Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10177
2019-02-20 
Из нерастяжимой легкой нити, блоков и двух металлических шариков собрали систему (см. рис.). Известно, что в такой системе левый шарик (см. рис.) будет двигаться вверх с ускорением, равным $\frac{2}{7} g$. Сначала оба шарика имели разную температуру, ниже $0^{ \circ} C$. Шарики сняли с блоков и опустили в большой резервуар с водой температуры $0^{ \circ} C$. В результате, когда они пришли в тепловое равновесие с водой в резервуаре, на них намерзло некоторое количество льда. Потом шарики повесили на свои места. Выяснилось, что теперь система находится в равновесии, то есть шарики не двигаются. Найдите начальную температуру и массу правого шарика, если известно, что начальная температура левого шарика была равна $T^{ \circ} C$, а его масса равна $m$. Шарики сделаны из одинакового металла, его удельная теплоемкость равна $C$, удельная теплота плавления льда равна $\Lambda$. Блоки легкие, в них трения нет, ускорение свободного падения равно $g$. Теплопотерями пренебречь.
Решение:
Рассмотрим нашу систему из блоков (см. рис.). Обозначаем массу левого и правого шариков как $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно. Тогда второй закон Ньютона дли левого шарика запишется гак: $\vec{T}_{1} + m_{1} \vec{g} = m_{1} \vec{a}_{1}$, где $\vec{a}_{1}$ - ускорение шарика, а $\vec{T}_{1}$ - сила натяжения нити. Спроецируем на вертикальную ось OY:
$T_{1} - m_{1} g = m_{1}a_{1}$. (3)
Для правого шарика (см. рис.) второй закон Ньютона запишется так: $\vec{T}_{2} + m_{2} \vec{g} = m_{2} \vec{a}_{2}$, где $\vec{a}_{2}$ - ускорение этого шарика, а $\vec{T}_{2}$ - сила натяжения нити, соединяющей правый шарик с подвижным блоком. Если левый шарик поднимется вверх на $\Delta l$, то правый шарик вместе с подвижным блоком опустятся на $\Delta l/2$. Это легко понять, потому что если длина куска нити находящейся после неподвижного блока увеличится на $\Delta l$, то длина отрезков нити с обоих сторон подвижного блока увеличится как раз на $\Delta l/2$. Тогда скорость и ускорение правого шарика будут тоже в два раза меньше и направлены в противоположную сторону, чем скорость и ускорение левого шарика. То есть:
$\vec{a}_{2} = - \vec{a}_{1}/2$.
На подвижный блок вверх действуют две силы натяжения нити $\vec{T}_{1}$ (см. рис.). Следовательно со стороны нити, на которой висит правый шарик, на этот блок вниз действует сила $- 2 \vec{T}_{1}$. Тогда сила натяжения $\vec{T}_{2}$, действующая на правый шарик, равна:
$\vec{T}_{2} = 2 \vec{T}_{1}$.
С учетом полученных выражений запишем проекцию второго закона Ньютона для правого шарика на ось OY:
$2T_{1} - m_{2}g = - \frac{1}{2} m_{2}a_{1}$ (4)
Из (3) выражаем силу натяжения: $T_{1} = m_{1} (a_{1} + g)$, и подставляем ее в выражение (4). Получается после некоторых преобразований следующее:
$2m_{1} (a_{1} + g) = m_{2} \left ( g - \frac{1}{2} a_{1} \right ) \Rightarrow m_{2} = \frac{2(a_{1} + g )}{g - \frac{a_{1} }{2} } m_{1}$. (5)
По условию нам дано, что $m_{1} = m$, a $a_{1} = \frac{2}{7}g$, тогда из (5) получаем:
$m_{2} = 3m$. (6)
Сразу заметим, что для условия равновесия системы (ускорение равно нулю $a_{1} = 0$) из (5) очевидно следует условие:
$m_{2} = 2m_{1}$. (7)
Обозначим температуру левого шарика $T^{ \circ} C$, а правого $T_{2}^{ \circ} C$ (это отрицательные величины). При замерзании $\Delta m$ килограммов льда выделяется $Q = \Lambda m$ джоулей тепла. В нашем случае энергия, выделившаяся при намерзании льда идет на нагревание шариков до температуры $0^{ \circ} C$. Тогда уравнения теплового баланса для шариков будет иметь вид:
$\Lambda \Delta m_{1} = Cm_{1} \Delta T_{1}; \Lambda \Delta m_{2} = Cm_{2} \Delta T_{2}$,
где $\Delta m_{1}$ и $\Delta m_{2}$ масса льда, намерзшего на левый и правый шарик соответственно, а $\Delta T_{1} = (0^{ \circ} - T_{1}) = - T_{1}$, а $\Delta T_{2} = (0^{ \circ} - T_{2}) = - T_{2}$. Тогда можно записать массу намерзшую на правый и левый шарик так:
$\Delta m_{1,2} = \frac{C(- T_{1,2} )}{ \Lambda} m_{1,2}$.
Когда шарики повесили на свои места масс левого шарика стала $m + \frac{C(- T_{1})}{ \Lambda} m$, и с учетом (6) масса правого стала $3m + \frac{C(- T_{2})}{ \Lambda} 3m$. По условию теперь система находится в равновесии, следовательно из (7):
$3m + \frac{C(-T_{2} )}{ \Lambda} 3m = 2 \left ( m + \frac{C(- T_{1} )}{ \Lambda} m \right )$. (8)
Температура левого шарика дана $T_{1} = T$. Тогда из (8) находим $T_{2} = \frac{2}{3}T + \frac{ \Lambda}{3C}$.
Ответ: Искомая масса шарика равна 3т, его температура равна $\frac{2}{3}T + \frac{ \Lambda}{3C}$.
Из нерастяжимой легкой нити, блоков и двух металлических шариков собрали систему (см. рис.). Известно, что в такой системе левый шарик (см. рис.) будет двигаться вверх с ускорением, равным $\frac{2}{7} g$. Сначала оба шарика имели разную температуру, ниже $0^{ \circ} C$. Шарики сняли с блоков и опустили в большой резервуар с водой температуры $0^{ \circ} C$. В результате, когда они пришли в тепловое равновесие с водой в резервуаре, на них намерзло некоторое количество льда. Потом шарики повесили на свои места. Выяснилось, что теперь система находится в равновесии, то есть шарики не двигаются. Найдите начальную температуру и массу правого шарика, если известно, что начальная температура левого шарика была равна $T^{ \circ} C$, а его масса равна $m$. Шарики сделаны из одинакового металла, его удельная теплоемкость равна $C$, удельная теплота плавления льда равна $\Lambda$. Блоки легкие, в них трения нет, ускорение свободного падения равно $g$. Теплопотерями пренебречь.
Решение:
Рассмотрим нашу систему из блоков (см. рис.). Обозначаем массу левого и правого шариков как $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно. Тогда второй закон Ньютона дли левого шарика запишется гак: $\vec{T}_{1} + m_{1} \vec{g} = m_{1} \vec{a}_{1}$, где $\vec{a}_{1}$ - ускорение шарика, а $\vec{T}_{1}$ - сила натяжения нити. Спроецируем на вертикальную ось OY:
$T_{1} - m_{1} g = m_{1}a_{1}$. (3)
Для правого шарика (см. рис.) второй закон Ньютона запишется так: $\vec{T}_{2} + m_{2} \vec{g} = m_{2} \vec{a}_{2}$, где $\vec{a}_{2}$ - ускорение этого шарика, а $\vec{T}_{2}$ - сила натяжения нити, соединяющей правый шарик с подвижным блоком. Если левый шарик поднимется вверх на $\Delta l$, то правый шарик вместе с подвижным блоком опустятся на $\Delta l/2$. Это легко понять, потому что если длина куска нити находящейся после неподвижного блока увеличится на $\Delta l$, то длина отрезков нити с обоих сторон подвижного блока увеличится как раз на $\Delta l/2$. Тогда скорость и ускорение правого шарика будут тоже в два раза меньше и направлены в противоположную сторону, чем скорость и ускорение левого шарика. То есть:
$\vec{a}_{2} = - \vec{a}_{1}/2$.
На подвижный блок вверх действуют две силы натяжения нити $\vec{T}_{1}$ (см. рис.). Следовательно со стороны нити, на которой висит правый шарик, на этот блок вниз действует сила $- 2 \vec{T}_{1}$. Тогда сила натяжения $\vec{T}_{2}$, действующая на правый шарик, равна:
$\vec{T}_{2} = 2 \vec{T}_{1}$.
С учетом полученных выражений запишем проекцию второго закона Ньютона для правого шарика на ось OY:
$2T_{1} - m_{2}g = - \frac{1}{2} m_{2}a_{1}$ (4)
Из (3) выражаем силу натяжения: $T_{1} = m_{1} (a_{1} + g)$, и подставляем ее в выражение (4). Получается после некоторых преобразований следующее:
$2m_{1} (a_{1} + g) = m_{2} \left ( g - \frac{1}{2} a_{1} \right ) \Rightarrow m_{2} = \frac{2(a_{1} + g )}{g - \frac{a_{1} }{2} } m_{1}$. (5)
По условию нам дано, что $m_{1} = m$, a $a_{1} = \frac{2}{7}g$, тогда из (5) получаем:
$m_{2} = 3m$. (6)
Сразу заметим, что для условия равновесия системы (ускорение равно нулю $a_{1} = 0$) из (5) очевидно следует условие:
$m_{2} = 2m_{1}$. (7)
Обозначим температуру левого шарика $T^{ \circ} C$, а правого $T_{2}^{ \circ} C$ (это отрицательные величины). При замерзании $\Delta m$ килограммов льда выделяется $Q = \Lambda m$ джоулей тепла. В нашем случае энергия, выделившаяся при намерзании льда идет на нагревание шариков до температуры $0^{ \circ} C$. Тогда уравнения теплового баланса для шариков будет иметь вид:
$\Lambda \Delta m_{1} = Cm_{1} \Delta T_{1}; \Lambda \Delta m_{2} = Cm_{2} \Delta T_{2}$,
где $\Delta m_{1}$ и $\Delta m_{2}$ масса льда, намерзшего на левый и правый шарик соответственно, а $\Delta T_{1} = (0^{ \circ} - T_{1}) = - T_{1}$, а $\Delta T_{2} = (0^{ \circ} - T_{2}) = - T_{2}$. Тогда можно записать массу намерзшую на правый и левый шарик так:
$\Delta m_{1,2} = \frac{C(- T_{1,2} )}{ \Lambda} m_{1,2}$.
Когда шарики повесили на свои места масс левого шарика стала $m + \frac{C(- T_{1})}{ \Lambda} m$, и с учетом (6) масса правого стала $3m + \frac{C(- T_{2})}{ \Lambda} 3m$. По условию теперь система находится в равновесии, следовательно из (7):
$3m + \frac{C(-T_{2} )}{ \Lambda} 3m = 2 \left ( m + \frac{C(- T_{1} )}{ \Lambda} m \right )$. (8)
Температура левого шарика дана $T_{1} = T$. Тогда из (8) находим $T_{2} = \frac{2}{3}T + \frac{ \Lambda}{3C}$.
Ответ: Искомая масса шарика равна 3т, его температура равна $\frac{2}{3}T + \frac{ \Lambda}{3C}$.
