Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10187
2019-02-20 
Собирающая тонкая линза с фокусным расстоянием $F$ имела форму круга радиуса $R$. От нее аккуратно откололи сегмент шириной $R/2$ (серый на верхнем рис.) и установили оставшуюся часть линзы на зеркальном полу (см. нижний рис., плоскость линзы вертикальна, линза изображена с ребра). Постройте все изображения точечного предмета $X$, находящегося на главной оптической оси линзы на расстоянии $a = 3F/2$ от ее оптического центра.
Василий захотел, чтобы ровно одно из изображений предмета $X$ пропало. Для этого он закрасил черной краской область пола с координатами $Z > Z_{0}$ (см. ось $Z$ на рис.). При каком максимальном значении $Z_{0}$ это возможно?
Дополнительный вопрос. Василий догадался, как сэкономить краску и нарисовать наименьшую по площади фигуру, чтобы добиться исчезновения того же самого изображения. Как выглядит сверху фигура, которую придумал рисовать на полу Василий?
Решение:
У предмета $X$ будет четыре изображения. Изображение А получается при отражении лучей от предмета в зеркальном полу; изображение В - при преломлении лучей от предмета в линзе; изображение С - когда лучи сначала отражаются от зеркала (т.е. словно выходят из изображения А) и затем проходят линзу. Изображение D получается, когда лучи проходят линзу (и вместе с этим точку В), а затем отражаются в зеркале. Все изображения представлены на рис. Расположение изображения В легко определяется по формуле линзы.
Других изображений в системе нет.
Если мы хотим, чтобы исчезло ровно ОДНО изображение, мы должны уничтожить изображение D. Легко проверить, что добиваясь окрашиванием пола правее точки $Z_{0}$ исчезновения других изображений, мы одновременно уничтожим и изображение D. Значит, следует закрасить такую часть пола, чтобы лучи, прошедшие линзу, нс отразились от него.
Нарисуем вес лучи, прошедшие от предмета X через линзу (см. рис.). Вес они пройдут через точку В. Из рисунка видно, что лучи падают на пол нс ближе, чем точка К, в которую попадает луч, прошедший через верхний край линзы S. Значит, закрасить надо пол правее точки К, т.е. $Z$-координата точки К и определяет искомый параметр $Z_{0}$.
Найдем $|MK|$ - расстояние от точки К до центра линзы. Из подобия треугольников SOB и SMK:
$|MK| = |OB| \cdot |SM|/|SO| = 3|OB|/2$.
Осталось лишь найти расстояние $|OB|$ по формуле тонкой линзы. $|OB|$ - это расположение относительно линзы изображения В:
$\frac{1}{|OB|} + \frac{1}{a} = \frac{1}{F} \Rightarrow |OB| = \frac{aF}{a - F} = 3F$.
Итак, Василию надо закрасить полосу правее точки К, находящейся на расстоянии $|MK|= 3|OB|/2 = 9F/2$ правее центра линзы (см. рис.).
Разберемся с дополнительным вопросом - найдем форму светового пятна на полу от лучей, прошедших от предмета через края линзы, а затем через точку В. Очевидно, если закрасить краской вес это пятно, эти лучи нс отразятся от зеркала и изображение D пропадет.
Лучи, идущие в В от краев линзы попадут на пол только если идут с верхней, несломаной части линзы. Из точки В эти лучи расходятся конусом. Значит, форма пятна соответствует сечению, которое пол "срезает" с этого конуса (см. рис.).
Чтобы определить форму конического сечения, рассмотрим произвольную точку V поверхности конуса. Угол при вершине конуса обозначим $\alpha$; несложно посчитать, что
$tg \alpha = |OS|/|OB| = R/(3F)$.
Координаты точки V легко выражаются через радиус $r$ окружности, на которой точка лежит на конусе и угол $\delta$ (характеризующий отклонение точки V от вертикали):
$x_{V} = r \cos \delta, y_{V} = r \sin \delta, z_{V} = r ctg \alpha$.
Нас интересуют только точки V конуса, которые лежат в плоскости пола, то есть те, у которых координата $x_{V}$ равна $R/2$. Из системы трех уравнений
$R/2 = r \cos \delta, y = r \sin \delta, z = r ctg \alpha$.
можно узнать, как связаны $y$ и $z$. Для этого исключим из системы параметры $r$ и $\delta$. Получим
$z^{2} tg^{2} \alpha - y^{2} = (R/2)^{2}$.
Можно заметить, что связь $z$ и $y$ такая, что они лежат на гиперболе (параметр гиперболы $tg \alpha$ мы определили выше).
Ответ: Имеются четыре изображения А, В, С, D, построенные на рис. Василию следует закрасить весь пол правее точки К с координатой $Z_{0} = 9F/2$ (см. рис.).
Чтобы сэкономить краску, Василию придется закрасить внутренность гиперболы, представляющей график функции $y(z)$, задаваемой уравнением $R^{2}z^{2}/(9F^{2}) - y^{2} = (R/2)^{2}$.
Собирающая тонкая линза с фокусным расстоянием $F$ имела форму круга радиуса $R$. От нее аккуратно откололи сегмент шириной $R/2$ (серый на верхнем рис.) и установили оставшуюся часть линзы на зеркальном полу (см. нижний рис., плоскость линзы вертикальна, линза изображена с ребра). Постройте все изображения точечного предмета $X$, находящегося на главной оптической оси линзы на расстоянии $a = 3F/2$ от ее оптического центра.
Василий захотел, чтобы ровно одно из изображений предмета $X$ пропало. Для этого он закрасил черной краской область пола с координатами $Z > Z_{0}$ (см. ось $Z$ на рис.). При каком максимальном значении $Z_{0}$ это возможно?
Дополнительный вопрос. Василий догадался, как сэкономить краску и нарисовать наименьшую по площади фигуру, чтобы добиться исчезновения того же самого изображения. Как выглядит сверху фигура, которую придумал рисовать на полу Василий?
Решение:
У предмета $X$ будет четыре изображения. Изображение А получается при отражении лучей от предмета в зеркальном полу; изображение В - при преломлении лучей от предмета в линзе; изображение С - когда лучи сначала отражаются от зеркала (т.е. словно выходят из изображения А) и затем проходят линзу. Изображение D получается, когда лучи проходят линзу (и вместе с этим точку В), а затем отражаются в зеркале. Все изображения представлены на рис. Расположение изображения В легко определяется по формуле линзы.
Других изображений в системе нет.
Если мы хотим, чтобы исчезло ровно ОДНО изображение, мы должны уничтожить изображение D. Легко проверить, что добиваясь окрашиванием пола правее точки $Z_{0}$ исчезновения других изображений, мы одновременно уничтожим и изображение D. Значит, следует закрасить такую часть пола, чтобы лучи, прошедшие линзу, нс отразились от него.
Нарисуем вес лучи, прошедшие от предмета X через линзу (см. рис.). Вес они пройдут через точку В. Из рисунка видно, что лучи падают на пол нс ближе, чем точка К, в которую попадает луч, прошедший через верхний край линзы S. Значит, закрасить надо пол правее точки К, т.е. $Z$-координата точки К и определяет искомый параметр $Z_{0}$.
Найдем $|MK|$ - расстояние от точки К до центра линзы. Из подобия треугольников SOB и SMK:
$|MK| = |OB| \cdot |SM|/|SO| = 3|OB|/2$.
Осталось лишь найти расстояние $|OB|$ по формуле тонкой линзы. $|OB|$ - это расположение относительно линзы изображения В:
$\frac{1}{|OB|} + \frac{1}{a} = \frac{1}{F} \Rightarrow |OB| = \frac{aF}{a - F} = 3F$.
Итак, Василию надо закрасить полосу правее точки К, находящейся на расстоянии $|MK|= 3|OB|/2 = 9F/2$ правее центра линзы (см. рис.).
Разберемся с дополнительным вопросом - найдем форму светового пятна на полу от лучей, прошедших от предмета через края линзы, а затем через точку В. Очевидно, если закрасить краской вес это пятно, эти лучи нс отразятся от зеркала и изображение D пропадет.
Лучи, идущие в В от краев линзы попадут на пол только если идут с верхней, несломаной части линзы. Из точки В эти лучи расходятся конусом. Значит, форма пятна соответствует сечению, которое пол "срезает" с этого конуса (см. рис.).
Чтобы определить форму конического сечения, рассмотрим произвольную точку V поверхности конуса. Угол при вершине конуса обозначим $\alpha$; несложно посчитать, что
$tg \alpha = |OS|/|OB| = R/(3F)$.
Координаты точки V легко выражаются через радиус $r$ окружности, на которой точка лежит на конусе и угол $\delta$ (характеризующий отклонение точки V от вертикали):
$x_{V} = r \cos \delta, y_{V} = r \sin \delta, z_{V} = r ctg \alpha$.
Нас интересуют только точки V конуса, которые лежат в плоскости пола, то есть те, у которых координата $x_{V}$ равна $R/2$. Из системы трех уравнений
$R/2 = r \cos \delta, y = r \sin \delta, z = r ctg \alpha$.
можно узнать, как связаны $y$ и $z$. Для этого исключим из системы параметры $r$ и $\delta$. Получим
$z^{2} tg^{2} \alpha - y^{2} = (R/2)^{2}$.
Можно заметить, что связь $z$ и $y$ такая, что они лежат на гиперболе (параметр гиперболы $tg \alpha$ мы определили выше).
Ответ: Имеются четыре изображения А, В, С, D, построенные на рис. Василию следует закрасить весь пол правее точки К с координатой $Z_{0} = 9F/2$ (см. рис.).
Чтобы сэкономить краску, Василию придется закрасить внутренность гиперболы, представляющей график функции $y(z)$, задаваемой уравнением $R^{2}z^{2}/(9F^{2}) - y^{2} = (R/2)^{2}$.
