Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10172
2019-02-12 
Полупрозрачное зеркало пропускает некоторую долю световой энергии, а остальное отражает, как обычное зеркало. На плоское полупрозрачное зеркало поставили полупрозрачную зеркальную чашку сферической формы. Снизу, на расстоянии $a$ от плоского зеркала, на оси симметрии чашки, расположен источник света А (см. рис.). Вычислите координаты всех изображений источника А, укажите, действительные изображения или мнимые. Радиус кривизны чашки $R$. Считайте, что изображения создаются лучами, слабо отклоняющимися от вертикали (приближение параксиальных лучей).
Решение:
Будем задавать координаты изображений, отсчитывая их от точки соприкосновения чашки и плоского зеркала. Ось координат z направим вниз; из симметрии понятно, что все изображения источника будут лежать где-то на этой оси.
Часть лучей от источника отразятся от плоского зеркала, поэтому система породит мнимое изображение в точке с координатой $z_{0} = - a$. Это просто изображение источника в плоском зеркале (см. рис.). Знак "минус" показывает, что изображение находится "за зеркалом", т.е. является мнимым. Напомним, что мнимое изображение - это точка, в которой пересекаются не сами лучи, а их продолжения.
Часть лучей пройдут плоское зеркало насквозь. Далее световой поток снова делится на две части. Рассмотрим их по порядку.
- Свет может отразиться от сферической поверхности (cм. рис.). Известно, что сферическое выпуклое зеркало радиуса $R$ "работает" как рассеивающая линза с фокусным расстоянием $F = R/2$, то есть в результате получится изображение, координаты которого дает формула тонкой линзы
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = - \frac{1}{F}$,
где $a$ - координата источника, $b$ - координата изображения, а $- 1/F$ - оптическая сила сферического зеркала (знак "минус" отражает тот факт, что зеркало выпуклое, рассеивающее). Выражая отсюда $b$, получим координату изображения
$z_{1} \equiv b = - \frac{Fa}{F + a} = - \frac{Ra}{R + 2a} < 0$ (1)
Координата снова получилась отрицательной, это значит, что если рассматривать сферическое зеркало со стороны источника, изображение снова лежит за зеркалом, т.е. снова мнимое.
- Если свет проходит сквозь сферическую поверхность, он не взаимодействовал с зеркалами вообще, и изображений не создаст.
Рассмотрим свет, отразившийся от сферы. Падая на плоскость, он снова делится на две части. Поток, проходящий плоскость насквозь, уже рассмотрен на рис. Поток же, отразившийся от плоскости, создает изображение в точке с координатами $- z_{1} > 0$: мнимое изображение $z_{1}$ отражается от плоскости. Данное изображение также будет мнимым (ем. рис.).
Далее свет может отразиться от сферы второй раз. При этом фактически, рассеяв свет дважды, зеркало сработает как система с оптической силой $- 2/F$, поэтому изображение получится в точке с координатой
$z_{2} = - \frac{Ra}{R + 4a} < 0$
(эта формула получается из (1) заменой $F$ на $F/2$ и, соответственно, $R$ на $R/2$).
Повторяя рассуждения, получим, что свет, отразившись $n$ раз от сферы, сформирует мнимое изображение в точке
$z_{n} = - \frac{Ra}{R + 2na}$. (2)
Последующее отражение доли этого света в плоскости даст изображение в точке $- z_{n}$.
Ответ: Все изображения мнимые, координаты $z_{n}$ задаются формулой (2) при $n = 0, 1, 2 \cdots$ Кроме того, для $n > 0$ существуют мнимые изображения в точках $- z_{n}$.
Полупрозрачное зеркало пропускает некоторую долю световой энергии, а остальное отражает, как обычное зеркало. На плоское полупрозрачное зеркало поставили полупрозрачную зеркальную чашку сферической формы. Снизу, на расстоянии $a$ от плоского зеркала, на оси симметрии чашки, расположен источник света А (см. рис.). Вычислите координаты всех изображений источника А, укажите, действительные изображения или мнимые. Радиус кривизны чашки $R$. Считайте, что изображения создаются лучами, слабо отклоняющимися от вертикали (приближение параксиальных лучей).
Решение:
Будем задавать координаты изображений, отсчитывая их от точки соприкосновения чашки и плоского зеркала. Ось координат z направим вниз; из симметрии понятно, что все изображения источника будут лежать где-то на этой оси.
Часть лучей от источника отразятся от плоского зеркала, поэтому система породит мнимое изображение в точке с координатой $z_{0} = - a$. Это просто изображение источника в плоском зеркале (см. рис.). Знак "минус" показывает, что изображение находится "за зеркалом", т.е. является мнимым. Напомним, что мнимое изображение - это точка, в которой пересекаются не сами лучи, а их продолжения.
Часть лучей пройдут плоское зеркало насквозь. Далее световой поток снова делится на две части. Рассмотрим их по порядку.
- Свет может отразиться от сферической поверхности (cм. рис.). Известно, что сферическое выпуклое зеркало радиуса $R$ "работает" как рассеивающая линза с фокусным расстоянием $F = R/2$, то есть в результате получится изображение, координаты которого дает формула тонкой линзы
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = - \frac{1}{F}$,
где $a$ - координата источника, $b$ - координата изображения, а $- 1/F$ - оптическая сила сферического зеркала (знак "минус" отражает тот факт, что зеркало выпуклое, рассеивающее). Выражая отсюда $b$, получим координату изображения
$z_{1} \equiv b = - \frac{Fa}{F + a} = - \frac{Ra}{R + 2a} < 0$ (1)
Координата снова получилась отрицательной, это значит, что если рассматривать сферическое зеркало со стороны источника, изображение снова лежит за зеркалом, т.е. снова мнимое.
- Если свет проходит сквозь сферическую поверхность, он не взаимодействовал с зеркалами вообще, и изображений не создаст.
Рассмотрим свет, отразившийся от сферы. Падая на плоскость, он снова делится на две части. Поток, проходящий плоскость насквозь, уже рассмотрен на рис. Поток же, отразившийся от плоскости, создает изображение в точке с координатами $- z_{1} > 0$: мнимое изображение $z_{1}$ отражается от плоскости. Данное изображение также будет мнимым (ем. рис.).
Далее свет может отразиться от сферы второй раз. При этом фактически, рассеяв свет дважды, зеркало сработает как система с оптической силой $- 2/F$, поэтому изображение получится в точке с координатой
$z_{2} = - \frac{Ra}{R + 4a} < 0$
(эта формула получается из (1) заменой $F$ на $F/2$ и, соответственно, $R$ на $R/2$).
Повторяя рассуждения, получим, что свет, отразившись $n$ раз от сферы, сформирует мнимое изображение в точке
$z_{n} = - \frac{Ra}{R + 2na}$. (2)
Последующее отражение доли этого света в плоскости даст изображение в точке $- z_{n}$.
Ответ: Все изображения мнимые, координаты $z_{n}$ задаются формулой (2) при $n = 0, 1, 2 \cdots$ Кроме того, для $n > 0$ существуют мнимые изображения в точках $- z_{n}$.
