Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10191
2019-02-20 
В стакане с водой плавает плоский слой прозрачного льда (см. рис.). Сверху на лед падает тонкий луч света, угол падения равен $\alpha = 45^{ \circ}$. Каждую секунду масса $\mu = 10^{-3} кг/с$ льда тает. С какой скоростью перемещается точка падения луча на дно стакана? Площадь стакана равна $S = 20 см^{2}$, плотность льда $\rho_{1} = 900 кг/м^{3}$, плотность воды $\rho_{0} = 1000 кг/м^{3}$. Показатели преломления воды и льда можно считать одинаковыми и равными $n = 1,3$. Лед тает равномерно по всей площади, площадь слоя льда практически равна площади стакана и не меняется в процессе таяния. При решении можно пользоваться графическими построениями на рисунке.
Решение:
Луч света испытывает преломление только на границе лед/воздух и далее распространяется прямолинейно до дна сосуда. Задача разбивается на две части: определить с какой скоростью движется граница лед/воздух в вертикальном направлении и далее связать скорость движения этой границы $U$ со скоростью движения пятна на дне стакана $v$.
Сначала определим $U$. Уровень воды в сосуде остается неизменным, т.к. давление на дно постоянно и определяется полной массой вещества в сосуде. Если толщина слоя льда равна $h$, то над водой слой льда выступает на величину $(1 - \rho_{1}/ \rho_{0})h$. Скорость изменения $h$ связана со скоростью таяния льда соотношением:
$\mu = \frac{ \Delta h}{ \Delta t} S \rho_{1}$. (1)
Следовательно скорость движения границы лед/воздух можно записать в виде:
$U = \left ( 1 - \frac{ \rho_{1}}{ \rho_{0}} \right ) \frac{ \Delta h}{ \Delta t} = \frac{ \mu}{ \rho_{1}S } \left (1 - \frac{ \rho_{1}}{ \rho_{0}} \right )$. (2)
Численное значение $U$ равно $5,6 \cdot 10^{-5} м/с$.
Далее определим отношение $v/U$. Предположим что уровень льда опустился до линии BD (см. рис.). Тогда изменение высоты границы лед/воздух равно АВ, а горизонтальное перемещение луча (равное перемещению изображения луча на дне) равно CD. Нетрудно отметить, что:
$\frac{v}{U} = \frac{| CD |}{|AB|}$. (3)
Данное соотношение можно определить графически с помощью линейки. В случае аналитического решения задачи, нужно отметить, что угол $CAB \equiv \phi$ в силу закона Снеллиуса удовлетворяет условию:
$\sin CAB = \frac{ \sin \alpha}{n} \equiv \sin \phi$. (4)
Тогда можно записать:
$\frac{|CD|}{|AB|} = \frac{|DB| - |CB|}{|AB|} = tg \alpha - tg \phi$. (5)
С учетом (2) и (3) можно записать:
$v = \frac{ \mu}{ \rho_{1}S } \left ( 1 - \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{0} } \right ) (tg \alpha - tg \phi)$, или $v = \frac{ \mu tg \alpha}{ \rho_{1}S } \left ( 1 - \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{0} } \right ) \left ( 1 - \sqrt{ \frac{1 - \sin^{2} \alpha }{n^{2} - \sin^{2} \alpha } } \right )$. (6)
Ответ $v \approx 2 \cdot 10^{-5} м/с$.
В стакане с водой плавает плоский слой прозрачного льда (см. рис.). Сверху на лед падает тонкий луч света, угол падения равен $\alpha = 45^{ \circ}$. Каждую секунду масса $\mu = 10^{-3} кг/с$ льда тает. С какой скоростью перемещается точка падения луча на дно стакана? Площадь стакана равна $S = 20 см^{2}$, плотность льда $\rho_{1} = 900 кг/м^{3}$, плотность воды $\rho_{0} = 1000 кг/м^{3}$. Показатели преломления воды и льда можно считать одинаковыми и равными $n = 1,3$. Лед тает равномерно по всей площади, площадь слоя льда практически равна площади стакана и не меняется в процессе таяния. При решении можно пользоваться графическими построениями на рисунке.
Решение:
Луч света испытывает преломление только на границе лед/воздух и далее распространяется прямолинейно до дна сосуда. Задача разбивается на две части: определить с какой скоростью движется граница лед/воздух в вертикальном направлении и далее связать скорость движения этой границы $U$ со скоростью движения пятна на дне стакана $v$.
Сначала определим $U$. Уровень воды в сосуде остается неизменным, т.к. давление на дно постоянно и определяется полной массой вещества в сосуде. Если толщина слоя льда равна $h$, то над водой слой льда выступает на величину $(1 - \rho_{1}/ \rho_{0})h$. Скорость изменения $h$ связана со скоростью таяния льда соотношением:
$\mu = \frac{ \Delta h}{ \Delta t} S \rho_{1}$. (1)
Следовательно скорость движения границы лед/воздух можно записать в виде:
$U = \left ( 1 - \frac{ \rho_{1}}{ \rho_{0}} \right ) \frac{ \Delta h}{ \Delta t} = \frac{ \mu}{ \rho_{1}S } \left (1 - \frac{ \rho_{1}}{ \rho_{0}} \right )$. (2)
Численное значение $U$ равно $5,6 \cdot 10^{-5} м/с$.
Далее определим отношение $v/U$. Предположим что уровень льда опустился до линии BD (см. рис.). Тогда изменение высоты границы лед/воздух равно АВ, а горизонтальное перемещение луча (равное перемещению изображения луча на дне) равно CD. Нетрудно отметить, что:
$\frac{v}{U} = \frac{| CD |}{|AB|}$. (3)
Данное соотношение можно определить графически с помощью линейки. В случае аналитического решения задачи, нужно отметить, что угол $CAB \equiv \phi$ в силу закона Снеллиуса удовлетворяет условию:
$\sin CAB = \frac{ \sin \alpha}{n} \equiv \sin \phi$. (4)
Тогда можно записать:
$\frac{|CD|}{|AB|} = \frac{|DB| - |CB|}{|AB|} = tg \alpha - tg \phi$. (5)
С учетом (2) и (3) можно записать:
$v = \frac{ \mu}{ \rho_{1}S } \left ( 1 - \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{0} } \right ) (tg \alpha - tg \phi)$, или $v = \frac{ \mu tg \alpha}{ \rho_{1}S } \left ( 1 - \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{0} } \right ) \left ( 1 - \sqrt{ \frac{1 - \sin^{2} \alpha }{n^{2} - \sin^{2} \alpha } } \right )$. (6)
Ответ $v \approx 2 \cdot 10^{-5} м/с$.
