Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10190
2019-02-20 
Заледеневшая горка с двумя одинаковыми скатами образует угол $\gamma$ с горизонтом. Каждый скат горки представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $2a$ (см. рис.). Хоккеист стоя в точке А, хочет попасть шайбой в ворота, расположенные в точке В, так, чтобы шайба не отрывалась от льда во время движения. С какой скоростью и под каким углом к ребру АО должен послать шайбу хоккеист? Верхушка горки незначительно скруглена, размером шайбы и трением пренебречь.
Решение:
В верхней точке горки (на ребре) скорость шайбы должна быть направлена строго вдоль верхнего ребра, иначе шайба подскочит. Это, в общем, очевидное утверждение легко доказать. Действительно, переваливая через малое закругление с ненулевой составляющей скорости $V_{y}$ вдоль оси Y (ем. рис.), шайба будет иметь центростремительное ускорение $a_{ц} = V_{y}^{2}/r$, где $r$ - радиус закругления. Так как по условию закругление незначительно, $r$ мало, значит $a_{ц}$ велико. Второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось в верхней точке траектории имеет следующий вид в проекции на вертикальную ось: $mg - N = ma_{ц}$, откуда следует, что при достаточно больших $a_{ц}$ величина $N$ обратится в ноль, т.е. шайба оторвется.
Итак, в верхней точке траектории скорость шайбы в проекции на ось Y должна быть равна нулю. Но это означает, что в конце подъема по склону должна обратиться в ноль и скорость шайбы в проекции на ось Z, направленную вверх вдоль ската (см. рис.), ведь, проходя закругление, шайба практически не меняет модуль своей скорости. Та компонента скорости, которая перед самым закруглением (в конце подъема) была направлена вдоль оси Z, наверху закругления оказжетея направлена уже вдоль оси Y, Значит, в конце подъема по наклонной плоскости скорость шайбы направлена именно вдоль оси X.
В ходе дальнейшего решения величиной $r$ мы будем пренебрегать.
Рассмотрим движение шайбы в плоскости левого ската горки (см. рис., отметим, что силы, перпендикуярные этой плоскости скомпенсированы на протяжении всего времени движения в данной плоскости). Как обсуждалось, в верхней точке траектории К скорость шайбы направлена вдоль $OO^{ \prime}$. Тогда понятно, что движение шайбы по левому и правому скатам симметрично, а траектории АК и КВ имеют одну форму. Хотя они и лежат в разных плоскостях, АК и КВ представляют собой ветви одинаковых парабол, причем К - вершина обеих этих парабол и делит ребро $OO^{ \prime}$ пополам.
В проекции на оси X и Z, лежащие в плоскости левого ската, ускорение свободного падения имеет проекцию лишь на ось Z, эта проекция отрицательна и равна по модулю $\tilde{g} = g \sin \gamma$. Начальную скорость и искомый угол обозначим $V_{0}$ и $\alpha$ соответственно. Уравнения равноускоренного движения для координат
$X(t) = V_{0}t \sin \alpha, Z(t) = V_{0}t \cos \alpha - \frac{ \tilde{g}t^{2}}{2}$, (1)
a для скоростей
$V_{x}(t) = V_{0} \sin \alpha, V_{z} (t) = V_{0} \cos \alpha - \tilde{g}t$. (2)
В момент времени $t_{k}$, когда шайба проезжает точку К, проекция скорости на Z становится равной нулю, $V_{Z}(t_{k}) = 0$, значит второе уравнение (2) дает
$V_{0} \cos \alpha - \tilde{g} t_{k} = 0 \Rightarrow t_{k} = \frac{V_{0} \cos \alpha }{ \tilde{g} }$.
Координаты шайбы в этот момент $X(t_{k}) = a/2, Z(t_{k})$* (см. рис.), значит уравнения (1) принимают в этой точке вид
$V_{0}t_{k} \sin \alpha = a/2 \: V_{0}t_{k} \cos \alpha - \frac{ \tilde{g}t_{k}^{2}}{2}$*.
Подставляя сюда $t_{k}$, получим систему
$\frac{V_{0}^{2} \sin \alpha \cos \alpha}{ \tilde{g} } = \frac{a}{2}, \frac{V_{0}^{2} \cos^{2} \alpha }{2 \tilde{g} } = 2a$. (3)
Отсюда легко выразить $V_{0}$ и $\alpha$. Например, разделим почленно уравнения (3) друг на друга:
$2 tg \alpha = \frac{1}{4} \Rightarrow tg \alpha = \frac{1}{8}$.
И, наконец, из второго уравнения (3) выразим $V_{0}$.
Ответ: Начальная скорость шайбы $V_{0} = \sqrt{65 ag \sin \gamma / 16}$, угол этой скорости с ребром АО $\alpha = arctg(1/8)$.
Заледеневшая горка с двумя одинаковыми скатами образует угол $\gamma$ с горизонтом. Каждый скат горки представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $2a$ (см. рис.). Хоккеист стоя в точке А, хочет попасть шайбой в ворота, расположенные в точке В, так, чтобы шайба не отрывалась от льда во время движения. С какой скоростью и под каким углом к ребру АО должен послать шайбу хоккеист? Верхушка горки незначительно скруглена, размером шайбы и трением пренебречь.
Решение:
В верхней точке горки (на ребре) скорость шайбы должна быть направлена строго вдоль верхнего ребра, иначе шайба подскочит. Это, в общем, очевидное утверждение легко доказать. Действительно, переваливая через малое закругление с ненулевой составляющей скорости $V_{y}$ вдоль оси Y (ем. рис.), шайба будет иметь центростремительное ускорение $a_{ц} = V_{y}^{2}/r$, где $r$ - радиус закругления. Так как по условию закругление незначительно, $r$ мало, значит $a_{ц}$ велико. Второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось в верхней точке траектории имеет следующий вид в проекции на вертикальную ось: $mg - N = ma_{ц}$, откуда следует, что при достаточно больших $a_{ц}$ величина $N$ обратится в ноль, т.е. шайба оторвется.
Итак, в верхней точке траектории скорость шайбы в проекции на ось Y должна быть равна нулю. Но это означает, что в конце подъема по склону должна обратиться в ноль и скорость шайбы в проекции на ось Z, направленную вверх вдоль ската (см. рис.), ведь, проходя закругление, шайба практически не меняет модуль своей скорости. Та компонента скорости, которая перед самым закруглением (в конце подъема) была направлена вдоль оси Z, наверху закругления оказжетея направлена уже вдоль оси Y, Значит, в конце подъема по наклонной плоскости скорость шайбы направлена именно вдоль оси X.
В ходе дальнейшего решения величиной $r$ мы будем пренебрегать.
Рассмотрим движение шайбы в плоскости левого ската горки (см. рис., отметим, что силы, перпендикуярные этой плоскости скомпенсированы на протяжении всего времени движения в данной плоскости). Как обсуждалось, в верхней точке траектории К скорость шайбы направлена вдоль $OO^{ \prime}$. Тогда понятно, что движение шайбы по левому и правому скатам симметрично, а траектории АК и КВ имеют одну форму. Хотя они и лежат в разных плоскостях, АК и КВ представляют собой ветви одинаковых парабол, причем К - вершина обеих этих парабол и делит ребро $OO^{ \prime}$ пополам.
В проекции на оси X и Z, лежащие в плоскости левого ската, ускорение свободного падения имеет проекцию лишь на ось Z, эта проекция отрицательна и равна по модулю $\tilde{g} = g \sin \gamma$. Начальную скорость и искомый угол обозначим $V_{0}$ и $\alpha$ соответственно. Уравнения равноускоренного движения для координат
$X(t) = V_{0}t \sin \alpha, Z(t) = V_{0}t \cos \alpha - \frac{ \tilde{g}t^{2}}{2}$, (1)
a для скоростей
$V_{x}(t) = V_{0} \sin \alpha, V_{z} (t) = V_{0} \cos \alpha - \tilde{g}t$. (2)
В момент времени $t_{k}$, когда шайба проезжает точку К, проекция скорости на Z становится равной нулю, $V_{Z}(t_{k}) = 0$, значит второе уравнение (2) дает
$V_{0} \cos \alpha - \tilde{g} t_{k} = 0 \Rightarrow t_{k} = \frac{V_{0} \cos \alpha }{ \tilde{g} }$.
Координаты шайбы в этот момент $X(t_{k}) = a/2, Z(t_{k})$* (см. рис.), значит уравнения (1) принимают в этой точке вид
$V_{0}t_{k} \sin \alpha = a/2 \: V_{0}t_{k} \cos \alpha - \frac{ \tilde{g}t_{k}^{2}}{2}$*.
Подставляя сюда $t_{k}$, получим систему
$\frac{V_{0}^{2} \sin \alpha \cos \alpha}{ \tilde{g} } = \frac{a}{2}, \frac{V_{0}^{2} \cos^{2} \alpha }{2 \tilde{g} } = 2a$. (3)
Отсюда легко выразить $V_{0}$ и $\alpha$. Например, разделим почленно уравнения (3) друг на друга:
$2 tg \alpha = \frac{1}{4} \Rightarrow tg \alpha = \frac{1}{8}$.
И, наконец, из второго уравнения (3) выразим $V_{0}$.
Ответ: Начальная скорость шайбы $V_{0} = \sqrt{65 ag \sin \gamma / 16}$, угол этой скорости с ребром АО $\alpha = arctg(1/8)$.
