Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10184
2019-02-20 
В промежутке между двумя вертикальными стенами закреплен непроводящий горизонтальный стержень AB. По стрежню без трения может ездить блок C, соединенный с точкой A пружиной жесткости $k$; в точке B имеется неподвижный блок. На блоки надета петля из невесомой нерастяжимой токопроводящей нити длиной $2l$, при этом пружина была нерастянута, а петля не провисала (см. рис.). На нижнюю часть петли надели проводящее колечко K, которое может свободно скользить по нити. К колечку прикрепили груз массой $m$; между блоком B и колечком подали напряжение $U$. Определите зависимость силы тока в цепи от массы груза $m$. Погонное сопротивление нити равно $\rho$, ускорение свободного падения $g$. Блоки проводящие, их размерами и сопротивлением можно пренебречь.
Решение:
Для начала определим, насколько сместится вправо блок C, если к кольцу K прикрепить груз массой $m$. Обозначим его смещение через Ах. Поскольку кольцо может свободно скользить по нити, ясно, что петля примет форму, указанную на рис. На этом рисунке обозначены все силы, действующие на блок С, кольцо K и груз $m$. Используя рисунок, легко можно выписать следующие соотношения:
$T^{ \prime} = mg, 2T \cos \alpha = T^{ \prime}, F_{упр} = k \Delta x = T + T \sin \alpha$.
Из этих уравнений получаем
$k \Delta x = \frac{mg}{2 \cos \alpha} (1 + \sin \alpha)$. (1)
Рассмотрим теперь внимательнее нить. Так как размеры блоков пренебрежимо малы, можно считать, что нить имеет форму равнобедренного треугольника, все размеры которого указаны на рис. Отсюда сразу получаем
$\sin \alpha = \frac{l - \Delta x}{l+ \Delta x}, \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^{2} \alpha } = \frac{ \sqrt{4l \Delta x} }{l + \Delta x}$. (2)
Подстановка (2) в (1) дает
$k \Delta x = \frac{mg(l + \Delta x)}{2 \sqrt{4l \Delta x} } \left ( 1 + \frac{l - \Delta x}{l + \Delta x} \right ) = \frac{mg}{2} \sqrt{ \frac{l}{ \Delta x} }$
Окончательно находим:
$\Delta x = \sqrt[3]{ \frac{m^{2}g^{2}l }{4k^{2} } }$. (3)
Определим теперь сопротивление схемы. Из рис. видно, что участки петли BCK и BK подключены к клеммам источника параллельно, а значит, полное сопротивление равно $R = R_{BCK}R_{BK}/(R_{BCK} + R_{BK})$. Длина участка BCK равна $L_{BCK} = l - \Delta x + (l + \Delta x)/2 = 3l/2 - \Delta x/2$ (см. рис.), следовательно, сопротивление этого участка равно $R_{BCK} = \rho L_{BCK} = \rho (3l/2 - \Delta x/2)$. Длина участка BK равна $L_{BK} = l/2 + \Delta x/2$, его сопротивление - $R_{BK} = \rho L_{BK} = \rho (l/2 + \Delta x/2)$. Таки образом, общее сопротивление между клеммами равно
$R( \Delta x) = \frac{ \rho (3l - \Delta x))(l + \Delta x) }{8l}$, (4)
где $\Delta x$ выражением (3). Естественно, что эта формула справедлива только до тех пор, пока блоки B и С не совместились на стрежне (петля при этом ориентирована "вертикально"). Это происходит тогда, когда $\Delta x = l$. Отсюда получаем выражение для предельной массы
$\Delta x = l \Leftrightarrow \sqrt[3]{ \frac{m_{0}^{2}g^{2}l }{4k^{2} } } = l \Leftrightarrow m_{0} = \frac{2kl}{g}$.
Окончательно, сопротивление схемы дается выражением (4), если $m \leq m_{0} = 2kl/g$, и равно $R(l) = \rho l/2$ - в противном случае.
Найдем теперь зависимость силы тока в цепи от массы груза, прикрепленного к кольцу K. Согласно закону Ома для участка цепи, $I = U/R$. Следовательно, для силы тока имеем
$I = \frac{8Ul}{ \rho (3l - \Delta x)(l + \Delta x) }$, если $m \leq 2kl/g$
$I = \frac{2U}{ \rho l}$, иначе. (5)
Ответ: Если масса груза удовлетворяет условию $m \leq 2kl/g$, сила тока дается выражением $I = 8Ul/ \rho (3l - \Delta x)(l + \Delta x)$, где $\Delta x = \sqrt[3]{m^{2}g^{2}l/4k^{2}}$. Если масса груза $m > 2kl/g$, то сила тока равна $2U/ \rho l$.
В промежутке между двумя вертикальными стенами закреплен непроводящий горизонтальный стержень AB. По стрежню без трения может ездить блок C, соединенный с точкой A пружиной жесткости $k$; в точке B имеется неподвижный блок. На блоки надета петля из невесомой нерастяжимой токопроводящей нити длиной $2l$, при этом пружина была нерастянута, а петля не провисала (см. рис.). На нижнюю часть петли надели проводящее колечко K, которое может свободно скользить по нити. К колечку прикрепили груз массой $m$; между блоком B и колечком подали напряжение $U$. Определите зависимость силы тока в цепи от массы груза $m$. Погонное сопротивление нити равно $\rho$, ускорение свободного падения $g$. Блоки проводящие, их размерами и сопротивлением можно пренебречь.
Решение:
Для начала определим, насколько сместится вправо блок C, если к кольцу K прикрепить груз массой $m$. Обозначим его смещение через Ах. Поскольку кольцо может свободно скользить по нити, ясно, что петля примет форму, указанную на рис. На этом рисунке обозначены все силы, действующие на блок С, кольцо K и груз $m$. Используя рисунок, легко можно выписать следующие соотношения:
$T^{ \prime} = mg, 2T \cos \alpha = T^{ \prime}, F_{упр} = k \Delta x = T + T \sin \alpha$.
Из этих уравнений получаем
$k \Delta x = \frac{mg}{2 \cos \alpha} (1 + \sin \alpha)$. (1)
Рассмотрим теперь внимательнее нить. Так как размеры блоков пренебрежимо малы, можно считать, что нить имеет форму равнобедренного треугольника, все размеры которого указаны на рис. Отсюда сразу получаем
$\sin \alpha = \frac{l - \Delta x}{l+ \Delta x}, \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^{2} \alpha } = \frac{ \sqrt{4l \Delta x} }{l + \Delta x}$. (2)
Подстановка (2) в (1) дает
$k \Delta x = \frac{mg(l + \Delta x)}{2 \sqrt{4l \Delta x} } \left ( 1 + \frac{l - \Delta x}{l + \Delta x} \right ) = \frac{mg}{2} \sqrt{ \frac{l}{ \Delta x} }$
Окончательно находим:
$\Delta x = \sqrt[3]{ \frac{m^{2}g^{2}l }{4k^{2} } }$. (3)
Определим теперь сопротивление схемы. Из рис. видно, что участки петли BCK и BK подключены к клеммам источника параллельно, а значит, полное сопротивление равно $R = R_{BCK}R_{BK}/(R_{BCK} + R_{BK})$. Длина участка BCK равна $L_{BCK} = l - \Delta x + (l + \Delta x)/2 = 3l/2 - \Delta x/2$ (см. рис.), следовательно, сопротивление этого участка равно $R_{BCK} = \rho L_{BCK} = \rho (3l/2 - \Delta x/2)$. Длина участка BK равна $L_{BK} = l/2 + \Delta x/2$, его сопротивление - $R_{BK} = \rho L_{BK} = \rho (l/2 + \Delta x/2)$. Таки образом, общее сопротивление между клеммами равно
$R( \Delta x) = \frac{ \rho (3l - \Delta x))(l + \Delta x) }{8l}$, (4)
где $\Delta x$ выражением (3). Естественно, что эта формула справедлива только до тех пор, пока блоки B и С не совместились на стрежне (петля при этом ориентирована "вертикально"). Это происходит тогда, когда $\Delta x = l$. Отсюда получаем выражение для предельной массы
$\Delta x = l \Leftrightarrow \sqrt[3]{ \frac{m_{0}^{2}g^{2}l }{4k^{2} } } = l \Leftrightarrow m_{0} = \frac{2kl}{g}$.
Окончательно, сопротивление схемы дается выражением (4), если $m \leq m_{0} = 2kl/g$, и равно $R(l) = \rho l/2$ - в противном случае.
Найдем теперь зависимость силы тока в цепи от массы груза, прикрепленного к кольцу K. Согласно закону Ома для участка цепи, $I = U/R$. Следовательно, для силы тока имеем
$I = \frac{8Ul}{ \rho (3l - \Delta x)(l + \Delta x) }$, если $m \leq 2kl/g$
$I = \frac{2U}{ \rho l}$, иначе. (5)
Ответ: Если масса груза удовлетворяет условию $m \leq 2kl/g$, сила тока дается выражением $I = 8Ul/ \rho (3l - \Delta x)(l + \Delta x)$, где $\Delta x = \sqrt[3]{m^{2}g^{2}l/4k^{2}}$. Если масса груза $m > 2kl/g$, то сила тока равна $2U/ \rho l$.
