Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10189
2019-02-20 
Легкий длинный пластиковый цилиндр может свободно вращаться вокруг своей горизонтальной оси. Радиус цилиндра $R$, длина $L$. Боковую поверхность цилиндра и прикрепили к ней тяжелый однородный стержень массы $m$, как показано на рисунке. Найдите период малых колебаний цилиндра вокруг положения равновесия. Магнитная проницаемость вакуума $\mu_{0}$ и ускорение свободного падения $g$ известны. Излучением пренебречь.
Решение:
Если бы цилиндр был незаряжен, его период колебаний определялся бы формулой математического маятника и был бы равен $2 \pi \sqrt{R/g}$.
Связанный заряд на поверхности приводит к тому, что при вращении цилиндра вокруг оси вместе с его поверхностью движутся заряды. Этому соответствует ток, который аналогичен переменному току в соленоиде.
Разобъем цилиндр на $N$ узких колец (шириной $X = L/N$). Если в данный момент поверхность цилиндра в результате колебаний имеет скорость $V$, то соответствующий ток в одном узком колечке будет $I = \sigma XV$.
Все колечки вместе создадут внутри цилиндра однородное магнитное поле напряженностью $H = NI/L$ - такое же, как внутри прямого соленоида с током $I$, длина которого $L$ значительно больше диаметра витков. Индукция этого поля
$B = \mu_{0}H = \mu_{0} NI/L = \mu_{0} N \sigma XV/L = \mu_{0} \sigma V$.
Величина $V$ будет периодически меняться в процессе колебаний. Значит и поток магнитного поля $\Phi = \pi R^{2}B$ через каждое колечко будет меняться, т.е. в нем возникнет ЭДС индукции.
Пусть ускорение поверхности цилиндра в данный момент равно $a$. Тогда для ЭДС справедливо
$| \mathcal{E} | = \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} = \mu_{0} \pi R^{2} \sigma a$.
Это означает, что в колечке длиной $2 \pi R$ возникает поле напряженностью $E$, такое, что
$\epsilon = 2 \pi RE \Rightarrow E = \frac{ \epsilon}{2 \pi R} = \frac{ \mu_{0}R \sigma a }{2}$.
Это поле действует на кольцо с силой $qE$, где $q$ - заряд одного кольца, при этом по правилу Ленца сила эта будет мешать кольцу разгоняться и тормозить. Иными словами, действовать эта сила будет также как сила инерции. Суммируя эти силы по всем колечкам, получим вклад $QE$, где $Q = 2 \pi R \sigma L$ - полный заряд цилиндра. Итак, зарядив цилиндр мы приобрели силу $\mu_{0} \sigma^{2} \pi R^{2} La \equiv \gamma a$, направленную против ускорения вращения. Здесь
$\gamma = \mu_{0} \sigma^{2} \pi R^{2} L$ (1)
Обычные колебания незаряженного цилиндра (под действием лишь силы тяжести) имели бы период $T = 2 \pi \sqrt{R/g}$. Выражение под корнем удобно записать в виде $(mR)/(mg)$. Числитель здесь отражает инерциальные свойства маятника, а знаменатель - гравитационный вклад массы, силу тяжести. Инерциальная и гравитационная массы совпадают, поэтому параметр массы сокращается из выражения для периода колебаний математического маятника. Это можно записать и иначе - в виде второго закона Ньютона для маятника длиной $R$, отклоненного на $x$ от положения равновесия:
$ma = - \frac{mgx}{R} \Rightarrow ma = -kx, k \equiv \frac{mg}{R}$,
здесь подразумевается проектирование сил на направление движения маятника. Коэффициент $k$ позволяет увидеть аналогию между движением математического и пружинного маятника и понять, что период колебаний пружинного маятника $T = 2 \pi \sqrt{ m/k}$ - более общий случай, который при $k = mg/R$ превращается в выражение для математического.
Зарядив цилиндр, мы превращаем уравнение движения $ma = - kx$ в $ma = -kx - \gamma a$, что эквивалентно замене инерционной массы цилиндра на $m + \gamma$. Это дает период колебаний
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m + \gamma}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{m + \gamma}{mg/R} }$,
где $\gamma$ вычислено в (1).
Ответ: Период будет равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g} + \frac{ \mu_{0} \sigma^{2} \pi R^{3} L }{mg} }$.
Легкий длинный пластиковый цилиндр может свободно вращаться вокруг своей горизонтальной оси. Радиус цилиндра $R$, длина $L$. Боковую поверхность цилиндра и прикрепили к ней тяжелый однородный стержень массы $m$, как показано на рисунке. Найдите период малых колебаний цилиндра вокруг положения равновесия. Магнитная проницаемость вакуума $\mu_{0}$ и ускорение свободного падения $g$ известны. Излучением пренебречь.
Решение:
Если бы цилиндр был незаряжен, его период колебаний определялся бы формулой математического маятника и был бы равен $2 \pi \sqrt{R/g}$.
Связанный заряд на поверхности приводит к тому, что при вращении цилиндра вокруг оси вместе с его поверхностью движутся заряды. Этому соответствует ток, который аналогичен переменному току в соленоиде.
Разобъем цилиндр на $N$ узких колец (шириной $X = L/N$). Если в данный момент поверхность цилиндра в результате колебаний имеет скорость $V$, то соответствующий ток в одном узком колечке будет $I = \sigma XV$.
Все колечки вместе создадут внутри цилиндра однородное магнитное поле напряженностью $H = NI/L$ - такое же, как внутри прямого соленоида с током $I$, длина которого $L$ значительно больше диаметра витков. Индукция этого поля
$B = \mu_{0}H = \mu_{0} NI/L = \mu_{0} N \sigma XV/L = \mu_{0} \sigma V$.
Величина $V$ будет периодически меняться в процессе колебаний. Значит и поток магнитного поля $\Phi = \pi R^{2}B$ через каждое колечко будет меняться, т.е. в нем возникнет ЭДС индукции.
Пусть ускорение поверхности цилиндра в данный момент равно $a$. Тогда для ЭДС справедливо
$| \mathcal{E} | = \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} = \mu_{0} \pi R^{2} \sigma a$.
Это означает, что в колечке длиной $2 \pi R$ возникает поле напряженностью $E$, такое, что
$\epsilon = 2 \pi RE \Rightarrow E = \frac{ \epsilon}{2 \pi R} = \frac{ \mu_{0}R \sigma a }{2}$.
Это поле действует на кольцо с силой $qE$, где $q$ - заряд одного кольца, при этом по правилу Ленца сила эта будет мешать кольцу разгоняться и тормозить. Иными словами, действовать эта сила будет также как сила инерции. Суммируя эти силы по всем колечкам, получим вклад $QE$, где $Q = 2 \pi R \sigma L$ - полный заряд цилиндра. Итак, зарядив цилиндр мы приобрели силу $\mu_{0} \sigma^{2} \pi R^{2} La \equiv \gamma a$, направленную против ускорения вращения. Здесь
$\gamma = \mu_{0} \sigma^{2} \pi R^{2} L$ (1)
Обычные колебания незаряженного цилиндра (под действием лишь силы тяжести) имели бы период $T = 2 \pi \sqrt{R/g}$. Выражение под корнем удобно записать в виде $(mR)/(mg)$. Числитель здесь отражает инерциальные свойства маятника, а знаменатель - гравитационный вклад массы, силу тяжести. Инерциальная и гравитационная массы совпадают, поэтому параметр массы сокращается из выражения для периода колебаний математического маятника. Это можно записать и иначе - в виде второго закона Ньютона для маятника длиной $R$, отклоненного на $x$ от положения равновесия:
$ma = - \frac{mgx}{R} \Rightarrow ma = -kx, k \equiv \frac{mg}{R}$,
здесь подразумевается проектирование сил на направление движения маятника. Коэффициент $k$ позволяет увидеть аналогию между движением математического и пружинного маятника и понять, что период колебаний пружинного маятника $T = 2 \pi \sqrt{ m/k}$ - более общий случай, который при $k = mg/R$ превращается в выражение для математического.
Зарядив цилиндр, мы превращаем уравнение движения $ma = - kx$ в $ma = -kx - \gamma a$, что эквивалентно замене инерционной массы цилиндра на $m + \gamma$. Это дает период колебаний
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m + \gamma}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{m + \gamma}{mg/R} }$,
где $\gamma$ вычислено в (1).
Ответ: Период будет равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g} + \frac{ \mu_{0} \sigma^{2} \pi R^{3} L }{mg} }$.
