Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10199
2019-02-20 
В плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом, может вращаться вокруг оси легкая крестообразная карусель, на которой закреплены два маленьких шарика массы $m$ с зарядами $q$ и $-q$ (карусель изображена на рисунке, величина $R$ известна). В системе включили однородное электрическое поле напряженности $E$, направленное вдоль вектора ускорения свободного падения $g$. Карусель раскрутили и отпустили, при этом оказалось, что максимальная скорость вращения шариков равна $V$. Найдите минимальную скорость вращения шариков. Трением пренебречь.
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на шарики в плоскости вращения карусели (силы, действующие в перпендикулярной плоскости скомпенсированы силой реакции опоры). Проекции ускорения свободного падения и напряженности электрического поля на данную плоскость представлены на левом рисунке и равны
$\tilde{g} = g \sin \alpha, \tilde{E} = E \sin \alpha$.
Соответственно, на шарики в этой плоскости действуют силы $m \tilde{g}$ и $q \tilde{E}$. Направления этих сил для для одного из положений см. на левом рисунке. Пусть сначала, для определенности, $q \tilde{E} - m \tilde{g} > 0$.
Исследуем, в каком положении карусель могла бы покоиться. Понятно, что положение карусели на левом рисунке не может быть равновесным: нескомпенсированный момент сил стремится повернуть карусель из этого положения по часовой стрелке. Несложно нарисовать положения карусели, при котором моменты поворачивающих ее сил окажутся скомпенсированными,
$(q \tilde{E} - m \tilde{g})R \cos \beta = (q \tilde{E} + m \tilde{g} )R \sin \beta \Rightarrow \beta = arctg \frac{q \tilde{E} - m \tilde{g} }{q \tilde{E} + m \tilde{g} } = arctg \frac{qE - mg}{qE + mg}$.
Здесь мы характеризовали положение равновесия углом $\beta$ (см.правый рис.). Таких положений два, одно мы изобразили серыми шариками, другое - черными. Одно положение из другого получается поворотом карусели на угол $180^{ \circ}$. Очевидно, если моменты сил скомпенсированы в одном из этих положений, то и в другом они тоже скомпенсированы.
Положение, изображенное на правом рисунке серыми шариками, является устойчивым, а черными - неустойчивым. Действительно, если карусель чуть сдвинуть из этих положений, то возникающий момент сил будет возвращать серые шарики обратно, но еще больше уводить из равновесия черные. Значит, положение серых шариков характеризуется минимумом потенциальной энергии системы $\Pi_{min}$, а положение черных - максимумом $\Pi_{max}$.
Будем отсчитывать потенциальную энергию от уровня $OO^{ \prime}$. При этом легко заметить, что $\Pi_{max} = - \Pi_{min}$, ведь и электрическая и гравитационная потенциальная энергия каждого шарика просто меняет знак, если карусель переместить из серого положения в черное.
Введем $z_{+}$ и $z_{-}$ - координаты вдоль оси Z положительного и отрицательного зарядов соответственно, отсчитанные от линии $OO^{ \prime}$. В положении устойчивого равновесия $z_{+} = R \cos \beta , z_{-} = - R \sin \beta$.
Выразим теперь потенциальную энергию шариков в положении устойчивого равновесия (она же - минимальная потенциальная энергия карусели).
$\Pi_{min} = - m \tilde{g} (z_{+} + z_{-}) - q \tilde{E} (z_{+} - z_{-}) = - m \tilde{g}R( \cos \beta - \sin \beta ) - q \tilde{E} R( \cos \beta + \sin \beta)$.
Это выражение можно существенно упростить, если воспользоваться тригонометрическими формулами
$\left ( \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos \beta - \frac{ \sqrt{2} }{2} \sin \beta \right ) = \cos ( \beta + 45^{ \circ} )$,
$\left ( \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos \beta + \frac{ \sqrt{2} }{2} \sin \beta \right ) = \sin ( \beta + 45^{ \circ} )$,
получится
$\Pi_{min} = - m \tilde{g} R \sqrt{2} \cos ( \beta + 45^{ \circ} ) - q \tilde{E} R \sqrt{2} \sin ( \beta + 45^{ \circ} )$. (7)
Если же ввести еще и вспомогательный угол $tg \gamma = \frac{q \tilde{E}}{m \tilde{g} } = \frac{qE}{mg}$, для которого
$\sin \gamma = \frac{q \tilde{E} }{ \sqrt{(q \tilde{E} )^{2} + (m \tilde{g} )^{2} } }, \cos \gamma = \frac{m \tilde{g} }{ \sqrt{(q \tilde{E} )^{2} + (m \tilde{g} )^{2} } }$,
формула (7) станет еще короче, ведь разделив и умножив выражение (7) на $\sqrt{(q \tilde{E} )^{2} + (m \tilde{g})^{2}}$, при каждом слагаемом обнаружится $\sin \gamma$ или $\cos \gamma$, для которых снова можно воспользоваться тригонометрической формулой косинуса суммы. Получится $\Pi_{min} = - \epsilon$, где
$\epsilon = R \sqrt{2} \sqrt{(q \tilde{E})^{2} + (m \tilde{g})^{2}} \cos( \beta + 45^{ \circ} - \gamma)$.
Напомним, что $\Pi_{max} = - \Pi_{min} = \epsilon$.
Полная механическая энергия системы сохраняется. Когда потенциальная энергия системы минимальна, кинетическая - максимальна (и известна по условию, $K_{max} = mV^{2}$ ). Аналогично, когда потенциальная энергия системы максимальна, кинетическая - минимальна (обозначим ее $K_{min}$). Итак,
$\Pi_{max} + K_{min} = \Pi_{min} + K_{max} \Rightarrow K_{min} = K_{max} - ( \Pi_{max} - \Pi_{min} ) = mV_{max}^{2} - 2 \epsilon$.
Теперь легко найти скорость шариков, соответствующую этой минимальной кинетической энергии.
Заметьте, что кинетическая энергия не может стать отрицательной. Если $mV^{2} - 2 \epsilon < 0$, карусель просто не доедет до неустойчивого положения равновесия; вместо того, чтобы совершать кругообразное движение, шарики будут колебаться вокруг положения устойчивого равновесия, а минимальная скорость их будет нулевой.
Осталось сообразить, что все приведенные формулы остаются справедливыми и в случае $q \tilde{E} - m \tilde{g} < 0$.
Ответ: $V_{min} = \sqrt{V^{2} - 2 \epsilon /m}$, где
$\epsilon = R \sqrt{2} \sin \alpha \sqrt{(qE)^{2} + (mg)^{2} } \cos( \beta + 45^{ \circ} - \gamma ), \gamma = arctg \frac{qE}{mg}, \beta = arctg \frac{qE - mg}{qE + mg}$
Если выражение под корнем в $V_{min}$ становится отрицательным, минимальная скорость шариков обращается в ноль.
В плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом, может вращаться вокруг оси легкая крестообразная карусель, на которой закреплены два маленьких шарика массы $m$ с зарядами $q$ и $-q$ (карусель изображена на рисунке, величина $R$ известна). В системе включили однородное электрическое поле напряженности $E$, направленное вдоль вектора ускорения свободного падения $g$. Карусель раскрутили и отпустили, при этом оказалось, что максимальная скорость вращения шариков равна $V$. Найдите минимальную скорость вращения шариков. Трением пренебречь.
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на шарики в плоскости вращения карусели (силы, действующие в перпендикулярной плоскости скомпенсированы силой реакции опоры). Проекции ускорения свободного падения и напряженности электрического поля на данную плоскость представлены на левом рисунке и равны
$\tilde{g} = g \sin \alpha, \tilde{E} = E \sin \alpha$.
Соответственно, на шарики в этой плоскости действуют силы $m \tilde{g}$ и $q \tilde{E}$. Направления этих сил для для одного из положений см. на левом рисунке. Пусть сначала, для определенности, $q \tilde{E} - m \tilde{g} > 0$.
Исследуем, в каком положении карусель могла бы покоиться. Понятно, что положение карусели на левом рисунке не может быть равновесным: нескомпенсированный момент сил стремится повернуть карусель из этого положения по часовой стрелке. Несложно нарисовать положения карусели, при котором моменты поворачивающих ее сил окажутся скомпенсированными,
$(q \tilde{E} - m \tilde{g})R \cos \beta = (q \tilde{E} + m \tilde{g} )R \sin \beta \Rightarrow \beta = arctg \frac{q \tilde{E} - m \tilde{g} }{q \tilde{E} + m \tilde{g} } = arctg \frac{qE - mg}{qE + mg}$.
Здесь мы характеризовали положение равновесия углом $\beta$ (см.правый рис.). Таких положений два, одно мы изобразили серыми шариками, другое - черными. Одно положение из другого получается поворотом карусели на угол $180^{ \circ}$. Очевидно, если моменты сил скомпенсированы в одном из этих положений, то и в другом они тоже скомпенсированы.
Положение, изображенное на правом рисунке серыми шариками, является устойчивым, а черными - неустойчивым. Действительно, если карусель чуть сдвинуть из этих положений, то возникающий момент сил будет возвращать серые шарики обратно, но еще больше уводить из равновесия черные. Значит, положение серых шариков характеризуется минимумом потенциальной энергии системы $\Pi_{min}$, а положение черных - максимумом $\Pi_{max}$.
Будем отсчитывать потенциальную энергию от уровня $OO^{ \prime}$. При этом легко заметить, что $\Pi_{max} = - \Pi_{min}$, ведь и электрическая и гравитационная потенциальная энергия каждого шарика просто меняет знак, если карусель переместить из серого положения в черное.
Введем $z_{+}$ и $z_{-}$ - координаты вдоль оси Z положительного и отрицательного зарядов соответственно, отсчитанные от линии $OO^{ \prime}$. В положении устойчивого равновесия $z_{+} = R \cos \beta , z_{-} = - R \sin \beta$.
Выразим теперь потенциальную энергию шариков в положении устойчивого равновесия (она же - минимальная потенциальная энергия карусели).
$\Pi_{min} = - m \tilde{g} (z_{+} + z_{-}) - q \tilde{E} (z_{+} - z_{-}) = - m \tilde{g}R( \cos \beta - \sin \beta ) - q \tilde{E} R( \cos \beta + \sin \beta)$.
Это выражение можно существенно упростить, если воспользоваться тригонометрическими формулами
$\left ( \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos \beta - \frac{ \sqrt{2} }{2} \sin \beta \right ) = \cos ( \beta + 45^{ \circ} )$,
$\left ( \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos \beta + \frac{ \sqrt{2} }{2} \sin \beta \right ) = \sin ( \beta + 45^{ \circ} )$,
получится
$\Pi_{min} = - m \tilde{g} R \sqrt{2} \cos ( \beta + 45^{ \circ} ) - q \tilde{E} R \sqrt{2} \sin ( \beta + 45^{ \circ} )$. (7)
Если же ввести еще и вспомогательный угол $tg \gamma = \frac{q \tilde{E}}{m \tilde{g} } = \frac{qE}{mg}$, для которого
$\sin \gamma = \frac{q \tilde{E} }{ \sqrt{(q \tilde{E} )^{2} + (m \tilde{g} )^{2} } }, \cos \gamma = \frac{m \tilde{g} }{ \sqrt{(q \tilde{E} )^{2} + (m \tilde{g} )^{2} } }$,
формула (7) станет еще короче, ведь разделив и умножив выражение (7) на $\sqrt{(q \tilde{E} )^{2} + (m \tilde{g})^{2}}$, при каждом слагаемом обнаружится $\sin \gamma$ или $\cos \gamma$, для которых снова можно воспользоваться тригонометрической формулой косинуса суммы. Получится $\Pi_{min} = - \epsilon$, где
$\epsilon = R \sqrt{2} \sqrt{(q \tilde{E})^{2} + (m \tilde{g})^{2}} \cos( \beta + 45^{ \circ} - \gamma)$.
Напомним, что $\Pi_{max} = - \Pi_{min} = \epsilon$.
Полная механическая энергия системы сохраняется. Когда потенциальная энергия системы минимальна, кинетическая - максимальна (и известна по условию, $K_{max} = mV^{2}$ ). Аналогично, когда потенциальная энергия системы максимальна, кинетическая - минимальна (обозначим ее $K_{min}$). Итак,
$\Pi_{max} + K_{min} = \Pi_{min} + K_{max} \Rightarrow K_{min} = K_{max} - ( \Pi_{max} - \Pi_{min} ) = mV_{max}^{2} - 2 \epsilon$.
Теперь легко найти скорость шариков, соответствующую этой минимальной кинетической энергии.
Заметьте, что кинетическая энергия не может стать отрицательной. Если $mV^{2} - 2 \epsilon < 0$, карусель просто не доедет до неустойчивого положения равновесия; вместо того, чтобы совершать кругообразное движение, шарики будут колебаться вокруг положения устойчивого равновесия, а минимальная скорость их будет нулевой.
Осталось сообразить, что все приведенные формулы остаются справедливыми и в случае $q \tilde{E} - m \tilde{g} < 0$.
Ответ: $V_{min} = \sqrt{V^{2} - 2 \epsilon /m}$, где
$\epsilon = R \sqrt{2} \sin \alpha \sqrt{(qE)^{2} + (mg)^{2} } \cos( \beta + 45^{ \circ} - \gamma ), \gamma = arctg \frac{qE}{mg}, \beta = arctg \frac{qE - mg}{qE + mg}$
Если выражение под корнем в $V_{min}$ становится отрицательным, минимальная скорость шариков обращается в ноль.
