Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10174
2019-02-12 
Равномерно заряженная тонкая нить длины $L$ имеет заряд $Q$. Нить положили неподвижно на скользкий ровный стол, при этом ее натяжение в середине оказалось равно $T_{0}$. Затем нить продели в две маленькие бусинки с зарядом $q$ каждая. Бусинки прикрепили к столу на расстоянии $l$ друг от друга, при этом продетая в них нить расположилась на столе прямолинейно, симметрично относительно бусинок. Сила трения между нитью и бусинками отсутствует. Чему теперь окажется равным натяжение нити в середине? Нить нерастяжима, заряды нити и бусинок одноименны. Размером бусинок пренебречь, нить невесома.
Решение:
Будем для определенности считать заряды бусинок и нити положительными. Рассмотрим левую половину нити (на рис. выделена серым).
Первоначально на нее действуют две внешние силы: сила натяжежения со стороны правой половины нити $T_{0}$ и сила электростатического отталкивания от правой половины нити $F_{0}$. Эти силы должны компенсировать друг друга, так как нить первоначально лежит на столе неподвижно. Итак, $F_{0}$ по модулю равна $T_{0}$.
Когда на нить надели бусинки, половинки нити отталкиваются с прежней силой $F_{0}$, поскольку заряд нити не изменился. Однако каждая заряженная бусина действует дополнительно на рассматриваемую (левую) половину нити, поэтому сила натяжения должна теперь измениться.
Обозначим через $E_{1}$ напряженность, создаваемую левой половиной нити в точке A, где расположена левая бусина, а через $E_{2}$ - напряженность, создаваемую левой половиной нити в точке B, где расположена правая бусина (см. рис.).
По третьему закону Ньютона сила, с которой каждая бусина действует на рассматриваемую половину нити равна по модулю и противоположна по направлению силам $qE_{1}$ и $qE_{2}$, с которыми эта половина нити действует на бусинки. Итак, условием равновесия левой половины нити теперь будет
$T = F_{0} + q(E_{1} + E_{2})$. (1)
Найдем $E_{1}$ - напряженность левого куска нити в точке А. Из симметрии задачи понятно, что $E_{1}$ параллельна нити. Координатную ось направим вправо, так что напряженность считаем положительной, если она направлена вправо.
Пусть электрический потенциал от левого куска нити в точке A равен $\phi$. Рассмотрим точку $A^{ \prime}$, сдвинутую от А по полю на малую величину $\Delta x$. Потенциал куска нити $\phi^{ \prime}$ в $A^{ \prime}$ меньше, чем $\phi$ на $E_{1} \Delta x$, поэтому
$E_{1} = \frac{ \phi - \phi^{ \prime} }{ \Delta x}$, (2)
и задача о нахождении напряженности свелась к нахождении разности потенциалов.
Придумаем систему зарядов, чтобы она создавала в точке А потенциал, в точности равный $\Phi = \phi - \phi^{ \prime}$. Если наш кусок нити сдвинуть из исходного положения влево на $\Delta x$ и сменить знак его заряда, то в точке А он будет создавать потенциал $- \phi^{ \prime}$ (см. рис., сдвинутый кусок нити заштрихован). Легко понять, что искомая система зарядов должна состоять из исходного куска и описанного сдвинутого куска с измененным знаком заряда, ведь по принципу суперпозиции потенциал такой системы $\Phi$ в точке А складывается из потенциалов двух кусков, $\phi$ и $- \phi^{ \prime}$.
Однако, так расположенные куски компенсируют свой заряд во всех точках, где нити накладываются, т.е. везде, кроме хвостиков нити длиной $\Delta x$ по краям (см. рис.) с зарядами $\Delta q = Q \Delta x/L$. Итак, достаточно посчитать потенциал, который хвостики создают в точке А. Выбирая $\Delta x$ малым, получим, что размеры этих хвостиков малы по сравнению с расстояниями от них до точки А. Значит, вычисляя потенциал от хвастиков в точке А, можно пользоваться приближением для потенциалов точечных зарядов, находящихся от А на расстояниях $l/2$ и $(L - l)/2$ т.е.
$\Phi = \phi - \phi^{ \prime} = \frac{kQ \Delta x / L}{l/2} - \frac{kQ \Delta x / L}{(L- l)/2} = \frac{2kQ \Delta x}{L} \left ( \frac{1}{l} - \frac{1}{L - l} \right )$.
Подставляя это в (2), найдем
$E_{1} = \frac{2kQ}{L} \left ( \frac{1}{l} - \frac{1}{L - l} \right )$.
Заметьте, это выражение может иметь различный знак, в зависимости от соотношения $L$ и $l$; при $L = 2l$ оно меняет знак.
Рассуждая точно также, найдем напряженность $E_{2}$:
$E_{2} = \frac{2kQ}{L} \left ( \frac{1}{l} - \frac{1}{L + l} \right )$,
вычисления здесь снова сведутся к потенциалам двух точечных зарядов, на расстояниях $l/2$ и $(L + l)/2$. Заметим, $E_{2}$ всегда положительна.
Подставляя результат в (1), получим ответ.
Ответ: Натяжение нити равно
$T = T_{0} + \frac{2kQq}{L} \left ( \frac{2}{l} - \frac{1}{L - l} - \frac{1}{L + l} \right )$.
Равномерно заряженная тонкая нить длины $L$ имеет заряд $Q$. Нить положили неподвижно на скользкий ровный стол, при этом ее натяжение в середине оказалось равно $T_{0}$. Затем нить продели в две маленькие бусинки с зарядом $q$ каждая. Бусинки прикрепили к столу на расстоянии $l$ друг от друга, при этом продетая в них нить расположилась на столе прямолинейно, симметрично относительно бусинок. Сила трения между нитью и бусинками отсутствует. Чему теперь окажется равным натяжение нити в середине? Нить нерастяжима, заряды нити и бусинок одноименны. Размером бусинок пренебречь, нить невесома.
Решение:
Будем для определенности считать заряды бусинок и нити положительными. Рассмотрим левую половину нити (на рис. выделена серым).
Первоначально на нее действуют две внешние силы: сила натяжежения со стороны правой половины нити $T_{0}$ и сила электростатического отталкивания от правой половины нити $F_{0}$. Эти силы должны компенсировать друг друга, так как нить первоначально лежит на столе неподвижно. Итак, $F_{0}$ по модулю равна $T_{0}$.
Когда на нить надели бусинки, половинки нити отталкиваются с прежней силой $F_{0}$, поскольку заряд нити не изменился. Однако каждая заряженная бусина действует дополнительно на рассматриваемую (левую) половину нити, поэтому сила натяжения должна теперь измениться.
Обозначим через $E_{1}$ напряженность, создаваемую левой половиной нити в точке A, где расположена левая бусина, а через $E_{2}$ - напряженность, создаваемую левой половиной нити в точке B, где расположена правая бусина (см. рис.).
По третьему закону Ньютона сила, с которой каждая бусина действует на рассматриваемую половину нити равна по модулю и противоположна по направлению силам $qE_{1}$ и $qE_{2}$, с которыми эта половина нити действует на бусинки. Итак, условием равновесия левой половины нити теперь будет
$T = F_{0} + q(E_{1} + E_{2})$. (1)
Найдем $E_{1}$ - напряженность левого куска нити в точке А. Из симметрии задачи понятно, что $E_{1}$ параллельна нити. Координатную ось направим вправо, так что напряженность считаем положительной, если она направлена вправо.
Пусть электрический потенциал от левого куска нити в точке A равен $\phi$. Рассмотрим точку $A^{ \prime}$, сдвинутую от А по полю на малую величину $\Delta x$. Потенциал куска нити $\phi^{ \prime}$ в $A^{ \prime}$ меньше, чем $\phi$ на $E_{1} \Delta x$, поэтому
$E_{1} = \frac{ \phi - \phi^{ \prime} }{ \Delta x}$, (2)
и задача о нахождении напряженности свелась к нахождении разности потенциалов.
Придумаем систему зарядов, чтобы она создавала в точке А потенциал, в точности равный $\Phi = \phi - \phi^{ \prime}$. Если наш кусок нити сдвинуть из исходного положения влево на $\Delta x$ и сменить знак его заряда, то в точке А он будет создавать потенциал $- \phi^{ \prime}$ (см. рис., сдвинутый кусок нити заштрихован). Легко понять, что искомая система зарядов должна состоять из исходного куска и описанного сдвинутого куска с измененным знаком заряда, ведь по принципу суперпозиции потенциал такой системы $\Phi$ в точке А складывается из потенциалов двух кусков, $\phi$ и $- \phi^{ \prime}$.
Однако, так расположенные куски компенсируют свой заряд во всех точках, где нити накладываются, т.е. везде, кроме хвостиков нити длиной $\Delta x$ по краям (см. рис.) с зарядами $\Delta q = Q \Delta x/L$. Итак, достаточно посчитать потенциал, который хвостики создают в точке А. Выбирая $\Delta x$ малым, получим, что размеры этих хвостиков малы по сравнению с расстояниями от них до точки А. Значит, вычисляя потенциал от хвастиков в точке А, можно пользоваться приближением для потенциалов точечных зарядов, находящихся от А на расстояниях $l/2$ и $(L - l)/2$ т.е.
$\Phi = \phi - \phi^{ \prime} = \frac{kQ \Delta x / L}{l/2} - \frac{kQ \Delta x / L}{(L- l)/2} = \frac{2kQ \Delta x}{L} \left ( \frac{1}{l} - \frac{1}{L - l} \right )$.
Подставляя это в (2), найдем
$E_{1} = \frac{2kQ}{L} \left ( \frac{1}{l} - \frac{1}{L - l} \right )$.
Заметьте, это выражение может иметь различный знак, в зависимости от соотношения $L$ и $l$; при $L = 2l$ оно меняет знак.
Рассуждая точно также, найдем напряженность $E_{2}$:
$E_{2} = \frac{2kQ}{L} \left ( \frac{1}{l} - \frac{1}{L + l} \right )$,
вычисления здесь снова сведутся к потенциалам двух точечных зарядов, на расстояниях $l/2$ и $(L + l)/2$. Заметим, $E_{2}$ всегда положительна.
Подставляя результат в (1), получим ответ.
Ответ: Натяжение нити равно
$T = T_{0} + \frac{2kQq}{L} \left ( \frac{2}{l} - \frac{1}{L - l} - \frac{1}{L + l} \right )$.
