Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10186
2019-02-20 
На рисунке представлен цикл 1-2-3-1, в котором участвует идеальный одноатомный газ. В процессе 2-3 газ не обменивался теплом с окружающей средой, в процессе 3-1 не менялось давление. Линии, изображающие процессы 1-2 и 2-3 симметричны относительно вертикальной линии. Давление $p_{0}$, объем $V_{0}$, а также параметры $\alpha$ и $\beta$ известны. Определите КПД тепловой машины, работающей по такому циклу.
Решение:
Теплота, передаваемая газу в процессе $ij$ идет на увеличение внутренней энергии газа и на совершение газом работы, $Q_{ij} = \Delta U_{ij} + A_{ij}$. Работа, совершаемая газом в процессе численно равна площади под кривой, изображающей данный процесс в координатах $p(V)$.
На рисунке стрелками изображено, передается теплота на разных участках цикла: передается к газу или отдается газом в окружающую среду. Теплота поглощается газом в процессе 1-2 и выделяется в процессе 3-1. Работа газа во всех трех процессах ненулевая: в процессах 1-2 и 2-3 положительная, в процессах 3-1 отрицательная. Переданная суммарно газу теплота $Q_{12} - Q_{31}$ позволяет газу за цикл совершить суммарно работу $A_{12} + A_{23} - | A_{31}|$.
По определению КПД цикла - это отношение работы, совершенной тепловой машиной за цикл (т.е. $A_{12} + A_{23} - |A_{31}|$, или, что тоже самое, $Q_{12} - Q_{31}$) к теплоте, которая была поглощена газом за цикл, причем учитывать следует только те участки цикла, где теплота передавалась от внешней среды к газу (т.е. в нашем случае $Q_{12}$).
Заметим, что температуру газа в точках 1, 2 и 3 легко найти из уравнения Клайперона - Менделеева, написанного для каждой из этих точек:
$T_{1} = \frac{1 - \alpha}{ \nu R} p_{0} V_{0}, T_{2} = \frac{ \beta}{ \nu R} p_{0}V_{0}, T_{3} = \frac{1+ \alpha}{ \nu R}p_{0} V_{0}$,
где $\nu$ - количество вещества газа.
В процессе 2-3 по условию газ был теплоизолирован. Это означает, что работа газа $A_{23}$ в этом процессе, равная численно заштрихованной площади на рисунке, совершается за счет того, что внутренняя энергия газа уменьшается, а газ охлаждается. Так как внутренняя энергия газа зависит только от температуры, $U = 3 \nu RT/2$, в процессе 2-3 внутренняя энергия уменьшится на $| \Delta U_{23}| = 3 \nu R| T_{3} - T_{2}|/2$, поэтому газ совершит работу
$A_{23} = \frac{3 \nu R(T_{2} - T_{3})}{2} = \frac{3( \beta - \alpha - 1)}{2} p_{0}V_{0}$.
В процессе 1-2 газ совершает точно такую же работу, ведь кривые 1-2 и 2-3 симметричны, $A_{12} = A_{23}$. Значит, теплота
$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{3 \nu R(T_{2} - T_{1} )}{2} + A_{23} = \frac{3( \beta + \alpha - 1)}{2} p_{0} V_{0} + \frac{3( \beta - \alpha - 1)}{2} p_{0} V_{0} = 3( \beta - 1) p_{0} V_{0}$.
Оставшийся процесс 3-1 является изобарическим; выделяющаяся здесь во внешнюю среду теплота связана с теплоемкостью $C_{p} = 5 \nu R/2$ соотношением $Q_{31} = C_{p} (T_{3} - T_{1})$. Отсюда, подставляя температуры,
$Q_{31} = 5 \alpha p_{0}V_{0}$.
Осталось лишь подставить вычисленные теплоты в выражение для КПД:
$КПД = \frac{Q_{12} - Q_{31}}{Q_{12}} \cdot 100$%
Ответ: $КПД = 100 \left ( 1 - \frac{5 \alpha}{3( \beta - 1)} \right )$.
На рисунке представлен цикл 1-2-3-1, в котором участвует идеальный одноатомный газ. В процессе 2-3 газ не обменивался теплом с окружающей средой, в процессе 3-1 не менялось давление. Линии, изображающие процессы 1-2 и 2-3 симметричны относительно вертикальной линии. Давление $p_{0}$, объем $V_{0}$, а также параметры $\alpha$ и $\beta$ известны. Определите КПД тепловой машины, работающей по такому циклу.
Решение:
Теплота, передаваемая газу в процессе $ij$ идет на увеличение внутренней энергии газа и на совершение газом работы, $Q_{ij} = \Delta U_{ij} + A_{ij}$. Работа, совершаемая газом в процессе численно равна площади под кривой, изображающей данный процесс в координатах $p(V)$.
На рисунке стрелками изображено, передается теплота на разных участках цикла: передается к газу или отдается газом в окружающую среду. Теплота поглощается газом в процессе 1-2 и выделяется в процессе 3-1. Работа газа во всех трех процессах ненулевая: в процессах 1-2 и 2-3 положительная, в процессах 3-1 отрицательная. Переданная суммарно газу теплота $Q_{12} - Q_{31}$ позволяет газу за цикл совершить суммарно работу $A_{12} + A_{23} - | A_{31}|$.
По определению КПД цикла - это отношение работы, совершенной тепловой машиной за цикл (т.е. $A_{12} + A_{23} - |A_{31}|$, или, что тоже самое, $Q_{12} - Q_{31}$) к теплоте, которая была поглощена газом за цикл, причем учитывать следует только те участки цикла, где теплота передавалась от внешней среды к газу (т.е. в нашем случае $Q_{12}$).
Заметим, что температуру газа в точках 1, 2 и 3 легко найти из уравнения Клайперона - Менделеева, написанного для каждой из этих точек:
$T_{1} = \frac{1 - \alpha}{ \nu R} p_{0} V_{0}, T_{2} = \frac{ \beta}{ \nu R} p_{0}V_{0}, T_{3} = \frac{1+ \alpha}{ \nu R}p_{0} V_{0}$,
где $\nu$ - количество вещества газа.
В процессе 2-3 по условию газ был теплоизолирован. Это означает, что работа газа $A_{23}$ в этом процессе, равная численно заштрихованной площади на рисунке, совершается за счет того, что внутренняя энергия газа уменьшается, а газ охлаждается. Так как внутренняя энергия газа зависит только от температуры, $U = 3 \nu RT/2$, в процессе 2-3 внутренняя энергия уменьшится на $| \Delta U_{23}| = 3 \nu R| T_{3} - T_{2}|/2$, поэтому газ совершит работу
$A_{23} = \frac{3 \nu R(T_{2} - T_{3})}{2} = \frac{3( \beta - \alpha - 1)}{2} p_{0}V_{0}$.
В процессе 1-2 газ совершает точно такую же работу, ведь кривые 1-2 и 2-3 симметричны, $A_{12} = A_{23}$. Значит, теплота
$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{3 \nu R(T_{2} - T_{1} )}{2} + A_{23} = \frac{3( \beta + \alpha - 1)}{2} p_{0} V_{0} + \frac{3( \beta - \alpha - 1)}{2} p_{0} V_{0} = 3( \beta - 1) p_{0} V_{0}$.
Оставшийся процесс 3-1 является изобарическим; выделяющаяся здесь во внешнюю среду теплота связана с теплоемкостью $C_{p} = 5 \nu R/2$ соотношением $Q_{31} = C_{p} (T_{3} - T_{1})$. Отсюда, подставляя температуры,
$Q_{31} = 5 \alpha p_{0}V_{0}$.
Осталось лишь подставить вычисленные теплоты в выражение для КПД:
$КПД = \frac{Q_{12} - Q_{31}}{Q_{12}} \cdot 100$%
Ответ: $КПД = 100 \left ( 1 - \frac{5 \alpha}{3( \beta - 1)} \right )$.
