Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10198
2019-02-20 
В заполненный водой сосуд (см. рис.) помещен подвижный поршень П, к которому стержнем С прикреплен кубик К. При малом смещении кубика вправо он герметично закрывает отверстие в перегородке $AA^{ \prime}$. Кубик и поршень прикрепили к противоположным стенкам сосуда пружинами, каждая из которых сжата на $\Delta x$ по сравнению с недеформированным состоянием. Затем экспериментаторы сильно увеличили давление воды в крайних отсеках. Подберите жесткость правой пружины так, чтобы установившееся давление в центральном отсеке сосуда оказалось меньше, чем в крайних, на величину $\Delta P$. Площадь поршня и площадь отверстия равны $S$ и $s^{ \prime}$ соответственно, жесткость левой пружины $k$. Силой тяжести пренебречь.
Решение:
Обозначим давление в крайних отсеках $P_{1}$, а в среднем $P_{2}$.
Рассмотрим внешние силы, действующие на систему «кубик-стержень-поршень».
Налево систему толкает, во-первых, правая сжатая пружина (с силой $k_{п} \Delta x$), во-вторых, сила давление жидкости среднего отсека на кубик (величиной $P_{2}s^{ \prime}$), в третьих, сила давления жидкости правого отсека на поршень (величиной $P_{1}S$). Кроме того, если кубик касается перегородки, на него может действовать сила реакции перегородки, также направленная налево.
Направо на нашу систему действуют: левая сжатая пружина (с силой $k_{л}\Delta x$); сила давление жидкости левого отсека на кубик (величиной $P_{1}s^{ \prime}$); сила давления жидкости среднего отсека на поршень (величиной $P_{2}S$).
Таким образом, силы скомпенсированы, когда
$N + k_{п} \Delta x + P_{2}s^{ \prime} + P_{1}S = k_{л} \Delta x + P_{1}s^{ \prime} + P_{2}S$.
Выразим отсюда $N$
$N = (k_{л} - k_{п} ) \Delta x - (P_{1} - P_{2} )(S - s^{ \prime} )$.
Заметим, что если сила $N > 0$, кубик прижат к перегородке, и давления могут быть не равны, $P_{1} = P_{2}$. Если же в какой-то момент $N$ обращается в ноль, кубик не взаимодействует с перегородкой; при этом вода может «пробулькивать» между кубиком и перегородкой, а давления $P_{1}$ и $P_{2}$ выравняются.
Когда $P_{1} = P_{2}$ , согласно выражению (6), $N > 0$, отверстие в перегородке закрыто. Когда экспериментаторы стали увеличивать давление в крайних отсеках ($P_{1}$), давление $P_{2}$ сначала не меняется. При этом вычитаемое в разности (6), пропорциональное ($P_{1} - P_{2}$) начинает увеличиваться, а сила реакции кубика о перегородку - уменьшаться. В тот момент, когда $N$ обращается в ноль, т.е. при $P_{1} - P_{2} = (k_{п} - k_{л}) \Delta x/(S - s^{ \prime})$, кубик отрывается, вода пробулькивает и давления в отсеках выравниваются.
Таким образом, разность давлений $P_{1} - P_{2}$ в описанной системе не может превзойти
$\Delta P = (k_{л} - k_{п}) \Delta x/(S - s^{ \prime} )$.
С другой стороны, всегда можно добиться (в достаточной степени увеличив давление в крайних отсеках и прекратив его увеличивать как раз перед тем, как начнется пробулькивание), чтобы разность давлений оказалась равна именно $\Delta P$.
Выражая из последнего равенства $k_{п}$, получим ответ.
Ответ: Жесткость правой пружинки должна быть равна $k_{п} = k - \Delta P(S - s^{ \prime} )/ \Delta x$. При больших значениях жесткости правой пружинки разность давлений $\Delta P$ будет также возможна. При меньших же значениях жидкость будет «пробулькивать» между кубиком и перегородкой так, что требуемая разность давлений не установится никогда.
В заполненный водой сосуд (см. рис.) помещен подвижный поршень П, к которому стержнем С прикреплен кубик К. При малом смещении кубика вправо он герметично закрывает отверстие в перегородке $AA^{ \prime}$. Кубик и поршень прикрепили к противоположным стенкам сосуда пружинами, каждая из которых сжата на $\Delta x$ по сравнению с недеформированным состоянием. Затем экспериментаторы сильно увеличили давление воды в крайних отсеках. Подберите жесткость правой пружины так, чтобы установившееся давление в центральном отсеке сосуда оказалось меньше, чем в крайних, на величину $\Delta P$. Площадь поршня и площадь отверстия равны $S$ и $s^{ \prime}$ соответственно, жесткость левой пружины $k$. Силой тяжести пренебречь.
Решение:
Обозначим давление в крайних отсеках $P_{1}$, а в среднем $P_{2}$.
Рассмотрим внешние силы, действующие на систему «кубик-стержень-поршень».
Налево систему толкает, во-первых, правая сжатая пружина (с силой $k_{п} \Delta x$), во-вторых, сила давление жидкости среднего отсека на кубик (величиной $P_{2}s^{ \prime}$), в третьих, сила давления жидкости правого отсека на поршень (величиной $P_{1}S$). Кроме того, если кубик касается перегородки, на него может действовать сила реакции перегородки, также направленная налево.
Направо на нашу систему действуют: левая сжатая пружина (с силой $k_{л}\Delta x$); сила давление жидкости левого отсека на кубик (величиной $P_{1}s^{ \prime}$); сила давления жидкости среднего отсека на поршень (величиной $P_{2}S$).
Таким образом, силы скомпенсированы, когда
$N + k_{п} \Delta x + P_{2}s^{ \prime} + P_{1}S = k_{л} \Delta x + P_{1}s^{ \prime} + P_{2}S$.
Выразим отсюда $N$
$N = (k_{л} - k_{п} ) \Delta x - (P_{1} - P_{2} )(S - s^{ \prime} )$.
Заметим, что если сила $N > 0$, кубик прижат к перегородке, и давления могут быть не равны, $P_{1} = P_{2}$. Если же в какой-то момент $N$ обращается в ноль, кубик не взаимодействует с перегородкой; при этом вода может «пробулькивать» между кубиком и перегородкой, а давления $P_{1}$ и $P_{2}$ выравняются.
Когда $P_{1} = P_{2}$ , согласно выражению (6), $N > 0$, отверстие в перегородке закрыто. Когда экспериментаторы стали увеличивать давление в крайних отсеках ($P_{1}$), давление $P_{2}$ сначала не меняется. При этом вычитаемое в разности (6), пропорциональное ($P_{1} - P_{2}$) начинает увеличиваться, а сила реакции кубика о перегородку - уменьшаться. В тот момент, когда $N$ обращается в ноль, т.е. при $P_{1} - P_{2} = (k_{п} - k_{л}) \Delta x/(S - s^{ \prime})$, кубик отрывается, вода пробулькивает и давления в отсеках выравниваются.
Таким образом, разность давлений $P_{1} - P_{2}$ в описанной системе не может превзойти
$\Delta P = (k_{л} - k_{п}) \Delta x/(S - s^{ \prime} )$.
С другой стороны, всегда можно добиться (в достаточной степени увеличив давление в крайних отсеках и прекратив его увеличивать как раз перед тем, как начнется пробулькивание), чтобы разность давлений оказалась равна именно $\Delta P$.
Выражая из последнего равенства $k_{п}$, получим ответ.
Ответ: Жесткость правой пружинки должна быть равна $k_{п} = k - \Delta P(S - s^{ \prime} )/ \Delta x$. При больших значениях жесткости правой пружинки разность давлений $\Delta P$ будет также возможна. При меньших же значениях жидкость будет «пробулькивать» между кубиком и перегородкой так, что требуемая разность давлений не установится никогда.
