Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10185
2019-02-20 
На наклонную плоскость, образующую угол а с горизонтом, поместили куб и тонкостенный цилиндр. Коэффициент трения между кубом и плоскостью равен $\mu$; коэффициент трения между цилиндром и плоскостью такой же. Ось цилиндра горизонтальна. Найдите ускорения, с которыми будут съезжать вниз куб и цилиндр и постройте графики зависимостей этих ускорений от $\mu$. При каких $\mu$ какая из фигур выиграет "гонку", если пустить тела по наклонной плоскости наперегонки (без начальной скорости)? Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Проще всего найти ускорение куба. На наклонной плоскости на него действует сила тяжести $mg$, сила реакции опоры $N$ и сила, трения $F_{тр} \leq \mu N$. Перпендикулярно плоскости силы скомпенсированы, $N = mg \cos \alpha$. Если куб скользит вниз, сила трения достигает предельного значения $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha$. Проектируя все сины на направление движения, по второму закону Ньютона получаем
$ma_{куба} = mg \sin \alpha - F_{тр}, a_{куба} = g( \sin \alpha - \mu \cos \alpha), \mu \leq tg \alpha$.
Последнее неравенство означает, что ускорение куба всегда положительно. Если же это условие не выполняется, равенство $F_{тр} = \mu N$ превращается в неравенство $F_{тр} < \mu N$ (сила трения покоя), при этом куб покоится.
Ситуация с цилиндром чуть хитрее, ведь он будет скатываться с наклонной плоскости всегда. Однако, возможны два случая: качения с проскальзыванием и без.
Предположим, цилиндр катится без проскальзывания. Силы, действующие на цилиндр изображены на рисунке. Второй закон Ньютона в проекции на направления движения снова дает
$ma_{цил} = mg \sin \alpha - F_{тр}, F_{тр} < \mu mg \cos \alpha$. (1)
Последнее неравенство означает, что проскальзывания между нижней точкой цилиндра и плоскостью нет.
Можно представить себе, что цилиндр одновременно участвует во вращательном движении (раскручивается вокруг своей оси по часовой стрелке) и поступательном спуске центра масс. При этом отсутствие проскальзывания означает, что цилиндр раскручивается вокруг своей оси с тем же ускорением, что и разгоняется поступательно. Запишем это условие.
Раскручивает цилиндр сила трения, поэтому ускорение точки обода относительно оси равна $a_{кручения} = F_{тр}/m$. Приавнивая это к $a_{цил}$, получим
$\frac{mg \sin \alpha - F_{тр}}{m} = \frac{F_{тр}}{m} \Rightarrow F_{тр} = \frac{mg \sin \alpha}{2}$.
Из (1) тогда $a_{цил} = g \sin \alpha/2$, а неравенство в (1) выполиено, если $\mu > tg \alpha/2$ - только в этом случае цилиндр скатывается без проскальзывания.
Если же качение осуществляется с проскальзыванием, в формулу (1) следует подставить предельное значение силы трения - силу трения скольжения gmg cos a, что дает ответ, совпадающий с ускорением куба.
Осталось лишь свести результаты для ускорений фигур в виде граифков и заметить, что при $\mu < tg \alpha/2$ тела двигаются с одинаковым ускорением, при $tg \alpha/2 < \mu < tg \alpha$ цилиндр выигрывает, при $\mu > tg \alpha$ куб вообще не едет, значит, снова выиграет цилиндр.
Ответ: Зависимости ускорений тел от коэффициента трения представлены на графике, см. рис., черный - куб, серый - цилиндр. При малых ($\mu < tg \alpha /2$) коэффициентах трения будет ничья. При бОльших - выиграет цилиндр.
На наклонную плоскость, образующую угол а с горизонтом, поместили куб и тонкостенный цилиндр. Коэффициент трения между кубом и плоскостью равен $\mu$; коэффициент трения между цилиндром и плоскостью такой же. Ось цилиндра горизонтальна. Найдите ускорения, с которыми будут съезжать вниз куб и цилиндр и постройте графики зависимостей этих ускорений от $\mu$. При каких $\mu$ какая из фигур выиграет "гонку", если пустить тела по наклонной плоскости наперегонки (без начальной скорости)? Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Проще всего найти ускорение куба. На наклонной плоскости на него действует сила тяжести $mg$, сила реакции опоры $N$ и сила, трения $F_{тр} \leq \mu N$. Перпендикулярно плоскости силы скомпенсированы, $N = mg \cos \alpha$. Если куб скользит вниз, сила трения достигает предельного значения $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha$. Проектируя все сины на направление движения, по второму закону Ньютона получаем
$ma_{куба} = mg \sin \alpha - F_{тр}, a_{куба} = g( \sin \alpha - \mu \cos \alpha), \mu \leq tg \alpha$.
Последнее неравенство означает, что ускорение куба всегда положительно. Если же это условие не выполняется, равенство $F_{тр} = \mu N$ превращается в неравенство $F_{тр} < \mu N$ (сила трения покоя), при этом куб покоится.
Ситуация с цилиндром чуть хитрее, ведь он будет скатываться с наклонной плоскости всегда. Однако, возможны два случая: качения с проскальзыванием и без.
Предположим, цилиндр катится без проскальзывания. Силы, действующие на цилиндр изображены на рисунке. Второй закон Ньютона в проекции на направления движения снова дает
$ma_{цил} = mg \sin \alpha - F_{тр}, F_{тр} < \mu mg \cos \alpha$. (1)
Последнее неравенство означает, что проскальзывания между нижней точкой цилиндра и плоскостью нет.
Можно представить себе, что цилиндр одновременно участвует во вращательном движении (раскручивается вокруг своей оси по часовой стрелке) и поступательном спуске центра масс. При этом отсутствие проскальзывания означает, что цилиндр раскручивается вокруг своей оси с тем же ускорением, что и разгоняется поступательно. Запишем это условие.
Раскручивает цилиндр сила трения, поэтому ускорение точки обода относительно оси равна $a_{кручения} = F_{тр}/m$. Приавнивая это к $a_{цил}$, получим
$\frac{mg \sin \alpha - F_{тр}}{m} = \frac{F_{тр}}{m} \Rightarrow F_{тр} = \frac{mg \sin \alpha}{2}$.
Из (1) тогда $a_{цил} = g \sin \alpha/2$, а неравенство в (1) выполиено, если $\mu > tg \alpha/2$ - только в этом случае цилиндр скатывается без проскальзывания.
Если же качение осуществляется с проскальзыванием, в формулу (1) следует подставить предельное значение силы трения - силу трения скольжения gmg cos a, что дает ответ, совпадающий с ускорением куба.
Осталось лишь свести результаты для ускорений фигур в виде граифков и заметить, что при $\mu < tg \alpha/2$ тела двигаются с одинаковым ускорением, при $tg \alpha/2 < \mu < tg \alpha$ цилиндр выигрывает, при $\mu > tg \alpha$ куб вообще не едет, значит, снова выиграет цилиндр.
Ответ: Зависимости ускорений тел от коэффициента трения представлены на графике, см. рис., черный - куб, серый - цилиндр. При малых ($\mu < tg \alpha /2$) коэффициентах трения будет ничья. При бОльших - выиграет цилиндр.
