2016-09-17
Горизонтальная штанга, жёстко связанная с вертикальной осью $OO^{ \prime}$, вращается вокруг неё с постоянной угловой скоростью $\omega$ (см. рисунок). Постоянство угловой скорости обеспечивает мотор, связанный с вертикальной осью. На штангу надета небольшая муфта массой $m$. Вначале муфта удерживается на расстоянии $l$ от оси $OO^{ \prime}$. В некоторый момент времени муфта освобождается и начинает двигаться вдоль штанги. На другом конце штанги имеется заглушка (утолщение с тонкой мягкой прокладкой), которая не позволяет муфте соскочить со штанги. Удар муфты о заглушку является абсолютно неупругим. Максимальное удаление муфты от оси $OO^{ \prime}$ равно $L$. Какую работу совершает мотор в процессе перемещения муфты по штанге? Трение не учитывать.
Решение:
Работа мотора в процессе перемещения муфты идёт только на увеличение её кинетической энергии, поскольку в условии сказано, что трение отсутствует. В процессе движения компонента скорости муфты, связанная с её вращением вместе со штангой вокруг оси $OO^{ \prime}$, равна $\omega R$, где $R$ — текущее расстояние от оси до муфты. Таким образом, для увеличения кинетической энергии за счёт роста этой компоненты скорости муфты мотором будет совершена работа, равная $A_{1} = \frac{1}{2} m \omega^{2} (L^{2} - l^{2})$.
Чтобы муфта не смещалась по вращающейся штанге, на неё должна действовать центростремительная сила $F_{цс} = m \omega^{2} R$, направленная к оси вращения. Поэтому, если вдоль штанги не действуют никакие силы, то смещение муфты будет происходить с радиальным ускорением $a_{R} = — a_{цс} = \omega^{2} R$, направленным от оси вращения. Тогда за малый промежуток времени $\Delta t$ радиальная компонента скорости муфты изменится на величину $\Delta v_{R} = a_{R}t = \omega^{2} R \Delta t$. Ускорение $a_{R} = \frac{ \Delta v_{R}}{ \Delta t} = \frac{v_{R} \Delta v_{R}}{ v_{R} \Delta t} = \frac{v_{R} \Delta v_{R}}{ \Delta R} = \omega^{2} R$, откуда имеем, что величина $v_{R} \Delta v_{R} = \omega^{2} R \Delta R$, то есть $\Delta (v_{R}^{2}/2) = \omega^{2} \Delta (R^{2}/2)$. Поэтому для увеличения кинетической энергии муфты за счёт приобретения ею радиальной компоненты скорости мотором будет совершена работа, равная $A_{2} = \frac{1}{2} mv_{R}^{2} = \frac{1}{2}m \omega^{2} (L^{2} - l^{2})$.
Таким образом, полная работа, совершаемая мотором над муфтой при её перемещении от оси вращения с расстояния $l$ до расстояния $L$ равна
$A = A_{1} + A_{2} = m \omega^{2}(L^{2} - l^{2})$.
Заметим, что часть кинетической энергии, связанная с движением муфты вдоль штанги со скоростью $v_{R}$, при ударе о заглушку теряется, превращаясь в тепло.