Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10181
2019-02-20 
На гладкой наклонной плоскости с углом наклона $45^{ \circ}$ в точке O закреплена пушка (см. рисунок). Дуло пушки зафиксировано под углом $\beta$ к наклонной плоскости. Пушка может стрелять мячиками с произвольной начальной скоростью. Ударяясь о плоскость, мячик отскакивает, при этом составляющая скорости, перпендикулярная к поверхности, уменьшается в $\sigma$ раз, а параллельная поверхности - не изменяется. Определите все возможные значения начальной скорости мячика, при которых он окажется в лунке, находящейся в точке A. Расстояние OA известно и равно $L$. Сопротивлением воздуха пренебречь, мячик и лунку считать материальными точками, ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Вводом спетому координат, связанную с наклонной плоскостью (см. рис.). а именно, начало координат поместим в точку О, ось Ox направим вдоль плоскости, а ось Oy - перпендикулярно ей. Будем описывать движение мячика в этой системе координат.
Поскольку необходимо определить все возможные начальные скорости мячика, при которых он окажется в лунке, а он при ударе о наклонную плоскость отскакивает, помимо простой траектории (прямое попадание), нужно рассмотреть траектории мячика с любым числом отскоков от поверхности. Для этого определим сперва все моменты времени, в которые мячик, выпущенный со скоростью $v_{0}$, касается плоскости.
В выбранной нами системе координат и по оси Ox, и по оси Oy мячик движется равноускоренно. Из рис. видно, что проекции ускорения мячика на соответствующие оси равны $g_{x} = g \sin 45^{ \circ} = g/ \sqrt{2}, g_{y} = -g \cos 45^{ \circ} = -g/ \sqrt{2}$, проекции начальной скорости: $v_{0x} = v_{0} \cos \beta, v_{0y} = v_{0} \sin \beta$. Тогда уравнение, описывающее изменение со временем координаты $y$ мячика после вылета из пушки до первого отскока, имеет вид:
$y(t) = v_{0y} t + \frac{g_{y}t^{2}}{2}$. (1)
Из него легко находим время, через которое мячик достигнет поверхности ($y(t_{0,1}) = 0$):
$t_{0,1} = - \frac{2v_{0y}}{g_{y} } = \frac{2 \sqrt{2} v_{0} \sin \beta }{g}$. (2)
Поскольку движение мячика по оси Oy осуществляется с постоянным ускорением, при падении на наклонную плоскость соответствующая проекция скорости равна $v_{y}(t_{0,1}) = v_{0y} + g_{y}t_{0,1} = -v_{0y}$. Согласно условию, после отскока проекция скорости, перпендикулярная к поверхности, уменьшается в $\sigma$ раз. Следовательно, она оказывается равной $v_{1y} = v_{0y}/ \sigma = \epsilon v_{0y}$, здесь введено обозначение $\epsilon \equiv 1/ \sigma$. Уравнение, описывающее изменение координаты $y$ мячика между первым и вторым отскоками, получается из (1), если заменить в нем $v_{0y}$ на $v_{1y}$. Легко понять тогда, что интервал времени между первым и вторым отскоками равен
$t_{1,2} = - \frac{2v_{1y} }{g_{y} } = \frac{2 \sqrt{2} \epsilon v_{0} \sin \beta }{g}$.
Продолжая подобные рассуждения, получаем, что интервал времени между $n$ и $n + 1$ отскоками равен
$t_{n,n+1} = - \frac{2v_{1y}}{g_{y} } = \frac{2 \sqrt{2} \epsilon^{n} v_{0} \sin \beta }{g}$.
Отсюда сразу находим, сколько времени требуется мячику, чтобы оказаться на наклонной плоскости: без отскоков, с одним "промежуточным" отскоком, $\cdots$ , с $n$ "промежуточными" отскоками.
$T_{0} = t_{0,1} = \frac{2 \sqrt{2} v_{0} \sin \beta }{g}$,
$T_{1} = t_{0,1} + t_{1,2} = \frac{2 \sqrt{2} v_{0} \sin \beta }{g}(1 + \epsilon), \cdots$,
$T_{n} = T_{n-1} + t_{n,n+1} = t_{0,1} + t_{1,2} + \cdots + t_{n,n+1} = \frac{2 \sqrt{2} v_{0} \sin \beta }{g} (1 + \epsilon + \cdots + \epsilon^{n+1} ) = \frac{2 \sqrt{2} v_{0} \sin \beta }{g} \frac{1 - \epsilon^{n + 1} }{1 - \epsilon}$, (3)
где в последней строчке просуммирована конечная геометрическая прогрессия.
Так как при отскоке составляющая скорости, параллельная поверхности, остается неизменной, на вид уравнения, описывающего изменение координаты $x$ мячика наличие отскоков никак не сказывается. Таким образом, за время $T_{n}$ мячик сместится вдоль плоскости на расстояние
$x(T_{n}) = v_{0x}T_{n} + \frac{g_{x}T_{n}^{2}}{2} = v_{0}^{2} F(n)$, где
$F(n) = \frac{2 \sqrt{2} v_{0} \sin^{2} \beta }{g} \frac{1 - \epsilon^{n + 1} }{1 - \epsilon} \left ( ctg \beta + \frac{1 - \epsilon^{n +1 } }{1 - \epsilon} \right )$. (4)
Для того, чтобы мячик попал в лунку, необходимо потребовать, чтобы найденные нами смещения $x(T_{n})$ вдоль оси Ox совпадай с расстоянием $L$ между пушкой и лункой. Это дает спектр возможных значений начальной скорости мячика (здесь введена естественная нумерация ответов для начальных скоростей, индекс обозначает количество "промежуточных" отскоков):
$V_{n} = \sqrt{ \frac{L}{F(n) } }, n = 0,1,2, \cdots$ (5)
(На рис. изображена ситуация с одним "промежуточным" отскоком). Естественно, что выражение (5) имеет смысл только для тех $n$, при которых $F(n) > 0$, то есть при
$ctg \beta + \frac{1 - \epsilon^{n + 1} }{1 - \epsilon} > 0$. (6)
Физически, отрицательным значениям $F(n)$ соответсвует ситуация, когда дуло пушки направлено так, что мячик после выстрела ударяется в первый раз выше по склону, и ни при какой начальной скорости мячика за $n$ промежуточных отскоков ему в лунку не попасть.
Формулами (5), (6), однако, все возможные ответы для начальных скоростей не исчерпываются. Действительно, рассмотрим формальный предел $n = \infty$, что соответствует ситуации, когда мячик успевает бесконечное количество раз удариться о наклонную плоскость прежде чем попасть в лунку. При этом конечная геометрическая прогрессия в (3) заменяется на бесконечную (нужно заменить $(1 - \epsilon^{n+1})/(1 - \epsilon)$ на $1/(1 - \epsilon)$ в $F( \infty)$). Уравнение (5) и величина $F( \infty)$ (при условии $F( \infty) > 0$) определяют скорость $V_{ \infty}$.
Рассмотрим теперь формулу (4) при начальной скорости снаряда $v_{0} < V_{ \infty}$. Ясно, что тогда $x(T_{ \infty}) < L$, то есть, даже совершив бесконечное количество отскоков, мячик не "допрыгает" при таких начальных скоростях до лунки.
Что же будет дальше? Ответ заключается в следующем: в результате бесконечного количества отскоков (на которые, естественно, требуется конечное время) составляющая скорости мячика, перпендикулярная к поверхности, полностью погасится, и дальше мячик начнет просто скатываться по наклонной плоскости, и неминуемо попадет в лунку. Поэтому к ответам (5) необходимо добавить еще все скорости $0 \leq V \leq V_{ \infty}$. (Можно сказать, что формула (5) определяет дискретный спектр ответов для начальных скоростей, который накапливается (сгущается) к точке $V_{ \infty}$, после чего переходит в непрерывный спектр $0 \leq V \leq V_{ \infty}$).
Рассмотрим напоследок случай $F( \infty) \leq 0$, этому соответствует ситуация, когда, совершив бесконечное количество отскоков, мячик не приблизился к лунке, а может быть даже удалился от нее. Из (5) ясно, что при этом дискретный спектр вовсе пропадает. Таким образом, при выполнении этого условия мячик при любой начальной скорости попадет в лунку.
Ответ: Обозначение: $\epsilon = 1/ \sigma$.
Если $(1 - \epsilon) ctg \beta + 1 > 0$ ($F( \infty) > 0$), то возможные начальные скорости мячика даются выражением $\sqrt{L/F(n)}$, где $F(n) = 2 \sqrt{2} \sin^{2} \beta (1 - \epsilon^{n+1}) (ctg \beta + (1 - \epsilon^{n+1})/(1 - \epsilon)) /g(1 - \epsilon)$, a $n = 0,1, 2, \cdots$ - число "промежуточных" отскоков мячика. Это выражение имеет смысл только для тех $n$, при которых $F(n) > 0$ (случаю $F(n) \leq 0$ соответствует ситуация, когда ни при какой начальной скорости мячик за п промежуточных отскоков попасть в лунку не может). Также в ответ необходимо включить отрезок $0 \leq V \leq V_{ \infty} = \sqrt{L/F( \infty)}$.
Если $(1 - \epsilon) ctg \beta + 1 \leq 0$ ($F( \infty) < 0$), то мячик попадет в лунку при любой начальной скорости.
На гладкой наклонной плоскости с углом наклона $45^{ \circ}$ в точке O закреплена пушка (см. рисунок). Дуло пушки зафиксировано под углом $\beta$ к наклонной плоскости. Пушка может стрелять мячиками с произвольной начальной скоростью. Ударяясь о плоскость, мячик отскакивает, при этом составляющая скорости, перпендикулярная к поверхности, уменьшается в $\sigma$ раз, а параллельная поверхности - не изменяется. Определите все возможные значения начальной скорости мячика, при которых он окажется в лунке, находящейся в точке A. Расстояние OA известно и равно $L$. Сопротивлением воздуха пренебречь, мячик и лунку считать материальными точками, ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Вводом спетому координат, связанную с наклонной плоскостью (см. рис.). а именно, начало координат поместим в точку О, ось Ox направим вдоль плоскости, а ось Oy - перпендикулярно ей. Будем описывать движение мячика в этой системе координат.
Поскольку необходимо определить все возможные начальные скорости мячика, при которых он окажется в лунке, а он при ударе о наклонную плоскость отскакивает, помимо простой траектории (прямое попадание), нужно рассмотреть траектории мячика с любым числом отскоков от поверхности. Для этого определим сперва все моменты времени, в которые мячик, выпущенный со скоростью $v_{0}$, касается плоскости.
В выбранной нами системе координат и по оси Ox, и по оси Oy мячик движется равноускоренно. Из рис. видно, что проекции ускорения мячика на соответствующие оси равны $g_{x} = g \sin 45^{ \circ} = g/ \sqrt{2}, g_{y} = -g \cos 45^{ \circ} = -g/ \sqrt{2}$, проекции начальной скорости: $v_{0x} = v_{0} \cos \beta, v_{0y} = v_{0} \sin \beta$. Тогда уравнение, описывающее изменение со временем координаты $y$ мячика после вылета из пушки до первого отскока, имеет вид:
$y(t) = v_{0y} t + \frac{g_{y}t^{2}}{2}$. (1)
Из него легко находим время, через которое мячик достигнет поверхности ($y(t_{0,1}) = 0$):
$t_{0,1} = - \frac{2v_{0y}}{g_{y} } = \frac{2 \sqrt{2} v_{0} \sin \beta }{g}$. (2)
Поскольку движение мячика по оси Oy осуществляется с постоянным ускорением, при падении на наклонную плоскость соответствующая проекция скорости равна $v_{y}(t_{0,1}) = v_{0y} + g_{y}t_{0,1} = -v_{0y}$. Согласно условию, после отскока проекция скорости, перпендикулярная к поверхности, уменьшается в $\sigma$ раз. Следовательно, она оказывается равной $v_{1y} = v_{0y}/ \sigma = \epsilon v_{0y}$, здесь введено обозначение $\epsilon \equiv 1/ \sigma$. Уравнение, описывающее изменение координаты $y$ мячика между первым и вторым отскоками, получается из (1), если заменить в нем $v_{0y}$ на $v_{1y}$. Легко понять тогда, что интервал времени между первым и вторым отскоками равен
$t_{1,2} = - \frac{2v_{1y} }{g_{y} } = \frac{2 \sqrt{2} \epsilon v_{0} \sin \beta }{g}$.
Продолжая подобные рассуждения, получаем, что интервал времени между $n$ и $n + 1$ отскоками равен
$t_{n,n+1} = - \frac{2v_{1y}}{g_{y} } = \frac{2 \sqrt{2} \epsilon^{n} v_{0} \sin \beta }{g}$.
Отсюда сразу находим, сколько времени требуется мячику, чтобы оказаться на наклонной плоскости: без отскоков, с одним "промежуточным" отскоком, $\cdots$ , с $n$ "промежуточными" отскоками.
$T_{0} = t_{0,1} = \frac{2 \sqrt{2} v_{0} \sin \beta }{g}$,
$T_{1} = t_{0,1} + t_{1,2} = \frac{2 \sqrt{2} v_{0} \sin \beta }{g}(1 + \epsilon), \cdots$,
$T_{n} = T_{n-1} + t_{n,n+1} = t_{0,1} + t_{1,2} + \cdots + t_{n,n+1} = \frac{2 \sqrt{2} v_{0} \sin \beta }{g} (1 + \epsilon + \cdots + \epsilon^{n+1} ) = \frac{2 \sqrt{2} v_{0} \sin \beta }{g} \frac{1 - \epsilon^{n + 1} }{1 - \epsilon}$, (3)
где в последней строчке просуммирована конечная геометрическая прогрессия.
Так как при отскоке составляющая скорости, параллельная поверхности, остается неизменной, на вид уравнения, описывающего изменение координаты $x$ мячика наличие отскоков никак не сказывается. Таким образом, за время $T_{n}$ мячик сместится вдоль плоскости на расстояние
$x(T_{n}) = v_{0x}T_{n} + \frac{g_{x}T_{n}^{2}}{2} = v_{0}^{2} F(n)$, где
$F(n) = \frac{2 \sqrt{2} v_{0} \sin^{2} \beta }{g} \frac{1 - \epsilon^{n + 1} }{1 - \epsilon} \left ( ctg \beta + \frac{1 - \epsilon^{n +1 } }{1 - \epsilon} \right )$. (4)
Для того, чтобы мячик попал в лунку, необходимо потребовать, чтобы найденные нами смещения $x(T_{n})$ вдоль оси Ox совпадай с расстоянием $L$ между пушкой и лункой. Это дает спектр возможных значений начальной скорости мячика (здесь введена естественная нумерация ответов для начальных скоростей, индекс обозначает количество "промежуточных" отскоков):
$V_{n} = \sqrt{ \frac{L}{F(n) } }, n = 0,1,2, \cdots$ (5)
(На рис. изображена ситуация с одним "промежуточным" отскоком). Естественно, что выражение (5) имеет смысл только для тех $n$, при которых $F(n) > 0$, то есть при
$ctg \beta + \frac{1 - \epsilon^{n + 1} }{1 - \epsilon} > 0$. (6)
Физически, отрицательным значениям $F(n)$ соответсвует ситуация, когда дуло пушки направлено так, что мячик после выстрела ударяется в первый раз выше по склону, и ни при какой начальной скорости мячика за $n$ промежуточных отскоков ему в лунку не попасть.
Формулами (5), (6), однако, все возможные ответы для начальных скоростей не исчерпываются. Действительно, рассмотрим формальный предел $n = \infty$, что соответствует ситуации, когда мячик успевает бесконечное количество раз удариться о наклонную плоскость прежде чем попасть в лунку. При этом конечная геометрическая прогрессия в (3) заменяется на бесконечную (нужно заменить $(1 - \epsilon^{n+1})/(1 - \epsilon)$ на $1/(1 - \epsilon)$ в $F( \infty)$). Уравнение (5) и величина $F( \infty)$ (при условии $F( \infty) > 0$) определяют скорость $V_{ \infty}$.
Рассмотрим теперь формулу (4) при начальной скорости снаряда $v_{0} < V_{ \infty}$. Ясно, что тогда $x(T_{ \infty}) < L$, то есть, даже совершив бесконечное количество отскоков, мячик не "допрыгает" при таких начальных скоростях до лунки.
Что же будет дальше? Ответ заключается в следующем: в результате бесконечного количества отскоков (на которые, естественно, требуется конечное время) составляющая скорости мячика, перпендикулярная к поверхности, полностью погасится, и дальше мячик начнет просто скатываться по наклонной плоскости, и неминуемо попадет в лунку. Поэтому к ответам (5) необходимо добавить еще все скорости $0 \leq V \leq V_{ \infty}$. (Можно сказать, что формула (5) определяет дискретный спектр ответов для начальных скоростей, который накапливается (сгущается) к точке $V_{ \infty}$, после чего переходит в непрерывный спектр $0 \leq V \leq V_{ \infty}$).
Рассмотрим напоследок случай $F( \infty) \leq 0$, этому соответствует ситуация, когда, совершив бесконечное количество отскоков, мячик не приблизился к лунке, а может быть даже удалился от нее. Из (5) ясно, что при этом дискретный спектр вовсе пропадает. Таким образом, при выполнении этого условия мячик при любой начальной скорости попадет в лунку.
Ответ: Обозначение: $\epsilon = 1/ \sigma$.
Если $(1 - \epsilon) ctg \beta + 1 > 0$ ($F( \infty) > 0$), то возможные начальные скорости мячика даются выражением $\sqrt{L/F(n)}$, где $F(n) = 2 \sqrt{2} \sin^{2} \beta (1 - \epsilon^{n+1}) (ctg \beta + (1 - \epsilon^{n+1})/(1 - \epsilon)) /g(1 - \epsilon)$, a $n = 0,1, 2, \cdots$ - число "промежуточных" отскоков мячика. Это выражение имеет смысл только для тех $n$, при которых $F(n) > 0$ (случаю $F(n) \leq 0$ соответствует ситуация, когда ни при какой начальной скорости мячик за п промежуточных отскоков попасть в лунку не может). Также в ответ необходимо включить отрезок $0 \leq V \leq V_{ \infty} = \sqrt{L/F( \infty)}$.
Если $(1 - \epsilon) ctg \beta + 1 \leq 0$ ($F( \infty) < 0$), то мячик попадет в лунку при любой начальной скорости.
