Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10180
2019-02-20 
Легкий жгут жесткости $k$ прикреплен к потолку, а на его конце висят два жука (см. рис.). В таком положении жгут равномерно растянут и его длина от потолка до жуков равна $l$. Потом один жук начинает карабкаться по жгуту вверх с постоянной скоростью $V$ относительно жгута. Как и с какой скоростью относительно потолка будет двигаться второй жук, который продолжает держаться за конец жгута. Считать, что каждый жук хватается за жгут в одной точке. Масса обоих жуков равна $m$, их размерами пренебречь. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Рассмотрим момент когда оба жука висят внизу. Для начала посчитаем коэффициент жесткости участка жгута длины $y$ (см.рис.). Сила натяжения внутри жгута везде одинакова (иначе он бы порвался) и по модулю равна $| \vec{T} | = 2mg$. По закону:
$| \vec{T} | = k( l - l_{0})$, (1)
где $k$ - жесткость всего жгута, а $l_{0}$ - длина не растянутого жгута. Из (1) очевидно получается $l_{0} = l - \frac{2mg}{k}$. Участок жгута длины $y$ растягивает такая же сила натяжения $T$ (см. рис.). Так как жгут равномерно растянут, этот участок в отдельности растянут на длину равную $\frac{y}{l}(l - l_{0})$. Тогда опять по закону Гука верно:
$| \vec{T} | = k^{ \prime} \frac{y}{l} (l - l_{0})$, (2)
где $k^{ \prime}$ - жесткость этого участка жгута. Теперь из (13) и (14) легко получается:
$k^{ \prime} = \frac{l}{y}k$. (3)
Понятно, что так как жгут растянут равномерно, то длина участка жгута (см. рис.) в не растянутом состоянии равна:
$l_{0}^{ \prime} = \frac{y}{l} l_{0} = \frac{y}{l} \left ( l - \frac{2mg}{k} \right ) = y - \frac{y}{l} \frac{2mg}{k}$. (4)
Рассмотрим что происходит, когда первый жук начинает карабкаться вверх (второй продолжает держаться за конец жгута). В точке, где первый жук хватается, к жгуту всегда приложена вниз сила по модулю равная $2mg$ (так как ниже висят оба жука, а жгут - очень легкий) (см. рис.). То есть сила натяжения части жгута, расположенной над карабкающимся, такая же как и с самого начала. Она равна по модулю $| \vec{T} | = 2mg$. Это значит, что часть жгута над первым жуком не растягивается и не сжимается. То есть первый жук двигается вверх как относительно жгута, так и относительно потолка со скоростью $V$. Тогда в момент времени $t$ расстояние от первого жука до потолка равно $l - Vt$. Оставшаяся часть жгута, имела длину $Vt$, когда жуки висели низу (см. рис.). Следовательно мы можем воспользоваться формулами (3) и (4), взяв $y = Vt$:
$k^{ \prime} = \frac{l}{Vt} k; l_{0}^{ \prime} = Vt - \frac{Vt}{l} \frac{2mg}{k}$, (5)
тут $k^{ \prime}$ -это жесткость части жгута между жуками, а $l_{0}^{ \prime}$ - длина этой части в не растянутом состоянии. Теперь $| \vec{T}^{ \prime} | = k^{ \prime} (l^{ \prime} - l_{0}^{ \prime})$, где $l^{ \prime}$ - длина растянутого участка жгута между жуками (см. рис.), а $| \vec{T}^{ \prime} | = mg$ - сила с которой нижний жук растягивает жгут. Из этого выражения с учетом (5) для $l^{ \prime}$ получаем:
$l^{ \prime} = l_{0}^{ \prime} + \frac{mg}{k^{ \prime} } = Vt - \frac{Vt}{l} \frac{2mg}{k} + \frac{Vt}{l} \frac{mg}{k} = \left ( V - \frac{V}{l} \frac{mg}{k} \right ) t$. (6)
Из (6), мы получили, что расстояние между жуками увеличивается с постоянной скоростью $V^{ \prime} = V - \frac{V}{l} \frac{mg}{k}$. Чтобы получить скорость движения второго жука относительно потолка нужно из скорости первого $V$ вычесть найденную величину $V^{ \prime}$. В итоге получаем, что второй жук двигается вверх с постоянной скоростью равной:
$V^{ \prime} = \frac{V}{l} \frac{mg}{k}$
Ответ: Второй жук двигается вверх с постоянной скоростью $V^{ \prime} = \frac{mgV}{kl}$ относительно потолка.
Легкий жгут жесткости $k$ прикреплен к потолку, а на его конце висят два жука (см. рис.). В таком положении жгут равномерно растянут и его длина от потолка до жуков равна $l$. Потом один жук начинает карабкаться по жгуту вверх с постоянной скоростью $V$ относительно жгута. Как и с какой скоростью относительно потолка будет двигаться второй жук, который продолжает держаться за конец жгута. Считать, что каждый жук хватается за жгут в одной точке. Масса обоих жуков равна $m$, их размерами пренебречь. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Рассмотрим момент когда оба жука висят внизу. Для начала посчитаем коэффициент жесткости участка жгута длины $y$ (см.рис.). Сила натяжения внутри жгута везде одинакова (иначе он бы порвался) и по модулю равна $| \vec{T} | = 2mg$. По закону:
$| \vec{T} | = k( l - l_{0})$, (1)
где $k$ - жесткость всего жгута, а $l_{0}$ - длина не растянутого жгута. Из (1) очевидно получается $l_{0} = l - \frac{2mg}{k}$. Участок жгута длины $y$ растягивает такая же сила натяжения $T$ (см. рис.). Так как жгут равномерно растянут, этот участок в отдельности растянут на длину равную $\frac{y}{l}(l - l_{0})$. Тогда опять по закону Гука верно:
$| \vec{T} | = k^{ \prime} \frac{y}{l} (l - l_{0})$, (2)
где $k^{ \prime}$ - жесткость этого участка жгута. Теперь из (13) и (14) легко получается:
$k^{ \prime} = \frac{l}{y}k$. (3)
Понятно, что так как жгут растянут равномерно, то длина участка жгута (см. рис.) в не растянутом состоянии равна:
$l_{0}^{ \prime} = \frac{y}{l} l_{0} = \frac{y}{l} \left ( l - \frac{2mg}{k} \right ) = y - \frac{y}{l} \frac{2mg}{k}$. (4)
Рассмотрим что происходит, когда первый жук начинает карабкаться вверх (второй продолжает держаться за конец жгута). В точке, где первый жук хватается, к жгуту всегда приложена вниз сила по модулю равная $2mg$ (так как ниже висят оба жука, а жгут - очень легкий) (см. рис.). То есть сила натяжения части жгута, расположенной над карабкающимся, такая же как и с самого начала. Она равна по модулю $| \vec{T} | = 2mg$. Это значит, что часть жгута над первым жуком не растягивается и не сжимается. То есть первый жук двигается вверх как относительно жгута, так и относительно потолка со скоростью $V$. Тогда в момент времени $t$ расстояние от первого жука до потолка равно $l - Vt$. Оставшаяся часть жгута, имела длину $Vt$, когда жуки висели низу (см. рис.). Следовательно мы можем воспользоваться формулами (3) и (4), взяв $y = Vt$:
$k^{ \prime} = \frac{l}{Vt} k; l_{0}^{ \prime} = Vt - \frac{Vt}{l} \frac{2mg}{k}$, (5)
тут $k^{ \prime}$ -это жесткость части жгута между жуками, а $l_{0}^{ \prime}$ - длина этой части в не растянутом состоянии. Теперь $| \vec{T}^{ \prime} | = k^{ \prime} (l^{ \prime} - l_{0}^{ \prime})$, где $l^{ \prime}$ - длина растянутого участка жгута между жуками (см. рис.), а $| \vec{T}^{ \prime} | = mg$ - сила с которой нижний жук растягивает жгут. Из этого выражения с учетом (5) для $l^{ \prime}$ получаем:
$l^{ \prime} = l_{0}^{ \prime} + \frac{mg}{k^{ \prime} } = Vt - \frac{Vt}{l} \frac{2mg}{k} + \frac{Vt}{l} \frac{mg}{k} = \left ( V - \frac{V}{l} \frac{mg}{k} \right ) t$. (6)
Из (6), мы получили, что расстояние между жуками увеличивается с постоянной скоростью $V^{ \prime} = V - \frac{V}{l} \frac{mg}{k}$. Чтобы получить скорость движения второго жука относительно потолка нужно из скорости первого $V$ вычесть найденную величину $V^{ \prime}$. В итоге получаем, что второй жук двигается вверх с постоянной скоростью равной:
$V^{ \prime} = \frac{V}{l} \frac{mg}{k}$
Ответ: Второй жук двигается вверх с постоянной скоростью $V^{ \prime} = \frac{mgV}{kl}$ относительно потолка.
