Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10195
2019-02-20 
На одном плече равноплечего легкого и жесткого рычага лежит шарик массы $m_{1}$. Сначала рычаг поддерживается в горизонтальном положении с помощью подставки (см. рис). На другое плечо кидают второй шарик массы $m_{2}$ так, что он упруго ударяется о край плеча рычага. Каким должно быть соотношение масс шариков, чтобы они после этого столкнулись в воздухе. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Решение:
Для того чтобы ответить на вопрос задачи для начала нужно разобраться е тем, какими будут скорости шариков после удара о рычаг, В момент удара шарика массы $m_{2}$ о плечо рычага на него в течении очень короткого промежутка времени $\Delta t$ действует большая сила реакции опоры $\vec{F}$ (см. рис.), Эта сила и меняет направление движения шарика, причем она действует перпендикулярно опоре (см. рис.). По третьему закону Ньютона в момент удара шарик действует на рычаг с силой по модулю равной $\vec{F}$, но направленной в противоположную сторону ($- \vec{F}$). По условию рычаг жесткий и равноплечий, значит по правилу рычага силы действующие на края его плеч равны. То есть в течении очень короткого времени удара $\Delta t$ на шарик массы $m_{1}$ действует сила реакции опоры равная так же $\vec{F}$.
Изменение импульсов шариков во время удара можно записать е помощью второго закона Ньютона в импульсной форме так: $\Delta \vec{p}_{1} = \vec{F} \Delta t$ и $\Delta \vec{p}_{2} = \vec{F} \Delta t$. Из этих равенств следует, что изменения импульсов равны, а так же меняется только вертикальная составляющая импульсов обоих шариков, так как сила реакции опоры направлена вертикально вверх. Тогда в проекции на ось OY:
$\Delta p_{1y} = \Delta p_{2y}; m_{1} \Delta V_{1y} = m_{2} \Delta V_{2y}$,
где $\Delta V_{(1,2)y} = V_{(1,2)y} - V_{(1,2)y_{0}}$ - изменение вертикальной проекции скоростей шариков, здесь $V_{(1,2)y}$ скорости шариков сразу же после удара, a $V(1,2)y_{0}$ - сразу перед ударом. Для первого шарика $\Delta V_{1y} = V_{1y}$, потому что сначала он покоился $V_{1y_{0}} = 0$. Для второго шарика $\Delta V_{2y} = V_{2y} + V_{2y_{0}}$, здесь знак "+" потому что проекция скорости прямо перед ударом отрицательна, В итоге получаем равенство:
$m_{1}V_{1y} = m_{2} (V_{2y} + V_{2y_{0}})$ (1)
Проекция импульсов на горизонтальную ось OX не меняется $m_{1} \Delta V_{1x} = m_{2} \Delta V_{2x} = 0$. To сеть для первого шарика горизонтальная проекция скорости всегда равна нулю $V_{1x} = 0$, а у второго шарика она не сохраняется $V_{2x} = V_{2x_{0}}$.
Теперь обсудим условие того, что шарики столкнулись в воздухе. Как мы уже поняли, после того как второй шарик ударился о рычаг, первый начинает двигаться вверх. Очевидно, когда шарики столкнулись, они находились на одной высоте. Пусть они столкнулись во время $t$, тогда высота, на которую поднялся шарик равна $h = V_{y}t - \frac{gt^{2} }{2}$, где $V_{y}$ - вертикальная проекция скорости в начале движения, $g$ - ускорение свободного падения. Тогда условие равенства высот шариков будет таким:
$V_{1y}t - \frac{gt^{2} }{2} = V_{2y}t - \frac{gt^{2} }{2}; \Rightarrow (V_{1y} - V_{2y})t = 0$.
Отсюда следует, что необходимое условие столкновения: $V_{1y} = V_{2y}$. Причем если это выполнено, то шарики постоянно во время своего движения находятся на одной высоте. То есть чтобы они все таки столкнулись им нужно просто сближаться по горизонтали. Это очевидно выполнено, так как второй шарик имеет ненулевую постоянную проекцию скорости $V_{2x}$ по горизонтали, направленную к первому шарику. В итоге условие того, чтобы они столкнулись в воздухе выглядит так:
$V_{1y} = V_{2y}$. (2)
Далее воспользуемся законом сохранения энергии. Так как удар в системе упругий, то механическая энергия в процессе удара сохраняется. Тогда запишем закон сохранения энергии в момент удара:
$E_{K_{0}} + E_{P_{0} } = E_{K} + E_{P}$,
где $E_{K_{0} }$ - кинетическая энергия шариков непосредственно до удара, $E_{K}$ - кинетическая энергия шариков сразу после удара, $E_{P_{0}}, E_{P}$ - потенциальная энергия прямо перед и сразу после удара. Очевидно, что $E_{P_{0} } = E_{P}$, то есть далее потенциальную энергию нам нет нужды рассматривать. Так как первый шарик сначала покоится, то $E_{K_{0}} = \frac{m_{2}V_{20}^{2}}{2}$. Сразу после удара $E_{K} = \frac{m_{1}V_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2}^{2}}{2}$. Теперь запишем равенство, записав по теореме Пифагора квадраты модулей скоростей как суммы квадратов проекций:
$\frac{m_{2}V_{2x_{0}}^{2} }{2} + \frac{m_{2} V_{2y_{0}}^{2} }{2} = \frac{m_{1}V_{1x}^{2} }{2} + \frac{m_{1}V_{1y}^{2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2x}^{2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2y}^{2} }{2}$.
Это равенство сначала умножим на 2, затем учтем, что скорость по оси OX первого шарика равна нулю ($V_{1x} = V_{1x_{0} } = 0$), а у второго шарика горизонтальная скорость не меняется ($V_{2x} = V_{2x_{0}}$):
$m V_{2y_{0}}^{2} = m_{1} V_{1y}^{2} + m_{2}V_{2y}^{2}$
А теперь учтем условие на столкновение шариков (2):
$m_{2}V_{2y_{0}}^{2} = (m_{1} + m_{2}) V_{2y}^{2}$ (3)
Далее запишем соотношение (3) так же с учетом условия столкновения шариков (2):
$(m_{1} - m_{2})V_{2y} = m_{2}V_{2y_{0}}$. (4)
Осталось выразить $V_{2y_{0}}$ - из (4), откуда получаем $V_{2y_{0}} = \frac{(m_{1} - m_{2} )V_{2y} }{m_{2} }$, далее подставляем это в (2) и после не долгих выкладок получается соотношение на массы шариков:
$\frac{m_{1} }{m_{2} } = 3$.
Ответ: Для того, чтобы шарики столкнулись в воздухе соотношение масс должно быть $m_{1}/m_{2} = 3$.
На одном плече равноплечего легкого и жесткого рычага лежит шарик массы $m_{1}$. Сначала рычаг поддерживается в горизонтальном положении с помощью подставки (см. рис). На другое плечо кидают второй шарик массы $m_{2}$ так, что он упруго ударяется о край плеча рычага. Каким должно быть соотношение масс шариков, чтобы они после этого столкнулись в воздухе. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Решение:
Для того чтобы ответить на вопрос задачи для начала нужно разобраться е тем, какими будут скорости шариков после удара о рычаг, В момент удара шарика массы $m_{2}$ о плечо рычага на него в течении очень короткого промежутка времени $\Delta t$ действует большая сила реакции опоры $\vec{F}$ (см. рис.), Эта сила и меняет направление движения шарика, причем она действует перпендикулярно опоре (см. рис.). По третьему закону Ньютона в момент удара шарик действует на рычаг с силой по модулю равной $\vec{F}$, но направленной в противоположную сторону ($- \vec{F}$). По условию рычаг жесткий и равноплечий, значит по правилу рычага силы действующие на края его плеч равны. То есть в течении очень короткого времени удара $\Delta t$ на шарик массы $m_{1}$ действует сила реакции опоры равная так же $\vec{F}$.
Изменение импульсов шариков во время удара можно записать е помощью второго закона Ньютона в импульсной форме так: $\Delta \vec{p}_{1} = \vec{F} \Delta t$ и $\Delta \vec{p}_{2} = \vec{F} \Delta t$. Из этих равенств следует, что изменения импульсов равны, а так же меняется только вертикальная составляющая импульсов обоих шариков, так как сила реакции опоры направлена вертикально вверх. Тогда в проекции на ось OY:
$\Delta p_{1y} = \Delta p_{2y}; m_{1} \Delta V_{1y} = m_{2} \Delta V_{2y}$,
где $\Delta V_{(1,2)y} = V_{(1,2)y} - V_{(1,2)y_{0}}$ - изменение вертикальной проекции скоростей шариков, здесь $V_{(1,2)y}$ скорости шариков сразу же после удара, a $V(1,2)y_{0}$ - сразу перед ударом. Для первого шарика $\Delta V_{1y} = V_{1y}$, потому что сначала он покоился $V_{1y_{0}} = 0$. Для второго шарика $\Delta V_{2y} = V_{2y} + V_{2y_{0}}$, здесь знак "+" потому что проекция скорости прямо перед ударом отрицательна, В итоге получаем равенство:
$m_{1}V_{1y} = m_{2} (V_{2y} + V_{2y_{0}})$ (1)
Проекция импульсов на горизонтальную ось OX не меняется $m_{1} \Delta V_{1x} = m_{2} \Delta V_{2x} = 0$. To сеть для первого шарика горизонтальная проекция скорости всегда равна нулю $V_{1x} = 0$, а у второго шарика она не сохраняется $V_{2x} = V_{2x_{0}}$.
Теперь обсудим условие того, что шарики столкнулись в воздухе. Как мы уже поняли, после того как второй шарик ударился о рычаг, первый начинает двигаться вверх. Очевидно, когда шарики столкнулись, они находились на одной высоте. Пусть они столкнулись во время $t$, тогда высота, на которую поднялся шарик равна $h = V_{y}t - \frac{gt^{2} }{2}$, где $V_{y}$ - вертикальная проекция скорости в начале движения, $g$ - ускорение свободного падения. Тогда условие равенства высот шариков будет таким:
$V_{1y}t - \frac{gt^{2} }{2} = V_{2y}t - \frac{gt^{2} }{2}; \Rightarrow (V_{1y} - V_{2y})t = 0$.
Отсюда следует, что необходимое условие столкновения: $V_{1y} = V_{2y}$. Причем если это выполнено, то шарики постоянно во время своего движения находятся на одной высоте. То есть чтобы они все таки столкнулись им нужно просто сближаться по горизонтали. Это очевидно выполнено, так как второй шарик имеет ненулевую постоянную проекцию скорости $V_{2x}$ по горизонтали, направленную к первому шарику. В итоге условие того, чтобы они столкнулись в воздухе выглядит так:
$V_{1y} = V_{2y}$. (2)
Далее воспользуемся законом сохранения энергии. Так как удар в системе упругий, то механическая энергия в процессе удара сохраняется. Тогда запишем закон сохранения энергии в момент удара:
$E_{K_{0}} + E_{P_{0} } = E_{K} + E_{P}$,
где $E_{K_{0} }$ - кинетическая энергия шариков непосредственно до удара, $E_{K}$ - кинетическая энергия шариков сразу после удара, $E_{P_{0}}, E_{P}$ - потенциальная энергия прямо перед и сразу после удара. Очевидно, что $E_{P_{0} } = E_{P}$, то есть далее потенциальную энергию нам нет нужды рассматривать. Так как первый шарик сначала покоится, то $E_{K_{0}} = \frac{m_{2}V_{20}^{2}}{2}$. Сразу после удара $E_{K} = \frac{m_{1}V_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2}^{2}}{2}$. Теперь запишем равенство, записав по теореме Пифагора квадраты модулей скоростей как суммы квадратов проекций:
$\frac{m_{2}V_{2x_{0}}^{2} }{2} + \frac{m_{2} V_{2y_{0}}^{2} }{2} = \frac{m_{1}V_{1x}^{2} }{2} + \frac{m_{1}V_{1y}^{2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2x}^{2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2y}^{2} }{2}$.
Это равенство сначала умножим на 2, затем учтем, что скорость по оси OX первого шарика равна нулю ($V_{1x} = V_{1x_{0} } = 0$), а у второго шарика горизонтальная скорость не меняется ($V_{2x} = V_{2x_{0}}$):
$m V_{2y_{0}}^{2} = m_{1} V_{1y}^{2} + m_{2}V_{2y}^{2}$
А теперь учтем условие на столкновение шариков (2):
$m_{2}V_{2y_{0}}^{2} = (m_{1} + m_{2}) V_{2y}^{2}$ (3)
Далее запишем соотношение (3) так же с учетом условия столкновения шариков (2):
$(m_{1} - m_{2})V_{2y} = m_{2}V_{2y_{0}}$. (4)
Осталось выразить $V_{2y_{0}}$ - из (4), откуда получаем $V_{2y_{0}} = \frac{(m_{1} - m_{2} )V_{2y} }{m_{2} }$, далее подставляем это в (2) и после не долгих выкладок получается соотношение на массы шариков:
$\frac{m_{1} }{m_{2} } = 3$.
Ответ: Для того, чтобы шарики столкнулись в воздухе соотношение масс должно быть $m_{1}/m_{2} = 3$.
