Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10171
2019-02-12 
Маленький шарик лежит на массивной плоской горизонтальной плите. Шарику сообщают скорость $V$, направленную вертикально вверх. Сразу после отрыва шарика от плиты ее стали двигать вверх со скоростью $u < V$. В дальнейшем после каждого удара шарика о плиту направление движения плиты немедленно меняют на противоположное. Скорость движения плиты по модулю все время равна $u$, соударения абсолютно упругие. Найдите средний вектор скорости плиты за большой промежуток времени. Трением шарика о воздух пренебречь.
Решение:
Можно доказать, что сразу после первого отскока шарик снова будет иметь скорость $V$. Действительно, перейдем в систему отсчета, движущуюся вверх со скоростью $u$. Вычитая для этого из скоростей $u$, получим, что в этой системе отсчета плита покоится, а шарик имеет начальную скорость $V - u$. Значит, перед первым ударом шарик также будет иметь скорость $V - u$, но направленную вниз. Удар абсолютно упругий, поэтому и после отскока от плиты в этой системе отсчета шарик будет иметь скорость $V - u$. Возвращаясь в исходную неподвижную систему отсчета (прибавляя $u$) получаем, что скорость шарика после отскока равна $V$.
Заметим, что этот факт можно получить и в неподвижной системе отсчета, правда в ней придется учесть, что при абсолютно упругом ударе о движущуюся стенку, скорость шарика меняется на величину, равную удвоенной скорости стенки (скорость шарика увеличивается, если стенка движется ему навстречу и уменьшается в противном случае). Поэтому в неподвижной системе оказывается, что перед первым ударом о плиту шарик имел скорость $V - 2u$. Понятно, что после удара о движущуюся вверх плиту эта скорость увеличится как раз до величины $V$.
Дальнейшие рассуждения выполним в неподвижной системе отсчета.
Найдем время $t_{1}$, которое пройдет с начала движения до первого удара шарика. За это время скорость шарика изменилась с $V$, направленной вверх, до $(V - 2u)$, направленной вниз. Значит, изменение вертикальной проекции скорости составило $V - ( - (V - 2u)) = 2(V - u)$. С другой стороны, скорость меняется с ускорением $g$, т.е.
$2(V - u) = gt_{1} \Rightarrow t_{1} = 2(V - u)/g$.
Таким образом, к моменту первого удара плита сдвинулась вверх из исходного положения на $ut_{1}$
Как было доказано, после первого удара шарик имеет ровно ту же начальную скорость, а вот плита теперь движется вниз. Рассматривая движение шарика начиная с момента первого удара, мы должны будем повторить все рассуждения, заменив $u$ на $-u$ во всех формулах выше. Значит, и после второго удара скорость шарика окажется равной $V$, а время между первым и вторым ударами составит
$t_{2} = 2(V + u)/g$.
За это время плита опустится на $ut_{2}$. Так как $t_{2} > t_{1}$, к моменту $\tau = t_{1} + t_{2} = 4V/g$ плита окажется ниже исходного положения на $x = u(t_{2} - t_{1}) = 4u^{2}/g$.
Снова и снова повторяя эти рассуждения, получим, что за каждый промежуток $\tau$ плита смещается вниз на $x$. Средняя скорость за большой промежуток времени $T$ будет стремиться к $x/ \tau = u^{2}/V$. Действительно, $T$ всегда можно представить в виде $T = n \tau + \Delta t$, где $n$ - целое число периодов $\tau$, укладывающихся в $T$, а $\Delta t < \tau$. За это время плита сдвинется на $L = nx + \Delta x$, где $\Delta x < x$. Отсюда
$v_{cp} = \frac{L}{T} = \frac{nx + \Delta x}{n \tau + \Delta t} = \frac{x + \Delta x/n}{ \tau + \Delta t/n}$.
С ростом $n$ последние слагаемые в числителе и знаменателе постепенно исчезают, так что при вычислении средней скорости за большое время получим именно $x/ \tau$.
Ответ: Средняя скорость равна $u^{2}/V$ и направлена вниз.
Маленький шарик лежит на массивной плоской горизонтальной плите. Шарику сообщают скорость $V$, направленную вертикально вверх. Сразу после отрыва шарика от плиты ее стали двигать вверх со скоростью $u < V$. В дальнейшем после каждого удара шарика о плиту направление движения плиты немедленно меняют на противоположное. Скорость движения плиты по модулю все время равна $u$, соударения абсолютно упругие. Найдите средний вектор скорости плиты за большой промежуток времени. Трением шарика о воздух пренебречь.
Решение:
Можно доказать, что сразу после первого отскока шарик снова будет иметь скорость $V$. Действительно, перейдем в систему отсчета, движущуюся вверх со скоростью $u$. Вычитая для этого из скоростей $u$, получим, что в этой системе отсчета плита покоится, а шарик имеет начальную скорость $V - u$. Значит, перед первым ударом шарик также будет иметь скорость $V - u$, но направленную вниз. Удар абсолютно упругий, поэтому и после отскока от плиты в этой системе отсчета шарик будет иметь скорость $V - u$. Возвращаясь в исходную неподвижную систему отсчета (прибавляя $u$) получаем, что скорость шарика после отскока равна $V$.
Заметим, что этот факт можно получить и в неподвижной системе отсчета, правда в ней придется учесть, что при абсолютно упругом ударе о движущуюся стенку, скорость шарика меняется на величину, равную удвоенной скорости стенки (скорость шарика увеличивается, если стенка движется ему навстречу и уменьшается в противном случае). Поэтому в неподвижной системе оказывается, что перед первым ударом о плиту шарик имел скорость $V - 2u$. Понятно, что после удара о движущуюся вверх плиту эта скорость увеличится как раз до величины $V$.
Дальнейшие рассуждения выполним в неподвижной системе отсчета.
Найдем время $t_{1}$, которое пройдет с начала движения до первого удара шарика. За это время скорость шарика изменилась с $V$, направленной вверх, до $(V - 2u)$, направленной вниз. Значит, изменение вертикальной проекции скорости составило $V - ( - (V - 2u)) = 2(V - u)$. С другой стороны, скорость меняется с ускорением $g$, т.е.
$2(V - u) = gt_{1} \Rightarrow t_{1} = 2(V - u)/g$.
Таким образом, к моменту первого удара плита сдвинулась вверх из исходного положения на $ut_{1}$
Как было доказано, после первого удара шарик имеет ровно ту же начальную скорость, а вот плита теперь движется вниз. Рассматривая движение шарика начиная с момента первого удара, мы должны будем повторить все рассуждения, заменив $u$ на $-u$ во всех формулах выше. Значит, и после второго удара скорость шарика окажется равной $V$, а время между первым и вторым ударами составит
$t_{2} = 2(V + u)/g$.
За это время плита опустится на $ut_{2}$. Так как $t_{2} > t_{1}$, к моменту $\tau = t_{1} + t_{2} = 4V/g$ плита окажется ниже исходного положения на $x = u(t_{2} - t_{1}) = 4u^{2}/g$.
Снова и снова повторяя эти рассуждения, получим, что за каждый промежуток $\tau$ плита смещается вниз на $x$. Средняя скорость за большой промежуток времени $T$ будет стремиться к $x/ \tau = u^{2}/V$. Действительно, $T$ всегда можно представить в виде $T = n \tau + \Delta t$, где $n$ - целое число периодов $\tau$, укладывающихся в $T$, а $\Delta t < \tau$. За это время плита сдвинется на $L = nx + \Delta x$, где $\Delta x < x$. Отсюда
$v_{cp} = \frac{L}{T} = \frac{nx + \Delta x}{n \tau + \Delta t} = \frac{x + \Delta x/n}{ \tau + \Delta t/n}$.
С ростом $n$ последние слагаемые в числителе и знаменателе постепенно исчезают, так что при вычислении средней скорости за большое время получим именно $x/ \tau$.
Ответ: Средняя скорость равна $u^{2}/V$ и направлена вниз.
