2016-09-17
Пренебрегая влиянием воздуха и вращением Земли, определите, как зависит кинетическая энергия $W$ искусственного спутника массой $m$, движущегося по круговой орбите вокруг Земли, от работы $A$, которую произвёл над ним ракетоноситель при выводе на эту орбиту. Постройте график зависимости $W(A)$. Радиус Земли $R_{з}$, ускорение свободного падения на её поверхности равно $g$.
Решение:
Потенциальная энергия спутника массой $m$ на поверхности Земли равна $U_{1} = - \frac{GmM_{з}}{R_{з}}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M_{з}$ — масса Земли. Пусть спутник вывели на круговую орбиту радиусом $r$, сообщив ему при этом скорость $v$. Тогда уравнение движения спутника по орбите имеет вид: $\frac{mv^{2}}{r} = \frac{GmM_{з}}{r^{2}}$, а потенциальная и кинетическая энергии спутника равны, соответственно, $U_{2} = — \frac{GmM_{з}}{r}$ и $W_{2} = \frac{mv^{2}}{2}$. Работа ракетоносителя равна изменению полной механической mgRз энергии спутника:
$A = W_{2} - W_{1} + U_{2} - U_{1} = \frac{mv^{2}}{2} - 0 - \frac{GmM_{з}}{r} + \frac{GmM_{з}}{R_{з}}$
Здесь учтено, что на поверхности Земли перед стартом кинетическая энергия спутника $W_{1} = 0$, поскольку мы пренебрегаем вращением Земли. С учётом уравнения движения из последнего соотношения получаем:
$W_{2} = \frac{GmM_{з}}{R_{з}} - A = mgR_{з} - A$,
так как выражение для ускорения свободного падения на поверхности Земли имеет вид: $g = GM_{з}/R_{з}^{2}$.
Это и есть искомая зависимость. График $W = W_{2}(A)$ изображён на рисунке. Он начинается из точки, соответствующей минимально возможной работе $A_{min} = mgR_{з}/2$, которую нужно совершить для того, чтобы вывести спутник на самую низкую орбиту, расположенную у поверхности Земли. При этом совершённая работа пойдёт на разгон спутника до скорости, которая необходима ему для того, чтобы держаться на этой орбите. Максимальная же работа, которую может совершить ракетоноситель, равна $A_{max} = mgR_{з}$. Она должна быть совершена для выведения спутника на самую высокую орбиту, которая бесконечно удалена от Земли. Скорость движения по такой орбите будет равна нулю.