Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10196
2019-02-20 
Идеальный одноатомный газ совершает процесс 1-2-3 (см. рис., величины $p_{0}, V_{0}$ известны). На изобаре 1-2 объем меняется с постоянным ускорением $a (м^{3}/с^{2})$; в точке 1 скорость изменения объема равна нулю. На изохоре 2-3 давление меняется с постоянной скоростью $w (Па/с)$. В моменты времени, соответствующие процессам 1-2 и 2-3, определите мощность, с которой газ должен обмениваться теплотой с внешним телом; постройте график зависимости этой мощности как функции времени. Все тепловые процессы считайте квазистационарными.
Решение:
На изобаре газ за небольшой промежуток времени $\Delta t$ обменивается с внешним телом теплотой $\Delta Q_{12} = C_{p}\Delta T$, где $C_{p} = 5 \nu R/2$ - теплоемкость газа при постоянном давлении ($\nu$ - количество вещества газа), $\Delta T$ - изменение температуры газа за промежуток времени $\Delta t$. Отметим, что в данном процессе температура газа убывает так что тепло должно уходить от газа к внешнему телу.
При помощи уравнения Клайперона-Менделеева легко убедиться, что в изобарическом процессе $\nu R \Delta T = p_{0} \Delta V$, где $\Delta V$ - изменение объема газа за рассмотренный промежуток времени. Таким образом, для искомой мощности в данном процессе
$W(t) = \frac{ \Delta Q_{12} }{ \Delta t} = \frac{5p_{0} \Delta V }{2 \Delta t}$. (4)
По условию на изобаре объем меняется равноускоренно, то есть по закону $V(t) = 4V_{0} - \frac{at^{2}}{2}$. Значит, скорость изменения объема ведет себя линейно: $\frac{ \Delta V}{ \Delta t} = -at$. Подставив эту величину в (4), найдем $W(t) = - \frac{5 atp_{0}}{2}$
Этот закон для мощности теплообмена выполняется, пока объем не сравняется с $V_{0}$, то есть в течение промежутка времени $t_{1}$, когда $V(t_{1}) = 4V_{0} - \frac{at_{1}^{2}}{2} = V_{0}$. Несложно выразить $t_{1}$ из последнего равенства, $t_{1} = \sqrt{ \frac{6V_{0}}{a}}$.
На изохоре газ за небольшой промежуток времени $\Delta t$ получает от внешнего тела теплоту $\Delta Q_{23} = C_{ \nu} \Delta T$, где $C_{ \nu} = \frac{3 \nu R}{2}$ - теплоемкость газа при постоянном объеме, $\Delta T$ - изменение температуры газа за данный промежуток времени $\Delta t$. Отметим, что в данном процессе температура газа растет. При помощи уравнения Клайперона-Менделеева легко убедиться, что в изохорическом процессе $\nu R \Delta T = V_{0} \Delta p$, где $\Delta p$ - изменение давления газа за рассмотренный промежуток времени. Таким образом, для искомой мощности в данном процессе
$W(t) = \frac{ \Delta Q_{23}}{ \Delta t} = \frac{ 3V_{0} \Delta p}{2 \Delta t} = \frac{3wV_{0} }{2}$. (5)
Здесь мы использовали, что скорость изменения давления $\Delta p/ \Delta t = w$ дана по условию.
Этот закон для мощности теплообмена выполняется, пока давление не сравняется с $3p_{0}$, то есть еще в течение промежутка времени $t_{2} = 2p_{0}/w$.
Ответ: При $0 \leq t \leq t_{1} = \sqrt{6V_{0}/a}$ мощность, получаемого тепла отрицательна и линейно растет по закону $W(t) = - 5atp_{0}/2$; затем при $t_{1} \leq t \leq t_{1} + t_{2}$ (где $t_{2} = 2p_{0}/w$ ) мощность постоянна, положительна и равна $3wV_{0}/2$. Требуемый график представлен на рисунке.
Идеальный одноатомный газ совершает процесс 1-2-3 (см. рис., величины $p_{0}, V_{0}$ известны). На изобаре 1-2 объем меняется с постоянным ускорением $a (м^{3}/с^{2})$; в точке 1 скорость изменения объема равна нулю. На изохоре 2-3 давление меняется с постоянной скоростью $w (Па/с)$. В моменты времени, соответствующие процессам 1-2 и 2-3, определите мощность, с которой газ должен обмениваться теплотой с внешним телом; постройте график зависимости этой мощности как функции времени. Все тепловые процессы считайте квазистационарными.
Решение:
На изобаре газ за небольшой промежуток времени $\Delta t$ обменивается с внешним телом теплотой $\Delta Q_{12} = C_{p}\Delta T$, где $C_{p} = 5 \nu R/2$ - теплоемкость газа при постоянном давлении ($\nu$ - количество вещества газа), $\Delta T$ - изменение температуры газа за промежуток времени $\Delta t$. Отметим, что в данном процессе температура газа убывает так что тепло должно уходить от газа к внешнему телу.
При помощи уравнения Клайперона-Менделеева легко убедиться, что в изобарическом процессе $\nu R \Delta T = p_{0} \Delta V$, где $\Delta V$ - изменение объема газа за рассмотренный промежуток времени. Таким образом, для искомой мощности в данном процессе
$W(t) = \frac{ \Delta Q_{12} }{ \Delta t} = \frac{5p_{0} \Delta V }{2 \Delta t}$. (4)
По условию на изобаре объем меняется равноускоренно, то есть по закону $V(t) = 4V_{0} - \frac{at^{2}}{2}$. Значит, скорость изменения объема ведет себя линейно: $\frac{ \Delta V}{ \Delta t} = -at$. Подставив эту величину в (4), найдем $W(t) = - \frac{5 atp_{0}}{2}$
Этот закон для мощности теплообмена выполняется, пока объем не сравняется с $V_{0}$, то есть в течение промежутка времени $t_{1}$, когда $V(t_{1}) = 4V_{0} - \frac{at_{1}^{2}}{2} = V_{0}$. Несложно выразить $t_{1}$ из последнего равенства, $t_{1} = \sqrt{ \frac{6V_{0}}{a}}$.
На изохоре газ за небольшой промежуток времени $\Delta t$ получает от внешнего тела теплоту $\Delta Q_{23} = C_{ \nu} \Delta T$, где $C_{ \nu} = \frac{3 \nu R}{2}$ - теплоемкость газа при постоянном объеме, $\Delta T$ - изменение температуры газа за данный промежуток времени $\Delta t$. Отметим, что в данном процессе температура газа растет. При помощи уравнения Клайперона-Менделеева легко убедиться, что в изохорическом процессе $\nu R \Delta T = V_{0} \Delta p$, где $\Delta p$ - изменение давления газа за рассмотренный промежуток времени. Таким образом, для искомой мощности в данном процессе
$W(t) = \frac{ \Delta Q_{23}}{ \Delta t} = \frac{ 3V_{0} \Delta p}{2 \Delta t} = \frac{3wV_{0} }{2}$. (5)
Здесь мы использовали, что скорость изменения давления $\Delta p/ \Delta t = w$ дана по условию.
Этот закон для мощности теплообмена выполняется, пока давление не сравняется с $3p_{0}$, то есть еще в течение промежутка времени $t_{2} = 2p_{0}/w$.
Ответ: При $0 \leq t \leq t_{1} = \sqrt{6V_{0}/a}$ мощность, получаемого тепла отрицательна и линейно растет по закону $W(t) = - 5atp_{0}/2$; затем при $t_{1} \leq t \leq t_{1} + t_{2}$ (где $t_{2} = 2p_{0}/w$ ) мощность постоянна, положительна и равна $3wV_{0}/2$. Требуемый график представлен на рисунке.
