ по круговой орбите высотой $h$ со скоростью $v$ имеет вид: $\frac{mv^{2}}{R_{з}+h} = G \frac{mM_{з}}{(R_{з}+h)^{2}}$, откуда $v = \sqrt{ \frac{gR_{з}^{2}}{R_{з}+h} } \approx 7,8 км/с$. Применяя закон сохранения механической энергии к процессу разгона спутника, получаем:
$\frac{mv_{ \infty}^{2}}{2} = \frac{m(v + \Delta v)^{2}}{2} - \frac{GmM_{з}}{R_{з}+h} = \frac{m(v + \Delta v)^{2}}{2} - m \frac{gR_{з}^{2}}{R_{з}+h} = \frac{m(v + \Delta v)^{2}}{2} - mv^{2}$,
откуда $v_{ \infty} = \sqrt{ 2v \Delta v + \Delta v^{2} - v^{2}} \approx 6,5 км/с$. Заметим, что найденная скорость спутника $v_{ \infty}$ вдали от Земли превышает величину $\Delta v$!
