Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10182
2019-02-20 
Горизонтальная поверхность равномерно и густо покрыта одинаковыми липкими ворсинками. Ворсинки могут упруго растягиваться как идеальные пружинки с пренебрежимо малой начальной длиной. Каждая ворсинка при контакте с некоторым телом прилипает к нему верхним концом, а отлипает только растянувшись на величину $\Delta$. Лёша взял прямоугольный параллелепипед массой $M$ с рёбрами $a, b, c$ (причем $a, b, c > \Delta$) и вертикально опустил его на поверхность так, чтобы тот стоял на грани со сторонами $a$ и $c$ (положение 1 на рис.). Затем он перекантовал параллепипед на грань со сторонами $b$ и $c$ (в положение 2). Минимальная энергия, требуемая, чтобы перекантовать параллепипед обратно из 2 в 1, равна $E$. Какую минимальную энергию необходимо затратить Лёше для того, чтобы после первого переворота параллелепипеда перекантовать его дальше, из положения 2 в положение 3 (на вторую грань со сторонами $a$ и $c$)?
Решение:
Для начала рассмотрим самый первый переворот - с грани $ac$ на грань $bc$ (из положения 1 в положение 2, см. рис.). Поскольку $a > \Delta$, то какая-то доля ворсинок, налипших на грань $ac$, порвётся, а какая-то останется прилипшей. Определим, какая часть грани занята непорвавшимися ворсинками.
Из геометрических соображений ясно, что все эти ворсинки вместе с гранью $ac$ и горизонтальной поверхностью образуют подобные прямоугольные равнобедренные треугольники. Сами ворсинки будут их гипотенузами. Длина этих гипотенуз не превосходит $\Delta$, соответственно длина катетов не превосходит $\Delta/ \sqrt{2}$.Тогда на грани $ac$ неотлипшие ворсинки занимают прямоугольник со сторонами $c$ и $\Delta / \sqrt{2}$, примыкающий к нижнему ребру параллелепипеда.
Эти неотлипшие ворсинки обладают некоторой потенциальной энергией. Назовем ее $W$.
Далее для удобства изложения мы введём жесткость ворсинки $k$ (поскольку в непорванном состоянии ворсинка эквивалентна гуковской пружине нулевой начальной длины) и концентрацию ворсинок на поверхности $n [шт/м^{2}]$.
Рассмотрим процессы с выделением или поглощением энергии, сопровождающие обратный переворот параллелепипеда (из положения 2 в положит 1, см. рис.). Это:
- перемещение центра масс параллелепипеда, затрата энергии $Mg(b - a)/2$;
- сжатие ворсинок, налипших на грань $ac$ и не порвавшихся при предыдущем перевороте, высвобождение энергии $W$;
- создание новой группы непорвавшихся ворсинок (на этот раз налипших на грань $bc$), затрата энергии $W$ (поскольку таких ворсинок будет ровно столько же, сколько и было на грани $ac$, а значит они будут обладать такой же энергией):
- растяжение ворсинок, налипших на грань $bc$ и оторвавшихся от неё, затрата энергии $knc (b - \Delta / \sqrt{2}) \Delta^{2}/2$.
Алгебраическая сумма всех этих энергий и есть минимальная энергия, требуемая для переворота параллелепипеда с грани $bc$ обратно на $ac$. По условию она равна $E$, то есть
$E = Mg \frac{b - a}{2} - W + W + \frac{k \Delta^{2} }{2} nc \left ( b - \frac{ \Delta }{ \sqrt{2} } \right ) = Mg \frac{b - a}{2} + \frac{k \Delta^{2} }{2} nc \left ( b - \frac{ \Delta }{ \sqrt{2} } \right )$. (1)
Теперь рассмотрим переворот с грани $bc$ на вторую грань $ac$ (из положения 2 в положение 3, см. рис.). Поймём, чем это действие отличается от обратного переворота на первую грань $ac$:
- надо разорвать ворсинки, налипшие на первую грань ас и не порванные при самом первом перевороте: затрата энергии
$\frac{k \Delta^{2} }{2} nc \frac{ \Delta }{ \sqrt{2} } - W$
вместо высвобождения $W$.
Остальное перемещение центра масс параллелепипеда, растяжение ворсинок, не оторвавшихся от грани $bc$, растяжение ворсинок, оторвавшихся от этой грани - будет таким же. То есть минимальная энергия $E_{1}$, требуемая для переворота на вторую грань, равна
$E_{1} = Mg \frac{b - a}{2} + \left ( \frac{k \Delta^{2} }{2} nc \frac{ \Delta }{ \sqrt{2} } - W \right ) + W + \frac{k \Delta^{2} }{2} \left ( b - \frac{ \Delta }{ \sqrt{2} } \right ) = E + \frac{knc \Delta^{3} }{2 \sqrt{2} }$. (2)
Данное выражение содержит произведение неизвестных величин $k$ и $n$. Из (1) находим
$\frac{knc \Delta^{2} }{2 \sqrt{2} } = \frac{E - Mg(b - a) / 2 }{b \sqrt{2} - \Delta }$.
Подставив это в (2), окончательно получим
$E_{1} = E + \left ( E - Mg \frac{b - a}{2} \right ) \frac{ \Delta }{b \sqrt{2} - \Delta }$. (3)
Горизонтальная поверхность равномерно и густо покрыта одинаковыми липкими ворсинками. Ворсинки могут упруго растягиваться как идеальные пружинки с пренебрежимо малой начальной длиной. Каждая ворсинка при контакте с некоторым телом прилипает к нему верхним концом, а отлипает только растянувшись на величину $\Delta$. Лёша взял прямоугольный параллелепипед массой $M$ с рёбрами $a, b, c$ (причем $a, b, c > \Delta$) и вертикально опустил его на поверхность так, чтобы тот стоял на грани со сторонами $a$ и $c$ (положение 1 на рис.). Затем он перекантовал параллепипед на грань со сторонами $b$ и $c$ (в положение 2). Минимальная энергия, требуемая, чтобы перекантовать параллепипед обратно из 2 в 1, равна $E$. Какую минимальную энергию необходимо затратить Лёше для того, чтобы после первого переворота параллелепипеда перекантовать его дальше, из положения 2 в положение 3 (на вторую грань со сторонами $a$ и $c$)?
Решение:
Для начала рассмотрим самый первый переворот - с грани $ac$ на грань $bc$ (из положения 1 в положение 2, см. рис.). Поскольку $a > \Delta$, то какая-то доля ворсинок, налипших на грань $ac$, порвётся, а какая-то останется прилипшей. Определим, какая часть грани занята непорвавшимися ворсинками.
Из геометрических соображений ясно, что все эти ворсинки вместе с гранью $ac$ и горизонтальной поверхностью образуют подобные прямоугольные равнобедренные треугольники. Сами ворсинки будут их гипотенузами. Длина этих гипотенуз не превосходит $\Delta$, соответственно длина катетов не превосходит $\Delta/ \sqrt{2}$.Тогда на грани $ac$ неотлипшие ворсинки занимают прямоугольник со сторонами $c$ и $\Delta / \sqrt{2}$, примыкающий к нижнему ребру параллелепипеда.
Эти неотлипшие ворсинки обладают некоторой потенциальной энергией. Назовем ее $W$.
Далее для удобства изложения мы введём жесткость ворсинки $k$ (поскольку в непорванном состоянии ворсинка эквивалентна гуковской пружине нулевой начальной длины) и концентрацию ворсинок на поверхности $n [шт/м^{2}]$.
Рассмотрим процессы с выделением или поглощением энергии, сопровождающие обратный переворот параллелепипеда (из положения 2 в положит 1, см. рис.). Это:
- перемещение центра масс параллелепипеда, затрата энергии $Mg(b - a)/2$;
- сжатие ворсинок, налипших на грань $ac$ и не порвавшихся при предыдущем перевороте, высвобождение энергии $W$;
- создание новой группы непорвавшихся ворсинок (на этот раз налипших на грань $bc$), затрата энергии $W$ (поскольку таких ворсинок будет ровно столько же, сколько и было на грани $ac$, а значит они будут обладать такой же энергией):
- растяжение ворсинок, налипших на грань $bc$ и оторвавшихся от неё, затрата энергии $knc (b - \Delta / \sqrt{2}) \Delta^{2}/2$.
Алгебраическая сумма всех этих энергий и есть минимальная энергия, требуемая для переворота параллелепипеда с грани $bc$ обратно на $ac$. По условию она равна $E$, то есть
$E = Mg \frac{b - a}{2} - W + W + \frac{k \Delta^{2} }{2} nc \left ( b - \frac{ \Delta }{ \sqrt{2} } \right ) = Mg \frac{b - a}{2} + \frac{k \Delta^{2} }{2} nc \left ( b - \frac{ \Delta }{ \sqrt{2} } \right )$. (1)
Теперь рассмотрим переворот с грани $bc$ на вторую грань $ac$ (из положения 2 в положение 3, см. рис.). Поймём, чем это действие отличается от обратного переворота на первую грань $ac$:
- надо разорвать ворсинки, налипшие на первую грань ас и не порванные при самом первом перевороте: затрата энергии
$\frac{k \Delta^{2} }{2} nc \frac{ \Delta }{ \sqrt{2} } - W$
вместо высвобождения $W$.
Остальное перемещение центра масс параллелепипеда, растяжение ворсинок, не оторвавшихся от грани $bc$, растяжение ворсинок, оторвавшихся от этой грани - будет таким же. То есть минимальная энергия $E_{1}$, требуемая для переворота на вторую грань, равна
$E_{1} = Mg \frac{b - a}{2} + \left ( \frac{k \Delta^{2} }{2} nc \frac{ \Delta }{ \sqrt{2} } - W \right ) + W + \frac{k \Delta^{2} }{2} \left ( b - \frac{ \Delta }{ \sqrt{2} } \right ) = E + \frac{knc \Delta^{3} }{2 \sqrt{2} }$. (2)
Данное выражение содержит произведение неизвестных величин $k$ и $n$. Из (1) находим
$\frac{knc \Delta^{2} }{2 \sqrt{2} } = \frac{E - Mg(b - a) / 2 }{b \sqrt{2} - \Delta }$.
Подставив это в (2), окончательно получим
$E_{1} = E + \left ( E - Mg \frac{b - a}{2} \right ) \frac{ \Delta }{b \sqrt{2} - \Delta }$. (3)
