Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10173
2019-02-12 
С идеальным одноатомным газом совершают циклический процесс. Сначала давление газа изохорически увеличивается в 2 раза. Затем его объем увеличивается в 3 раза изобарически. Далее сосуд с газом помещают в герметичный контейнер, объем которого в 4 раза больше первоначального объема газа; в контейнере вакуум. Крышку сосуда с газом быстро открывают, так что газ вытекает наружу, в контейнер; в этом процессе контейнер был теплоизолирован. Затем давление газа изохорически уравнивают с первоначальным; наконец, газ изобарически выдавливают из контейнера обратно в сосуд, и его объем оказывается равным первоначальному. Далее цикл повторяют. Найдите КПД тепловой машины, работающей по такому циклу.
Решение:
Изобразим на диаграмме $p(V)$ описанный циклический процесс (см рис.). Обозначим начальные параметры газа - давление, объем и температуру - через $p_{1}, V_{1}, T_{1}$; пусть количество вещества газа равно $\nu$, при этом, разумеется, $p_{1} V_{1} = \nu RT_{1}$.
Участок 1-2 соответствует изохорическому нагреванию, в ходе которого давление газа увеличивается в 2 раза. Участок 2-3 соответствует изобарическому нагреванию, в ходе которого объем газа увеличивается в 3 раза.
Далее газ по условию расширяется в вакуум. Данный процесс, очевидно, не является квазистатическим: такое расширение невозможно осуществить медленно. По условию задачи в этом расширении газ не получает теплоту - контейнер теплоизолирован в данном процессе. Но и работу в этом процессе газ совершить не может: для этого нужны внешние силы, против которых работа будет совершаться (например, при изобрарическом расширении работа газа совершается против силы тяжести, действующей на поршень, либо против сил атмосферного давления, либо против любой другой силы, которая удерживает поршень в сосуде). При расширении в вакуум газ не совершает работы.
Мы получили, что в процессе 3-4 газ не совершает работы и не получает теплоты. Значит, по первому началу термодинамики, внутренняя энергия газа осталась постоянной. При этом температура газа также не может измениться.
Итак, точки 3 и 4 лежат на одной изотерме. Обратите внимание, что, несмотря на это, данный процесс нельзя назвать изотермическим, ведь он не является квазиравновесным, так что понятие "температура газа" в промежутке между точками 3 и 4 просто не определена. По этой же причине работа газа между точками 3 и 4 не соответствует работе газа в изотермическом процессе (площади под пунктирной изотермой на графике $p(V)$).
Далее, участок 4-5 соответствует изохорическому охлаждению, в ходе которого давление газа уменьшилось до первоначального; наконец, участок 5-1 соответствует возвращению газа в исходное состояние.
Написав уравнение Клапейрона-Менделеева для всех точек, легко расставить значения давлений, объемов и температур на полученном графике. Так, например, в точке 3 давление и объем будут равны по условию $p_{3} = 2P_{1}, V_{3} = 3V_{1}$ (и, следовательно, температура будет $6T_{1}$). В точке 4 температура останется той же, а объем станет равным $V_{4} = 4V_{1}$, значит давление будет равно $p_{3}V_{3}/V_{4} = 3p_{1}/2$. Мы подписали около каждой точки соответствующую ей температуру, выразив ее через минимальную температуру в цикле $T_{1}$ (см. рис.).
Вычислим работу $A$ газа за цикл. На участках 1-2, 3-4, 4-5 газ работы не совершает. На участке 2-3 работа газа положительна и численно равна площади под процессом 2-3, т.е. $4p_{1}V_{1}$. На участке 5-1 работа газа отрицательна и численно равна площади под процессом 5-1, т.е. $-3p_{1} V_{1}$. Итого, газ совершает за цикл работу $A = 4p_{1} V_{1} - 3p_{1} V_{1} = p_{1} V_{1}$.
Найдем теплоту $Q$, которую газ получил в течение цикла. На участке 3-4 газ теплоту не получает; на участках 4-5 и 5-1 он ее отдает. Газ получает теплоту на участке 1-2, причем, так как это - изохорическое нагревание на $T_{2} - T_{1} = T_{1}$, данная теплота равна $3 \nu RT_{1} /2$. Также газ получает теплоту на участке 2-3, причем, так как это - изобарическое нагревание на $T_{3} - T_{2} = 4T_{1}$, данная теплота равна $5 \nu R(4T_{1} )/2 = 10 \nu RT_{1}$.
КПД тепловой машины равен по определению
$\frac{A}{Q} = \frac{2p_{1}V_{1} }{23 \nu RT_{1} } 100 = \frac{2}{23} \cdot 100 \approx 8,7$ %
Ответ: КПД равен 8,7%.
С идеальным одноатомным газом совершают циклический процесс. Сначала давление газа изохорически увеличивается в 2 раза. Затем его объем увеличивается в 3 раза изобарически. Далее сосуд с газом помещают в герметичный контейнер, объем которого в 4 раза больше первоначального объема газа; в контейнере вакуум. Крышку сосуда с газом быстро открывают, так что газ вытекает наружу, в контейнер; в этом процессе контейнер был теплоизолирован. Затем давление газа изохорически уравнивают с первоначальным; наконец, газ изобарически выдавливают из контейнера обратно в сосуд, и его объем оказывается равным первоначальному. Далее цикл повторяют. Найдите КПД тепловой машины, работающей по такому циклу.
Решение:
Изобразим на диаграмме $p(V)$ описанный циклический процесс (см рис.). Обозначим начальные параметры газа - давление, объем и температуру - через $p_{1}, V_{1}, T_{1}$; пусть количество вещества газа равно $\nu$, при этом, разумеется, $p_{1} V_{1} = \nu RT_{1}$.
Участок 1-2 соответствует изохорическому нагреванию, в ходе которого давление газа увеличивается в 2 раза. Участок 2-3 соответствует изобарическому нагреванию, в ходе которого объем газа увеличивается в 3 раза.
Далее газ по условию расширяется в вакуум. Данный процесс, очевидно, не является квазистатическим: такое расширение невозможно осуществить медленно. По условию задачи в этом расширении газ не получает теплоту - контейнер теплоизолирован в данном процессе. Но и работу в этом процессе газ совершить не может: для этого нужны внешние силы, против которых работа будет совершаться (например, при изобрарическом расширении работа газа совершается против силы тяжести, действующей на поршень, либо против сил атмосферного давления, либо против любой другой силы, которая удерживает поршень в сосуде). При расширении в вакуум газ не совершает работы.
Мы получили, что в процессе 3-4 газ не совершает работы и не получает теплоты. Значит, по первому началу термодинамики, внутренняя энергия газа осталась постоянной. При этом температура газа также не может измениться.
Итак, точки 3 и 4 лежат на одной изотерме. Обратите внимание, что, несмотря на это, данный процесс нельзя назвать изотермическим, ведь он не является квазиравновесным, так что понятие "температура газа" в промежутке между точками 3 и 4 просто не определена. По этой же причине работа газа между точками 3 и 4 не соответствует работе газа в изотермическом процессе (площади под пунктирной изотермой на графике $p(V)$).
Далее, участок 4-5 соответствует изохорическому охлаждению, в ходе которого давление газа уменьшилось до первоначального; наконец, участок 5-1 соответствует возвращению газа в исходное состояние.
Написав уравнение Клапейрона-Менделеева для всех точек, легко расставить значения давлений, объемов и температур на полученном графике. Так, например, в точке 3 давление и объем будут равны по условию $p_{3} = 2P_{1}, V_{3} = 3V_{1}$ (и, следовательно, температура будет $6T_{1}$). В точке 4 температура останется той же, а объем станет равным $V_{4} = 4V_{1}$, значит давление будет равно $p_{3}V_{3}/V_{4} = 3p_{1}/2$. Мы подписали около каждой точки соответствующую ей температуру, выразив ее через минимальную температуру в цикле $T_{1}$ (см. рис.).
Вычислим работу $A$ газа за цикл. На участках 1-2, 3-4, 4-5 газ работы не совершает. На участке 2-3 работа газа положительна и численно равна площади под процессом 2-3, т.е. $4p_{1}V_{1}$. На участке 5-1 работа газа отрицательна и численно равна площади под процессом 5-1, т.е. $-3p_{1} V_{1}$. Итого, газ совершает за цикл работу $A = 4p_{1} V_{1} - 3p_{1} V_{1} = p_{1} V_{1}$.
Найдем теплоту $Q$, которую газ получил в течение цикла. На участке 3-4 газ теплоту не получает; на участках 4-5 и 5-1 он ее отдает. Газ получает теплоту на участке 1-2, причем, так как это - изохорическое нагревание на $T_{2} - T_{1} = T_{1}$, данная теплота равна $3 \nu RT_{1} /2$. Также газ получает теплоту на участке 2-3, причем, так как это - изобарическое нагревание на $T_{3} - T_{2} = 4T_{1}$, данная теплота равна $5 \nu R(4T_{1} )/2 = 10 \nu RT_{1}$.
КПД тепловой машины равен по определению
$\frac{A}{Q} = \frac{2p_{1}V_{1} }{23 \nu RT_{1} } 100 = \frac{2}{23} \cdot 100 \approx 8,7$ %
Ответ: КПД равен 8,7%.
