Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10175
2019-02-12 
Точечный заряд $q > 0$ летит в плоскости xy под действием внешних электрического и магнитного полей. Измерив одновременно проекции скорости $V_{x}$ и $V_{y}$, экспериментатор наносит на график $V_{x} (V_{y})$ точку, соответствующую измерению в данный момент. Точки, соответствующие последовательным моментам времени, образовали на графике кривую, выходящую из начала координат, и заканчивающуюся в точке $(2u, 0)$. Кривая состоит из двух полуокружностей с радиусами $2u$ и $u$ (см. рис.), переходящих одна в другую в точке A, которой соответствует момент времени $t_{A}$. В моменты времени $t < t_{A}$ внешнее магнитное поле однородно, а его индукция равна $B_{0}$; при $t > t_{A}$ магнитное поле однородно, а его индукция равна $8B_{0}$. Найдите напряженность внешнего электрического поля, действующего на частицу, при $t < t_{A}$ и $t > t_{A}$. Силой тяжести, трением и электромагнитным излучением точечного заряда пренебречь.
Решение:
Поскольку частица движется в плоскости ху, магнитное поле направлено вдоль оси z. Рассмотрим сначала $t < t_{A}$.
Перейдем в систему отсчета, движущуюся по оси у со скоростью $\vec{v}_{отн} = 2u$. Чтобы сделать это, следует в каждый момент времени вычесть вектор $\vec{v}_{отн}$ из скорости частицы $\vec{V}$. Построим график $V_{x} (V_{y})$ на интервале $t < t_{A}$ в этой системе отсчета (см. рис.): понятно, что полуокружность сдвинется здесь вправо так, что ее центр окажется в начале координат.
Данная система отсчета является инерциальной, значит в каждый момент времени полная сила, действующая на частицу, в этой системе такая же, как в покоящейся относительно экспериментатора. В неподвижной системе отсчета на частицу действовала сила Лоренца $F_{л}$, равная по модулю $qB_{0}V$, и электростатическая сила $qE$. В движущейся системе отсчета скорость частицы равна
$\vec{V}_{1} = \vec{V} - \vec{v}_{отн}$,
а сила Лоренца оказалась равна $F_{л}^{ \prime}$, при этом она, очевидно, изменилась:
$\vec{F}_{л}^{ \prime} = \vec{F}_{л} - \Delta \vec{F}$.
Понятно, что вектор $\Delta \vec{F}$ равен по модулю $qv_{отн}B_{0}$ и правилу левой руки перпендикулярен и $\vec{v}_{отн}$, и магнитному полю, т.е. направлен против оси х, см рис. Так как полная сила, действующая на частицу, измениться от перехода в другую инерциальную систему не может, электростатическая сила в этой системе отсчета должна увеличиться ровно на $\Delta F$, т.е. напряженность электрического поля должна увеличиться на вектор $\Delta \vec{F}/q$ длиной $2B_{0} u$, направленный против оси х. Итак, мы доказали, что при переходе в движущуюся систему отсчета однородное магнитное поле порождает однородное электрическое.
Можно убедиться, что в данной движущейся системе отсчета при $t < t_{A}$ напряженность электрического поля равна нулю. Действительно, из рис. следует, что скорость частицы постоянна по модулю. Значит, на частицу не действует электрическая сила, ведь она изменяла бы ее потенциал, и вместе с тем скорость. Итак, частица двигается в этой системе отсчета по окружности.
Переходя в исходную систему отсчета, получим, что к нулевой напряженности следует добавить вектор $2B_{0}u$, направленный вдоль оси х. Траектория частицы в этой системе координат превратится в циклоиду.
Аналогично можно рассмотреть вторую полуокружность, перейдя в систему отсчета, движущуюся вдоль оси у со скоростью $3u$. В ней график $V_{x} (v_{y})$ при $t > t_{A}$ снова имеет вид полуокружности с центром в начале координат. Мы уже видели, что это означает, что электрического поля в данной системе отсчета нет. Возвращаясь в неподвижную систему отсчета, мы приобретем напряженность $E = 24B_{0}u$, направленную вдоль оси х.
Ответ: электрическое поле однородно, направлено вдоль оси х. При $t < t_{A}$ его напряженность равна $2B_{0}u$; при $t < t_{A}$ она увеличивается до $24B_{0}u$.
Примечание. При переключении магнитного поля в системе по закону электромагнитной индукции Фарадея возникает вихревое электрическое поле $E(r)$, напряженность которого зависит от расстояния до центра вихря. Например, рассматривая вихрь на расстоянии $r$ от центра, удобно выбрать в качестве контура окружность радиуса $r$, тогда закон примет вид $\mathcal{E} = - \Delta \Phi/ \tau$, где $\mathcal{E} = 2 \pi r E$ - ЭДС в круговом контуре, $\Delta \Phi = 7B_{0} \pi r^{2}$ - изменение магнитного потока через контур $\tau$ - вермя, за которое переключают магнитное поле. Отсюда величина этого поля $E(r) = \Delta \Phi/(2 \pi r \tau) = 7B_{0} \pi r^{2}/(2 \pi r \tau) = 7 B_{0}r/(2 \tau)$.
Итак, в $\tau$-окрестности момента $t_{A}$ напряженность магнитного поля зависит от точки пространства $r$ и от того, как быстро переключают магнитное поле. Независимо от того, насколько мало $\tau$, импульс электрической силы вихревого поля $qE$ "успеет" изменить импульс частицы на конечную величину $qE \tau = 7B_{0}r/2$. При этом если $\tau$ мало, частица в момент $t_{A}$ "прыгнет" в другую точку графика $V_{x}(V_{y})$, если только в этот момент времени она не оказалась случайно ровно в центре вихря (когда $r = 0$).
Интересно, что согласно ответу задачи, внешнее электрическое поле резко изменяют в момент $t_{A}$. Оказывается, что при этом образуется вихревое магнитное поле, и, если вихревое электрическое поле скачком меняло скорость частицы, вихревое магнитное скачком ее поворачивает.
Глядя на график из условия, видим, что в точке A нет ни изломов, ни скачков. Так может быть, лишь если в момент $t_{A}$ частица оказалась ровно на оси обсуждаемого электромагнитного вихря, положение которой определяется граничными условиями, не оговоренными в условии задачи.
Точечный заряд $q > 0$ летит в плоскости xy под действием внешних электрического и магнитного полей. Измерив одновременно проекции скорости $V_{x}$ и $V_{y}$, экспериментатор наносит на график $V_{x} (V_{y})$ точку, соответствующую измерению в данный момент. Точки, соответствующие последовательным моментам времени, образовали на графике кривую, выходящую из начала координат, и заканчивающуюся в точке $(2u, 0)$. Кривая состоит из двух полуокружностей с радиусами $2u$ и $u$ (см. рис.), переходящих одна в другую в точке A, которой соответствует момент времени $t_{A}$. В моменты времени $t < t_{A}$ внешнее магнитное поле однородно, а его индукция равна $B_{0}$; при $t > t_{A}$ магнитное поле однородно, а его индукция равна $8B_{0}$. Найдите напряженность внешнего электрического поля, действующего на частицу, при $t < t_{A}$ и $t > t_{A}$. Силой тяжести, трением и электромагнитным излучением точечного заряда пренебречь.
Решение:
Поскольку частица движется в плоскости ху, магнитное поле направлено вдоль оси z. Рассмотрим сначала $t < t_{A}$.
Перейдем в систему отсчета, движущуюся по оси у со скоростью $\vec{v}_{отн} = 2u$. Чтобы сделать это, следует в каждый момент времени вычесть вектор $\vec{v}_{отн}$ из скорости частицы $\vec{V}$. Построим график $V_{x} (V_{y})$ на интервале $t < t_{A}$ в этой системе отсчета (см. рис.): понятно, что полуокружность сдвинется здесь вправо так, что ее центр окажется в начале координат.
Данная система отсчета является инерциальной, значит в каждый момент времени полная сила, действующая на частицу, в этой системе такая же, как в покоящейся относительно экспериментатора. В неподвижной системе отсчета на частицу действовала сила Лоренца $F_{л}$, равная по модулю $qB_{0}V$, и электростатическая сила $qE$. В движущейся системе отсчета скорость частицы равна
$\vec{V}_{1} = \vec{V} - \vec{v}_{отн}$,
а сила Лоренца оказалась равна $F_{л}^{ \prime}$, при этом она, очевидно, изменилась:
$\vec{F}_{л}^{ \prime} = \vec{F}_{л} - \Delta \vec{F}$.
Понятно, что вектор $\Delta \vec{F}$ равен по модулю $qv_{отн}B_{0}$ и правилу левой руки перпендикулярен и $\vec{v}_{отн}$, и магнитному полю, т.е. направлен против оси х, см рис. Так как полная сила, действующая на частицу, измениться от перехода в другую инерциальную систему не может, электростатическая сила в этой системе отсчета должна увеличиться ровно на $\Delta F$, т.е. напряженность электрического поля должна увеличиться на вектор $\Delta \vec{F}/q$ длиной $2B_{0} u$, направленный против оси х. Итак, мы доказали, что при переходе в движущуюся систему отсчета однородное магнитное поле порождает однородное электрическое.
Можно убедиться, что в данной движущейся системе отсчета при $t < t_{A}$ напряженность электрического поля равна нулю. Действительно, из рис. следует, что скорость частицы постоянна по модулю. Значит, на частицу не действует электрическая сила, ведь она изменяла бы ее потенциал, и вместе с тем скорость. Итак, частица двигается в этой системе отсчета по окружности.
Переходя в исходную систему отсчета, получим, что к нулевой напряженности следует добавить вектор $2B_{0}u$, направленный вдоль оси х. Траектория частицы в этой системе координат превратится в циклоиду.
Аналогично можно рассмотреть вторую полуокружность, перейдя в систему отсчета, движущуюся вдоль оси у со скоростью $3u$. В ней график $V_{x} (v_{y})$ при $t > t_{A}$ снова имеет вид полуокружности с центром в начале координат. Мы уже видели, что это означает, что электрического поля в данной системе отсчета нет. Возвращаясь в неподвижную систему отсчета, мы приобретем напряженность $E = 24B_{0}u$, направленную вдоль оси х.
Ответ: электрическое поле однородно, направлено вдоль оси х. При $t < t_{A}$ его напряженность равна $2B_{0}u$; при $t < t_{A}$ она увеличивается до $24B_{0}u$.
Примечание. При переключении магнитного поля в системе по закону электромагнитной индукции Фарадея возникает вихревое электрическое поле $E(r)$, напряженность которого зависит от расстояния до центра вихря. Например, рассматривая вихрь на расстоянии $r$ от центра, удобно выбрать в качестве контура окружность радиуса $r$, тогда закон примет вид $\mathcal{E} = - \Delta \Phi/ \tau$, где $\mathcal{E} = 2 \pi r E$ - ЭДС в круговом контуре, $\Delta \Phi = 7B_{0} \pi r^{2}$ - изменение магнитного потока через контур $\tau$ - вермя, за которое переключают магнитное поле. Отсюда величина этого поля $E(r) = \Delta \Phi/(2 \pi r \tau) = 7B_{0} \pi r^{2}/(2 \pi r \tau) = 7 B_{0}r/(2 \tau)$.
Итак, в $\tau$-окрестности момента $t_{A}$ напряженность магнитного поля зависит от точки пространства $r$ и от того, как быстро переключают магнитное поле. Независимо от того, насколько мало $\tau$, импульс электрической силы вихревого поля $qE$ "успеет" изменить импульс частицы на конечную величину $qE \tau = 7B_{0}r/2$. При этом если $\tau$ мало, частица в момент $t_{A}$ "прыгнет" в другую точку графика $V_{x}(V_{y})$, если только в этот момент времени она не оказалась случайно ровно в центре вихря (когда $r = 0$).
Интересно, что согласно ответу задачи, внешнее электрическое поле резко изменяют в момент $t_{A}$. Оказывается, что при этом образуется вихревое магнитное поле, и, если вихревое электрическое поле скачком меняло скорость частицы, вихревое магнитное скачком ее поворачивает.
Глядя на график из условия, видим, что в точке A нет ни изломов, ни скачков. Так может быть, лишь если в момент $t_{A}$ частица оказалась ровно на оси обсуждаемого электромагнитного вихря, положение которой определяется граничными условиями, не оговоренными в условии задачи.
