Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10178
2019-02-20 
По цилиндрической трубе равномерно с постоянной скоростью $V$ течет проводящая жидкость (см. рис.). Удельное сопротивление жидкости равно $d$, а плотность $\rho$. Поперек трубы вмонтированы две проводящие сеточки (см. рис. Ии Б). Они не мешают течению жидкости, расстояние между ними равно $L$. К сеточкам подключили напряжение, равное $U$. Определите температуру, которая установилась внутри трубы, в зависимости от расстояния до сеточки А. Удельная теплоемкость жидкости равна $C$. Жидкость не перемешивается, а скорость теплопередачи в ней мала по сравнению с $V$. Теплопотерями пренебречь, температура втекающей в трубу жидкости равна $T$.
Решение:
Для начала посчитаем весь ток, который течет между сеточками. Для этого найдем сопротивление жидкости, находящейся между ними: $R = \frac{dL}{S}$, где $S$ - площадь поперечного сечения трубы. По закону Ома ток будет равен: $I = \frac{U}{R} = \frac{US}{dL}$.
Возьмем небольшой объемчик жидкости занимающий вдоль трубы длину $l ( l \ll L$, см. рис.). Его сопротивление равно $r = \frac{dl}{S}$. Так как через объемчик течет ток, то по закону Джоуля-Ленца за малое время $\Delta t$ на нем выделится тепловая энергия равная $Q = I^{2}r \Delta t$. Так как теплопотерями можно пренебречь, и скорость теплопередачи в жидкости мала, то можно считать, что вся эта энергия тратится на разогрев нашего объемчика. То есть:
$I^{2}r \Delta t = Cm \Delta T$, (1)
где $m = \rho lS$ - масса объемчика, $\Delta T$ - изменение его температуры в течении времени $\Delta t$. Подставим в (1) полученные ранее выражение для тока $I$, массы $m$ и сопротивления $r$:
$\frac{U^{2}S^{2}dl}{d^{2}L^{2} } \frac{dl}{S} \Delta t = C \rho l S \Delta T \Rightarrow \frac{ \Delta T}{ \Delta t} = \frac{U^{2} }{d \rho CL^{2} }$. (2)
Мы получили скорость изменения температуры для маленького объемчика. Теперь запишем скорость жидкости так: $V = \frac{ \Delta x}{ \Delta t}$, откуда $\Delta t = \frac{ \Delta x}{V}$. Подставим $\Delta t$ во второе выражение (2):
$\frac{ \Delta T}{ \Delta x} = \frac{U^{2}}{V d \rho CL^{2} }$. (3)
Видно, что правая часть (3) постоянна и не зависит от координаты $x$, то есть эта формула верна для любого маленького объемчика, взятого между сеточками A и B.
Вспомним, что при равномерном движении перемещение равно: $s(t) = s_{0} + Vt = s_{0} + \frac{ \Delta s}{ \Delta t} t$, здесь скорость $\frac{ \Delta x}{ \Delta t}$ - изменение координаты за единицу времени, $x_{0}$ -начальная координата. Введем ось координат OX, параллельную трубе, с нулем на уровне сеточки A. Тогда учитывая формулу (3) мы можем по аналогии с равномерным движением записать $T(x) = T + \frac{ \Delta T}{ \Delta x}x$, здесь получается $\frac{ \Delta T}{ \Delta x}$ - изменение температуры при сдвиге на единицу длины вдоль трубы. В итоге ответ на вопрос задачи будет таким: левее сеточки A ($x < 0$) температура жидкости $T(x) = T$, между сеточками ($0 < x < L$) температура равна $T(x) = T + \frac{U^{2} }{Vd \rho C L^{2} }x$, правее сеточки В ($x > L$) температура жидкости равна $T + \frac{U^{2} }{V d \rho CL}$.
Ответ: Если ввести ось координат, направленную вдоль трубы от А к В с нулем у сеточки А, то:
$\begin{cases} T < 0 \rightarrow T(x) = T \\ 0 < T < L \rightarrow T(x) = T + \frac{U^{2} }{Vd \rho CL^{2} } x \\ x > L \rightarrow T(x) = T + \frac{U^{2} }{V d \rho CL} \end{cases}$
По цилиндрической трубе равномерно с постоянной скоростью $V$ течет проводящая жидкость (см. рис.). Удельное сопротивление жидкости равно $d$, а плотность $\rho$. Поперек трубы вмонтированы две проводящие сеточки (см. рис. Ии Б). Они не мешают течению жидкости, расстояние между ними равно $L$. К сеточкам подключили напряжение, равное $U$. Определите температуру, которая установилась внутри трубы, в зависимости от расстояния до сеточки А. Удельная теплоемкость жидкости равна $C$. Жидкость не перемешивается, а скорость теплопередачи в ней мала по сравнению с $V$. Теплопотерями пренебречь, температура втекающей в трубу жидкости равна $T$.
Решение:
Для начала посчитаем весь ток, который течет между сеточками. Для этого найдем сопротивление жидкости, находящейся между ними: $R = \frac{dL}{S}$, где $S$ - площадь поперечного сечения трубы. По закону Ома ток будет равен: $I = \frac{U}{R} = \frac{US}{dL}$.
Возьмем небольшой объемчик жидкости занимающий вдоль трубы длину $l ( l \ll L$, см. рис.). Его сопротивление равно $r = \frac{dl}{S}$. Так как через объемчик течет ток, то по закону Джоуля-Ленца за малое время $\Delta t$ на нем выделится тепловая энергия равная $Q = I^{2}r \Delta t$. Так как теплопотерями можно пренебречь, и скорость теплопередачи в жидкости мала, то можно считать, что вся эта энергия тратится на разогрев нашего объемчика. То есть:
$I^{2}r \Delta t = Cm \Delta T$, (1)
где $m = \rho lS$ - масса объемчика, $\Delta T$ - изменение его температуры в течении времени $\Delta t$. Подставим в (1) полученные ранее выражение для тока $I$, массы $m$ и сопротивления $r$:
$\frac{U^{2}S^{2}dl}{d^{2}L^{2} } \frac{dl}{S} \Delta t = C \rho l S \Delta T \Rightarrow \frac{ \Delta T}{ \Delta t} = \frac{U^{2} }{d \rho CL^{2} }$. (2)
Мы получили скорость изменения температуры для маленького объемчика. Теперь запишем скорость жидкости так: $V = \frac{ \Delta x}{ \Delta t}$, откуда $\Delta t = \frac{ \Delta x}{V}$. Подставим $\Delta t$ во второе выражение (2):
$\frac{ \Delta T}{ \Delta x} = \frac{U^{2}}{V d \rho CL^{2} }$. (3)
Видно, что правая часть (3) постоянна и не зависит от координаты $x$, то есть эта формула верна для любого маленького объемчика, взятого между сеточками A и B.
Вспомним, что при равномерном движении перемещение равно: $s(t) = s_{0} + Vt = s_{0} + \frac{ \Delta s}{ \Delta t} t$, здесь скорость $\frac{ \Delta x}{ \Delta t}$ - изменение координаты за единицу времени, $x_{0}$ -начальная координата. Введем ось координат OX, параллельную трубе, с нулем на уровне сеточки A. Тогда учитывая формулу (3) мы можем по аналогии с равномерным движением записать $T(x) = T + \frac{ \Delta T}{ \Delta x}x$, здесь получается $\frac{ \Delta T}{ \Delta x}$ - изменение температуры при сдвиге на единицу длины вдоль трубы. В итоге ответ на вопрос задачи будет таким: левее сеточки A ($x < 0$) температура жидкости $T(x) = T$, между сеточками ($0 < x < L$) температура равна $T(x) = T + \frac{U^{2} }{Vd \rho C L^{2} }x$, правее сеточки В ($x > L$) температура жидкости равна $T + \frac{U^{2} }{V d \rho CL}$.
Ответ: Если ввести ось координат, направленную вдоль трубы от А к В с нулем у сеточки А, то:
$\begin{cases} T < 0 \rightarrow T(x) = T \\ 0 < T < L \rightarrow T(x) = T + \frac{U^{2} }{Vd \rho CL^{2} } x \\ x > L \rightarrow T(x) = T + \frac{U^{2} }{V d \rho CL} \end{cases}$
